Séminaire Arithmétique et Théorie de l’Information  

Titre : Construction de polynômes irréductibles par les isogénies

Résumé : Soit S une fraction rationnelle et f un polynôme sur un corps fini. Dans certains cas, l'opérateur $T(f)=\operatorname{\text{numérateur}}(f(S))$ est tel que les polynômes f, T(f), T(T(f))... sont tous irréductibles. C’est notamment le cas en caractéristique impaire pour S=(x^2+1)/(2x), appelée R-transform, et pour une densité positive des polynômes irréductibles f. Nous interprétons cet opérateur en termes d'isogénies de courbes elliptiques. 

La théorie de la multiplication complexe nous permet alors de concevoir des algorithmes construisant une grande variété de fractions rationnelles S, chacune engendrant des familles infinies de polynômes irréductibles pour une densité positive de f.

Ce travail est le fruit d'une collaboration avec Alp Bassa et Roger Oyono.

Titre : What is arithmetic statistics? 

Résumé : Arithmetic statistics is the main topic of the ongoing semester of the Chaire Jean-Morlet. We will discuss what is "arithmetic statistics" and describe some trends.

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Titre : Interpolation p-adique de formes modulaires de pente infinie

Résumé : Le groupe de Galois absolu de Q décrit la structure des extensions algébriques des rationnels. Nous étudions ce groupe très compliqué à travers ses représentations p-adiques, que nous produisons par exemple à partir des formes modulaires. 

Grâce à des constructions désormais classiques, nous savons identifier les formes modulaires de pente finie (c’est-à-dire, qui ne sont pas dans le noyau d’un opérateur de Hecke en p) avec les points d’une variété p-adique, ce qui nous permet d’étudier géométriquement les représentations galoisiennes qui leur sont associées. Je démontre que, au contraire, l’interpolation p-adique des formes de pente infinie est impossible sauf dans certains cas exceptionnels.

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Titre : Le problème du support modulaire

Résumé : Lors d'une conférence à Banff en 1988, Erdős a posé la question suivante: étant donné deux entiers positifs a et b, si pour tout entier naturel n l'ensemble des nombres premiers divisant a^n-1 est égal à l'ensemble des nombres premiers divisant b^n-1, est-il vrai que a=b? 

Nous interprétons ce problème géométriquement et, en utilisant une analogie bien connue entre les variétés multiplicatives et modulaires, nous formulons un analogue de cette question où les polynômes T^n-1 sont remplacés par les polynômes de classe de Hilbert H_D(T). Je présenterai ensuite une solution, obtenue en collaboration avec Gabriel Dill, au problème du support modulaire sur les corps de nombres ainsi que sur les corps de fonctions. Je me concentrerai en particulier sur le cas des corps de fonctions de caractéristique positive, où nos recherches conduisent à une variante sur les corps finis de la conjecture d'André-Oort pour Y(1)^2.

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Titre : Nouvelles hauteurs champêtres et conjecture de Manin

Résumé : La conjecture de Manin prédit le comportement asymptotique du nombre de points rationnels de hauteur bornée sur les variétés de Fano. Plus précisément, pour une  variété de Fano lisse, nous attendons que, en dehors d'un ensemble mince, le nombre de points rationnels de hauteur moins que B soit asymptotique à C B^{a}\log(B)^b pour certains C, a, b>0. Cette prédiction est très similaire à la prédiction de Malle sur le nombre d'extensions galoisiennes ayant le groupe de Galois fixe et le discriminant borné.  

Les deux conjectures sont concernées par des points rationnels sur les champs de Deligne-Mumford. Nous présentons une nouvelle classe de hauteurs sur ces champs. Nous les utilisons pour donner une version de la conjecture de Manin pour les champs (de Deligne-Mumford), plus forte que celle d'Ellenberg, Satriano et Zureick-Brown, ayant les conjectures de Manin et de Malle comme conséquences. C'est un travail en commun avec T. Yasuda.

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Titre : Efficient resolution of Thue-Mahler equations

Résumé : Let F be a homogenous irreducible form of degree at least 3 with integer coefficients. A Thue-Mahler equation is a Diophantine equation of the form  F(X,Y) = a . p1z1  … pvzv  where a is an integer and  p1,..., pv  are rational primes. To explicitly solve these equations when the degree and set of primes is small, there exists a practical method of Tzanakis-de Weger using linear forms in logarithms. We give new lattice sieving techniques and a refined algorithm capable of resolving Thue-Mahler equations with high-degree and large prime sets. In this talk, we describe our refined implementation of this method and discuss the key steps used in our algorithm.

