Recientemente, junto con U. Buijs, Y. Félix y D. Tanré, hemos desarrollado una nueva teoría de homotopía en las álgebras de Lie (completas) diferenciales y graduadas, que extiende la versión clásica de Quillen de la teoría de homotopía racional para espacios simplemente conexos. En esta plática expondremos un resumen de esta nueva teoría desde su motivación inicial que proviene de la teoría de deformación. Trataremos de prestar especial atención a ejemplos y resultados donde la aproximación de Quillen no es aplicable.

La geometría de los esquemas de Hilbert y, en particular, las familias de curvas en el espacio proyectivo puede tener comportamientos patológicos. Debido a esto, a pesar de ser ampliamente estudiadas, no existen teoremas generales que analicen su geometría birracional. Sin embargo analizar la geometría birracional de estas familias en casos particulares es un tema de interés actual.

En esta charla les platicaré un poco sobre mi trabajo de tesis, que está centrado en la geometría de algunas familias de curvas en el espacio proyectivo; especialmente sobre la familia de curvas de grado 6 y género 3. La motivación para estudiar esta familia nace de la teoría de enlaces. Discutiremos brevemente, algunos aspectos de esta teoría y su posible relación con la geometría birracional.

La geometría birracional es una subárea de la geometría algebraica que ha sido un prolífico tema de investigación por muchos años. La técnica por excelencia para estudiar la geometría birracional de una variedad es el llamado programa de Mori. El matemático Shigefumi Mori mostró cómo aplicar este programa a variedades de dimensión 3, motivo por el cual le fue concedida, en 1990, la medalla Fields.

En esta plática mostraremos cómo se aplica el programa de Mori a una clase particular de variedades: dada una curva C en el espacio proyectivo P3, podemos construir una nueva variedad X, llamada la explosión de P3 a lo largo de C. Esta variedad es birracional a P3 y es suficientemente sencilla como para describir explícitamente su geometría birracional en muchos casos, pero suficientemente complicada como para presentar características interesantes.

Además, la geometría de X depende directamente de la curva C, así que especializaciones de esta curva deberían reflejarse como cambios en la geometría de X. Si el tiempo lo permite, hablaremos un poco sobre este fenómeno.

El contenido de esta plática está basado en un trabajo en curso junto con César Lozano y Montserrat V. Escobedo.

Las variedades tóricas son objetos álgebro-geométricos donde la intuición funciona de manera natural y donde se puede entender la teoría en términos de la geometría convexa poliedrál. Utilizando eso como base vamos a explorar el mundo de compactificaciones de variedades de conglomerado. Aunque no son variedades tóricas tampoco son muy distintas de éstas. Veremos los primeros avances de la generalización de la geometría convexa poliedrál a una teoría tropical que permite codificar las compactificaciones de variedades de conglomerado. Principalmente basado en un trabajo junto con Mandy Cheung y Alfredo, con partes basados en otros proyectos con ellos, Lara y Bosco Frías Medina.

Una parte importante de la teoría de los haces holomorfos son los resultados relacionados con las métricas de Hermite-Einstein. Estas son métricas definidas en un haz vectorial complejo que satisfacen una condición especial: La curvatura media del haz es proporcional por una constante a la métrica misma. En esta charla seguiremos la teoría de haces holomorfos, a manera de introducción, exponiendo algunos de los resultados sobre métricas Hermite-Einstein, veremos como se define el funcional de Kobayashi, sus propiedades, y como está relacionado con la existencia de métricas Hermite-Einstein. Siguiendo la misma línea, definiremos que es un haz de Higgs: Un haz holomorfo equipado con una 1-forma que satisface una condición de integrabilidad, y veremos como se extienden los resultados de la teoría clásica utilizando las métricas de Hermite-Yang-Mills, un tipo de métricas que se definen usando una conexión en particular definida en un haz de Higgs y que fue introducida -junto con los haces de Higgs- por Hitchin en los 80's siguiendo las ideas de Atiyah y Bott sobre teoría de Yang-Mills y de Narasimhan y Seshadri sobre estabilidad de Mumford, una noción proveniente de la geometría algebraica, y que termina estando íntimamente relacionada con las métricas Hermite-Yang-Mills.

Las álgebras de conglomerado son estructuras algebraicas las cuales fueron definidas de manera combinatoria en el año 2001. Estos objetos han tomado gran relevancia debido a que juegan un rol importante en ramas de las matemáticas tan diversas como la geometría, la teoría de números, el análisis, la topología y la física matemática, entre otras. En esta charla se dará una introducción intuitiva a dichas álgebras, haciendo énfasis en algunos ejemplos y en algunas de sus conexiones con la teoría de representación de carcajes y la combinatoria.

V.V. Tkachuk estudiando propiedades tipo Lindelöff, en 2016, introdujo la noción de función Ω-monótona y con ello obtuvo resultados importantes relacionados al espacio de funciones continuas. En esta plática hablaremos de las funciones Ω-monótonas, de algunas de sus propiedades importantes y analizaremos algunos ejemplos ilustrativos. La intención es observar el uso reciente de este tipo de funciones en el estudio de asignaciones de bases y familias de espacios compactos como los espacios de Corson o Valdivia. Si el tiempo lo permite, veremos su utilidad en el espacio de funciones continuas y los hiperespacios.