Курсы
Анормальные экстремали левоинвариантных субфинслеровых метрик на четырехмерных группах Ли
Берестовский Валерий Николаевич (ИМ СО РАН)
Рассказано
о классификации двумерных порождающих подпространств p всех четырехмерных вещественных алгебр Ли (g,[·,·]) (с точностью до автоморфизма алгебры Ли g);
о классификации трехмерных порождающих подпространств q всех четырехмерных вещественных алгебр Ли (g, [·,·]) (с точностью до автоморфизма алгебры Ли g);
что для произвольной левоинвариантной субфинслеровой квазиметрики d на любой четырехмерной связной группе Ли G с алгеброй Ли g, определяемой полунормой F на p (соответственно, q), только 1-параметрические подгруппы exp(t(±e₂/F(±e₂))), t ∈ ℝ, и их левые сдвиги являются анормальными экстремалями на (G,d);
о критерии (не)строгой анормальности этих экстремалей в терминах структурных констант алгебры Ли g в базисе E и дуальной к F полунормы на g*. Экстремалью на (G,d) называется параметризованная длиной дуги кривая, удовлетворяющая Принципу Максимума Понтрягина ПМП для левоинвариантной задачи оптимального быстродействия на G с единичным замкнутым шаром U с центром в нуле в пространстве (p,F) ((q,F)) в качестве области управления (необходимое условие оптимальности). Экстремаль анормальна ⇔ максимум в ПМП =0.
Основные результаты получены и опубликованы совместно с И. А. Зубаревой.
Методы геометрического анализа в решении задач компьютерного зрения
Клячин Владимир Александрович (ВолГУ)
Цифровое представление изображений. Формирование пространственных изображений. Геометрические и морфологические преобразования изображений. Фильтрация изображений методом свертки. Преобразование Фурье и высокочастотная фильтрация изображений. Преобразование Хафа и поиск прямолинейных отрезков. Извлечение контуров и расчет их геометрических характеристик. Задачи сегментации изображений. Распознавание объектов на изображениях. Тензорное представление изображений и нейросетевая модель U-Net решения задачи семантической сегментации. Пространственный анализ изображений. Метод сетей NeRF. Генеративные модели в обработке изображений.
Дискретизация интегральных норм по значениям в точках
Косов Егор Дмитриевич (МГУ)
Планируется обсудить вопросы дискретизации интегральных норм функций из конечномерных пространств. Сами вопросы уходят корнями к классическим теоремам Марцинкевича и Зигмунда для тригонометрических многочленов. Мы обсудим некоторые современные результаты из этой области и посмотрим на различные техники получения теорем дискретизации.
Видео: [лекция 1], [лекция 3] (по техническим причинам Лекция 2 не была записана).
Суб-финслерова геометрия и выпуклая тригонометрия
Локуциевский Лев Вячеславович (МИАН)
Я расскажу об активно развивающейся в последнее время субфинслеровой геометрии — близкой родственнице субримановой геометрии. Субфинслерова геометрия уходит своими корнями в теорию дискретных групп и тесно связана с дифференциальной геометрий, квазиметрическими пространствами и алгебрами и группами Ли. Помимо введения в субфинслерову геометрию я планирую рассказать о новом аппарате выпуклой тригонометрии, который позволяет работать в явном виде с геодезическими на субфинслеровых многообразиях. С его помощью в последние годы удалось в явном виде выписать решения более 2х десятков открытых классических задач.
[Презентация].
Применение идей оптимального управления в гармоническом анализе
Столяров Дмитрий Михайлович (СПбГУ)
Я расскажу о методе доказательства неравенств, часто называемом методом Буркхольдера или методом функции Беллмана. По сути, речь идёт о так называемой индукции по масштабу (induction on scales), когда справедливость неравенства выводится из полуинваринтности некоторой величины (например — Lp-нормы какого-нибудь выражения). На первой лекции мы в качестве примера докажем классическое обратное неравенство Гёльдера для весов Макенхаупта (или просто свойство самоулучшаемости обратного неравенства Гёльдера). На втором занятии обсудим круг идей, связанных с методом моментов в теории вероятностей, которые позволяют находить точные константы в неравенствах такого типа для весов на отрезке или прямой. Третье занятие будет посвящено зависимости от размерности оценок такого типа, и в основном, речь пойдёт об открытых вопросах и возможных подходах к их решению.
О следах пространств Соболева на нерегулярных подмножествах метрических пространств с мерой
Тюленев Александр Иванович (МИАН)
По проблеме точного описания следов пространств Соболева написано большое количество работ. Однако, в большинстве из них множество, на котором изучается след, предполагалось регулярном по Альфорсу—Давиду. Это условие весьма ограничительно и не позволяет, например, исследовать следы на множествах, составленных из кусков разных размерностей. Если же заменить условие регулярности по Альфорсу—Давиду на условие регулярности соответствующего обхвата по Хаусдорфу, то получается весьма богатых запас множеств, который заведомо содержит регулярные по Альфорсу—Давиду множества, но при этом является существенно более широким.
Мы обсудим структуру множеств, удовлетворяющих условию регулярности обхвата по Хаусдорфу и приведём конкретные примеры. Так же мы расскажем о недавних продвижениях в проблеме точного описания следов пространств Соболева на регулярных в смысле обхвата по Хаусдорфу множествах. Наконец, мы обсудим естественные проблемы, которые возникают при работе с такими множествами в общих метрических пространствах с мерой.