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Titre : Vertices of balls: orders, codes, and tropical geometry

Résumé : Balls in the tropical metric are a particular example of polytropes, namely tropical polytopes that are at the same time convex in the usual sense. Moreover, tropical balls can also be seen as one-apartment slices of balls in Bruhat-Tits buildings. So balls in this context have vertices and we will see how these vertices play a role in applications to representation theory and algebraic coding theory. I will be reporting on joint work with Yassine El Maazouz, Marvin Hahn, Gabriele Nebe, and Bernd Sturmfels.

Titre : Families of Jacobians with quaternionic multiplication

Résumé : In joint work with Victoria Cantoral-Farfán and John Voight we investigate explicit families of even-dimensional Jacobians defined over Q and admitting an action of the quaternion group. These abelian varieties are unusual in several ways: for example, the ring of their algebraic cycles is not generated by divisor classes, a fact which has consequences both on their arithmetic and on their geometry.

We prove that 100% of the members of the families we consider satisfy the Hodge, Tate and Mumford-Tate conjectures, and provide explicit generators for their Hodge rings. As a consequence, we show that, for every even dimension greater than 2, there exist infinitely many abelian varieties A such that the minimal field of definition of the endomorphisms and the minimal field over which the Galois representations attached to A have connected image are different.

Titre : Sur l'uniformité différentielle des polynômes sur les corps finis de caractéristique paire.

Résumé : On étudie dans cette présentation l’uniformité différentielle des polynômes de degré pair définis sur des corps finis de caractéristique 2. Une caractérisation des polynômes Morse permet de comparer certains groupes de monodromie arithmétiques et géométriques et ainsi d’appliquer le théorème de densité de Chebotarev, central dans notre travail. On en déduit que pour certains degrés spécifiques m, les polynômes de degré m avec un second coefficient non nul ont une uniformité différentielle maximale, c’est-à-dire égale à m-2, sur une extension suffisamment grande du corps de base. En particulier ces polynômes ne sont pas APN exceptionnels, ce qui apporte une contribution à la conjecture d’Aubry, McGuire et Rodier dans le sens où les cas des polynômes de ces degrés spécifiques étaient encore complètement ouverts dans les travaux sur le sujet.

Titre : Nombre de points rationnels des courbes sur une surface de P^3

Résumé : Voir sur le lien suivant.

Titre : The modular approach for solving $x^r+y^r=z^p$ over totally real number fields

Résumé : I will first introduce the modular method for solving Diophantine Equations, famously used to prove the Fermat Last Theorem. Then, we will see how to generalize it for a totally real number field $K$ and a Fermat-type equation $Aa^p+Bb^q=Cc^r$ over $K$. We call the triple of exponents $(p,q,r)$ the \textit{signature} of the equation. We will see various results concerning the solutions to the Fermat equation with signatures $(r,r,p)$ (fixed r). This will involve image of inertia comparison and the study of certain $S$-unit equations over $K$.

Titre : Proving knowledge of isogenies, quaternions and signatures

Résumé : Let E and E' be two elliptic curves defined over a finite field with q elements. Verifying that E and E' are isogenous can be done in time polynomial in log(q) using Schoof's poing counting algorithm. Computing an isogeny between E and E', though, may require exponential time in log(q), in general.

Our goal is to design (zero-knowledge) interactive proofs of isogeny knowledge (PoIK): polynomial-time two-party protocols where a prover tries to convince a verifier that he knows an isogeny φ : E → E', without revealing (any) information on the isogeny itself. These are immensely useful tools, which can be used to construct digital signatures and much more. But designing efficient PoIKs has been an elusive goal for several years.

In this talk, I will review some variants of PoIK problem, and present recent progress and open problems.

Titre : Oriented supersingular elliptic curves and class group actions

Résumé : We study different facets and properties of supersingular isogeny graphs and exploit their potential new cryptographic applications. In particular, we describe the theoretical tools necessary to orient isogeny graphs and characterize their structure. By means of embeddings of quadratic orders in the endomorphism ring of supersingular elliptic curves, we introduce a new category of oriented elliptic curves and derive properties of the associated isogeny graphs. We establish a computational model which permits one to describe a compatible class group action on these objects and provide the theoretical and practical description of how this action works on curves, chains of isogenies and the entire oriented graph. 

