En esta plática mostraremos  cómo  el software libre GeoGebra puede convertirse en un laboratorio virtual para la geometría: una  herramienta computacional que nos permite visualizar  figuras planas y  descubrir sus propiedades  a través de la experimentación.

Más que un software de dibujo, GeoGebra es una herramienta que nos puede ayudar para pensar matemáticamente: permite manipular objetos, generar conjeturas y comprobar propiedades en tiempo real. El propósito de esta presentación es mostrar una herramienta basada en los números complejos, que bien aplicada nos muestra propiedades sorprendentes de ciertas curvas planas.

Al final, los asistentes se llevarán no solo un panorama de las posibilidades de GeoGebra, sino también la invitación a usarlo como un laboratorio de estudio que transforma la geometría en una experiencia viva, intuitiva y sorprendente.

En la geometría euclidiana, la cercanía se mide con una regla: dos puntos están próximos si la distancia entre ellos es pequeña. Pero en la geometría asociada a los números p- ádicos, esa idea se transforma. Aquí, dos puntos se consideran “cercanos” cuando coinciden en muchos de los primeros dígitos de su expansión p- ádica, es decir, cuando pertenecen a la misma rama dentro de una estructura jerárquica. En este espacio ultramétrico, las distancias se organizan por niveles, todo triángulo que puede formarse es isósceles, y las esferas no se superponen parcialmente: o se contienen unas dentro de otras, o son disjuntas. Una geometría donde la proximidad depende del parentesco, y no de la longitud.

Dados cualesquiera dos enteros x e y, construiremos las familias de soluciones (a(x,y),b(x,y),c(x,y))=(a,b,c) a la ecuación c^m=a^2-nb^2 para diferentes valores m y n enteros con m siendo positivo. Además, graficaremos la ecuación y sus soluciones para entender su comportamiento geométrico. 

El análisis armónico abstracto es la parte del análisis en la que la acción de un grupo localmente compacto juega un papel esencial, concretamente, la teoría de representaciones unitarias de grupos localmente compactos y el análisis de funciones en dichos grupos y sus espacios homogéneos. En cierto sentido, esta teoría es una generalización del análisis de Fourier y el análisis esférico. En esta charla veremos cómo el estudio de la teoría de representaciones unitarias llevó al desarrollo del análisis armónico abstracto. Esta teoría, además de ser bella, tiene aplicaciones en otras áreas de las matemáticas, así como en la física y la ingeniería.

En esta breve charla, se presentaran las nociones básicas de variedad diferenciable (en ℝ²  y ℝ³) centrándose en la idea geométrica de ser localmente euclidiano. Por supuesto, el objetivo principal es platicar activamente con el público sobre la prueba (sin detalles técnicos) de que una esfera es una variedad diferenciable.

Las álgebras de Lie son una estructura algebraica que surge del estudio de la geometría diferencial. Son una herramienta útil para estudiar problemas de otra naturaleza, ya que, entre otras cosas, siempre se pueden ver como subespacios de matrices (algo ampliamente estudiado en matemáticas). Durante esta plática haremos el ejercicio de clasificar las álgebras de Lie de dimensiones 2 y 3, las cuales se pueden realizar por medio de herramientas básicas de álgebra lineal. Además, veremos que, si saltamos a dimensión 4, este ejercicio se vuelve muy complejo y por tanto, se tienen que utilizar herramientas más sofisticadas.

Hay ciertos patrones que no se anuncian. Aparecen. Uno comienza con un gesto simple, casi infantil. Una operación sin pretensiones. Y de pronto, la regularidad se curva, el trazo se enreda, y algo emerge. Una figura. Un ciclo. Una ley.

Esta charla no requiere conocimientos avanzados, pero exige una mirada atenta. Porque lo que al principio parecerá juego o accidente, terminará revelando una estructura precisa. No diremos aquí de qué se trata. Solo que lo que verás no es azar. Y que lo que entenderás, cuando ocurra, será tan claro como una flor cerrándose sobre sí misma.

En esta charla de divulgación veremos cómo se recurre al método de regularización de Tikhonov para transformar una ecuación lineal mal planteada en un problema de minimización bien planteado. También veremos cómo se transforma este problema en una ecuación diferencial parcial bien planteada. Motivaremos este problema aplicándolo al problema de reconstrucción de imágenes digitales.

Un nudo es una curva cerrada sin autointersecciones en el espacio ℝ³. Resolviendo sistemas de ecuaciones en campos ℤ/p con el algoritmo de Gauss-Jordan y aplicando álgebra lineal elemental vamos a calcular invariantes de nudos para distinguirlos y clasificarlos. 

Hay problemitas clásicos de matemáticas que tienen soluciones inesperadas, y que se relacionan con la forma que tiene el entorno donde se desarrolla el reto.