In parallel, we develop an explicit modular version of our construction. We show that the group action can be carried out effectively solely on the sequences of moduli points on a modular curve and is further amenable to speedup by imposing a suitable level structure. In this direction, we describe a suitable family of modular curves and derive the properties of the corresponding covering isogeny graphs, both oriented and non-oriented.

Titre : Distribution of genus numbers of abelian number fields

Résumé :  Let K be a number field and let L/K be an abelian extension. The genus field of L/K is the largest extension of L which is unramified at all places of L and abelian as an extension of K. The genus group is its Galois group over L, which is a quotient of the class group of L, and the genus number is the size of the genus group. We study the quantitative behaviour of genus numbers as one varies over abelian extensions L/K with fixed Galois group. We give an asymptotic formula for the average value of the genus number and show that any given genus number appears only 0% of the time. This is joint work with Christopher Frei and Daniel Loughran.

Titre : Points de torsion dans des extensions de corps de nombre pour une variété abélienne fixée

Résumé : Pour A une variété abélienne sur un corps de nombres K et L/K une extension finie, on considère le cardinal de la torsion de A(L). Une conjecture d'Hindry et Ratazzi prédit que  ce cardinal grandit en O([L:K]^\gamma_A) pour un certain \gamma_A défini en fonction du groupe de Mumford-Tate et que cet exposant est optimal. Dans cet exposé, j'expliquerai comment dans un travail en collaboration avec Davide Lombardo et David Zywina, nous prouvons la conjecture de Hindry-Ratazzi en supposant la conjecture de Mumford-Tate (mais je parlerai surtout d'une version inconditionnelle de notre résultat).

Titre : Lower bounds for the number of rational points on curves over finite fields

Résumé : The number of rational points on a curve of genus g over Fq is upper bounded by 1+q+2g √q. But how good is this bound in general? 

If the situation for fixed q and g going to infinity has been studied for a while, much less was known for g fixed and q going to infinity. As a consequence of Katz-Sarnak theory, we'll first get for any given g > 0, any ε > 0 and all q large enough, the existence of a curve of genus g over Fq with at least 1 + q + (2g − ε)√q rational points. Then using a distinct method, we get weaker bounds of the form 1 + q + 4 √q − 32 but which are valid for any q > q0, with q0 explicit and g>1. This is a joint work with Jonas Bergström, Everett Howe and Elisa Lorenzo García.

Titre : A modular approach to OSIDH

Résumé : We recently defined an OSIDH protocol — for oriented supersingular isogeny Diffie-Hellman — by imposing the data of an orientation by an imaginary quadratic ring O on the category of supersingular elliptic curves. Starting with an elliptic curve E_0 oriented by a CM order O_K of class number one, we push forward the class group action along an l-isogeny chains, on which the class group of an order O of large index l^n in O_K acts. The map from l-isogeny chains to its terminus forgets the structure of the orientation, and the original base curve E_0. For a sufficiently long random l-isogeny chain, the terminal curve represents a generic supersingular elliptic curve.

One of the advantages of working in this general framework is that the group action by Cl(O) can be carried out effectively solely on the sequence of moduli points (such as j-invariants) on a modular curve, thereby avoiding expensive generic isogeny computations or the requirement of rational torsion points. The goal of this talk is to describe how to realize this group action as an effective algorithm, make it efficient, and introduce the use of level structures, replacing the j-line X(1) with a modular curve X(Γ) of higher level. This is joint work with David Kohel.

References:

 [1]  W. Castryck, T. Lange, C. Martindale, L. Panny, and J. Renes. CSIDH: an efficient post- quantum commutative group action. Cryptology ePrint Archive, 2018/383, https://eprint. iacr.org/2018/383

 [2]  D. Charles, E. Goren, and C. Lauter. Cryptographic hash functions from expander graphs. J. Cryptography bf 22 (1), 93–113, 2009.

 [3]  L. Colò and D. Kohel, Orienting supersingular isogeny graphs. In Journal of Mathemati- cal Cryptology, vol. 14.1, Walter de Gruyter, 414–437, 2020. http://dx.doi.org/10.1515/ jmc-2019-0034.

 [4]  D. Jao and L. De Feo. Towards quantum-resistant cryptosystems from supersingular curve isogenies. In Post-Quantum Cryptography, LNCS 7071, 19–34, Springer, 2011. https://eprint. iacr.org/2011/506. 

Conférence : https://amusec.i2m.univ-amu.fr/  

Titre : Valuation of coefficients of polynomials geometrically realizing GL_2(Z/nZ)

Résumé : The aim of the inverse Galois problem is to find fields extensions which Galois group is isomorphic to a given group. Here, we are interested in groups $\mathrm{GL}_2(\Z/n\Z)$ where $n$ an integer. We know that we can realize these groups as the Galois group of a given number field $K$, using the torsion points on an elliptic curve. Specifically, a theorem of Reverter and Vila gives, for each prime $n$, a family of polynomials, depending on an elliptic curve, whose Galois group is $\mathrm{GL}_2(\Z/n\Z)$. 

We determine a lower bound on the valuations of the coefficients of these polynomials, depending only on $n$, when we take a short Weierstrass equation for the elliptic curve.

Titre : Géométrie : de Descartes à aujourd'hui

Résumé : The first part of the talk will be devoted to an historical overview on the development of algebraic geometry. Starting from the exploration age with Descartes, we will explore the golden age of projective geometry with Segre, the birational geometry with Riemann, development and chaos with Kronecker, new structures with Hilbert and to finish by sheaves and schemes with Grothendieck.

The second part of the talk will be concerned with two personal results: the first one on abelian varieties and the second one on maximal hypersurfaces of weighted projective spaces over finite fields.

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Titre : Représentations galoisiennes modulaires

Résumé : Les représentations galoisiennes interviennent dans de nombreuses situations en géométrie arithmétique : propriétés des points d'ordre fini des courbes elliptiques, théorie du corps de classes ou résolution des équations diophantiennes, par exemple. Après un rapide tour d'horizon de leur champ d'application (inspiré notamment par des travaux effectués récemment en collaboration sur ces questions), je m'intéresserai plus spécifiquement dans cet exposé à certains analogues, dans le cas réductible, de problèmes classiques concernant la modularité des représentations galoisiennes résiduelles : conjectures faible et forte de modularité de Serre et description des niveaux non optimaux. Je présenterai à ce sujet une nouvelle conjecture englobant comme cas particuliers des résultats obtenus récemment avec Ricardo Menares. J'indiquerai quelques pistes pour traiter de nouveaux cas de cette conjecture et, si le temps le permet, présenterai quelques applications.

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Titre : Entangling Sato-Tate groups

Résumé : TBA

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Titre : Types de réduction de courbes de genre 3

Résumé : Soient a et b des entiers. La courbe elliptique E:\,y^2=x^3+ax+b a bonne réduction modulo p\neq 2,3 si et seulement si p ne divise pas le  discriminant \Delta(E)=-16(4a^3+27b^2). En plus, grâce à Tate on sait que la courbe E a potentiellement bonne réduction si et seulement si p ne divise pas le dénominateur du j-invariant de E. Pour les courbes de genre 2, Liu donne des résultats équivalents en terme des invariants d'Igusa et en plus il caractérise toutes les possibilités pour le type de réduction (i.e. pour la fibre spéciale du modèle stable de la courbe). Dans cet exposé je ferai un résumé de ces résultats et je présenterai mes résultats pour les courbes de genre 3. Les difficultés dans ce cas-là ne viennent pas seulement du fait qu'il y a beaucoup plus de possibilités pour les types de mauvaise réduction mais aussi pour un nouvelle phénomène qui apparaît en genre 3 : la réduction hyperelliptique. On utilisera des modèles spéciaux pour les courbes, un peu de théorie des invariants, des action des groupes, fonctions thetas de Mumford, de la théorie de revêtements admissibles et des octets de Cayley parmi des autres outils.

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Titre : Statistiques arithmétiques des courbes d'Edwards

Résumé : Dans cet exposé, je décrirai brièvement les courbes d'Edward, leurs propriétés arithmétiques, ainsi que leur corps de définition, présentant de nouveaux résultats. En particulier, je présenterai des statistiques sur les distributions des rangs et des groupes de Sato-Tate pour les courbes d'Edward sur les rationnels, et les algorithmes pertinents pour réaliser de telles études.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec Luca Notarnicola (Université du Luxembourg).