En esta charla recordaremos al menos uno de tales problemas, y veremos algunas consecuencias de las ideas fundamentales detrás del problema, pues en las matemáticas más actuales siempre hay ideas sencillas de apreciar, cuya importancia va creciendo con el tiempo.

En esta charla brindaremos una introducción intuitiva a las integrales y derivadas de órdenes no enteros mediante resultados sencillos del cálculo clásico. Revisaremos algunas propiedades y ejemplos de la acción de dichos operadores en algunas funciones sencillas.

Las transformaciones de Moebius son biholomorfismos del plano complejo con cualidades sorprendentes; por ejemplo, la composición de dos transformaciones de Moebius es otra transformación de Moebius, es decir, éstas forman un grupo. Respecto a la magia en la geometría, estas transformaciones preservan ángulos, mandan rectas a rectas o círculos, y los círculos a rectas o círculos. Con esta última cualidad que tienen las Moebius, nos preguntamos qué pasará con las otras cónicas en el plano complejo, es decir, ¿preservará las parábolas, hipérbolas y elipses? En este sentido, el objetivo de esta plática es usar las transformaciones de Moebius para deformar las curvas cónicas en el plano, ilustrando estas deformaciones mediante la aplicación de Geogebra. El subgrupo de transformaciones de Moebius que dejan invariante al disco unitario son las isometrías en la geometría hiperbólica, de aquí la importancia de estas transformaciones.

Es posible determinar la forma del espacio que te rodea sin salir de él? Esta plática aborda este dilema. Primero tendremos que introducir qué es un espacio en su forma más elemental y por qué nos interesan los espacios topológicos.

Una vez que comprendamos qué es un espacio, hablaremos de un "radar"  que nos permite encontrar las maneras fundamentales de cómo moverse por un espacio, conocido como el grupo fundamental π₁​(X, x₀). Este "radar" nos permitirá diferenciar espacios  sin saber exactamente cuáles son.

En esta plática  explicaré cómo hacerse una idea del  plano proyectivo real como la unión de un plano más una línea en el infinito, cómo surgió este concepto del plano proyectivo cuando los pintores intentaban pintar cuadros más realistas, y explorar algunas de las propiedades básicas del plano proyectivo, por ejemplo: que dos puntos determinan una única línea y que dos líneas se intersectan en un único punto. Finalmente, si el tiempo lo permite, hacerse una idea topológica del plano proyectivo como un disco en el cual se identifican los puntos antípodales de la frontera de dicho disco, y la razón por la cual esta superficie resulta ser no orientable.

La 3-esfera unitaria es el conjunto de puntos en el espacio Euclidiano de cuatro dimensiones que se encuentran a distancia uno del origen de coordenadas. En esta exploración introductoria veremos cómo entran en juego objetos algebraicos y geométricos como son: números complejos, cuaterniones, matrices, espacios vectoriales, productos internos, valores y vectores propios, clases de conjugación, distancia intrínseca, espacio tangente y mapeo exponencial. Un resultado de esto es una parametrización de la 3-esfera similar en cierto sentido a lo que se llama latitud y longitud de la 2-esfera del espacio tridimensional Euclidiano.

En esta charla se presentará el mundo de los números p-ádicos, una extensión de los números racionales descubierta por Hensel a fines del siglo XIX. Definiendo una distancia distinta a la usual en los números racionales, obtenemos una aritmética y geometría completamente distintas de las de los números reales y complejos. Se abordará brevemente su origen histórico, sus propiedades más llamativas —como la topología no arquimediana y su sorprendente comportamiento de convergencia—, y se mostrarán algunas de sus aplicaciones en otras áreas de las matemáticas así como en biología, destacando cómo una idea surgida del estudio de ecuaciones diofánticas ha llegado a influir en múltiples campos de las matemáticas y la ciencia moderna.

En esta plática se presentan las ideas del artículo Applied Category Theory for Genomics – An Initiative, mostrando cómo la teoría de categorías puede servir como un marco poderoso para desarrollar nuevas teorías y formas de entender fenómenos complejos. Aunque la teoría de categorías es una herramienta abstracta, con una buena comprensión de sus principios podemos utilizarla para proponer perspectivas originales y explorar aspectos de la realidad que antes no habíamos considerado.

M. C. Escher fue un artista que entendía muy bien algunos conceptos matemáticos (simetrías, proyecciones, etc.) los cuales le ayudaron a realizar algunas de sus más bellas obras. En esta charla hablaremos sobre la matemática que usó para generar sus mosaicos.

Plática sobre las propiedades físicas y matemáticas de películas y burbujas de jabón. Se discutirá y ejemplificará la relación entre la forma que adoptan y las fuerzas a las que están sujetas.