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Titre : Modèles plans et lisses pour les courbes modulaires

Résumé : Dans cet exposé on prouvera qu'il existe un nombre fini de courbes modulaires qui admettent un modèle plan lisse. De plus, si le degré du modèle est supérieur ou égal à 10, une telle courbe n'existe pas. Pour les courbes modulaires de type Shimura on peut montrer qu'aucune ne peut admettre un modèle plan lisse de degré 5, 6 ou 7. Il s’agit d'un travail en commun avec Eran Assaf (Dartmouth) et Elisa Lorenzo García (Neuchâtel).

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Titre : Adelic points of elliptic curves 

Résumé : For an elliptic curve defined over a number field, we give an explicit description its group of adelic points.

It turns out that the structure of this topological group depends only on the degree of the number field and the Galois representation associated to its torsion points.

Titre : Recognizing the Sato-Tate group UG_2

Résumé : The character method, developed by Yih-Dar Shieh in his thesis, recognizes a Sato-Tate from an associated Frobenius distribution.  Previous algorithms used moments of coefficients of a characteristic polynomial of Frobenius. The higher moments are degrees of the tensor product characters, which are direct sums with high multiplicities, hence the moment sequences converge (slowly, with sufficient precision) to large integers.  The character method replaces the moments with a precomputed list of irreducible characters. From the orthogonality relations of characters, a Sato-Tate group G is recognized by inner products yielding 0 or 1 (for which only one bit of precision is required to determine its value).

The exceptional Lie group G_2, or rather its unitary subgroup UG_2, embeds as a subgroup of SO(7).  We describe the character theory of orthogonal groups SO(2n+1), specialize the character theory method to UG_2, and to demonstrate its effectiveness with certain character sums associated to abelian factors of families of Jacboaisn known to give rise to the Sato-Tate group UG_2.

Titre : Diagonalisation Simultanée de Matrices Incomplètes et Applications

Résumé : Soient P et Q des matrices de taille p x n, resp. q x n, et de rangs respectifs p, q (<=n) et {U_i}_i une liste finie de matrices diagonales de dimension n.

Dans cet exposé, nous allons nous intéresser au problème de l’algèbre linéaire suivant: récupérer les éléments diagonaux des matrices {U_i}_i à partir des matrices {W_i}_i (de taille p x q) satisfaisant W_i = P*U_i*Q. Nous interprétons ce problème comme un problème de diagonalisation simultanée de matrices incomplètes.

Nous allons d’abord motiver l’étude de ce problème et ensuite décrire un algorithme pour le résoudre. Finalement, nous mentionnons des applications reliées à la cryptographie, et nous discutons en détail le problème du diviseur commun approché basé sur le théorème des restes chinois, et un meilleur algorithme se basant sur nos techniques.

L’exposé est basé sur un article commun avec Jean-Sébastien Coron et Gabor Wiese.

Titre : Variétés abéliennes maximales et cyclicité 

Résumé : Les variétés abéliennes définies sur les corps finis et leurs groupes de points rationnels sont d'un grand intérêt. Un outil puissant pour étudier les classes d'isogénie des variétés abéliennes provient de l'élégante théorie d'Honda-Tate via les polynômes de Weil. Ces derniers contiennent beaucoup d'information arithmétique et géométrique sur les variétés abéliennes, par exemple leurs nombres de points rationnels. La structure de groupe des variétés abéliennes n'est pas invariante par isogénie, cependant, nous pouvons définir la cyclicité pour les classes d'isogénie et la caractériser via les  polynômes de Weil.

Dans  cet exposé, nous allons étudier les variétés abéliennes définies sur des corps finis avec groupes de points rationnels de grand cardinalité, et leur cyclicité. Notre approche sera liée à la théorie des entiers algébriques totalement positifs de trace minimale. Soit M^0_g(q) la classe d'isogénie des variétés abéliennes de dimension g définies sur le corps fini F_q et Weil-maximale (c-à-d avec plus grand nombre de points rationnels) parmi celles dont l'algèbre des endomorphismes est un corps commutatif. Nous montrerons l'existence d'un polynôme h_g(t, X) tel que pour toute puissance paire q d'un premier, h_g(t, \sqrt{q}) est le polynôme de Weil de M^0_g(q). Comme corollaire de ce résultat, nous allons déduire que M^0_g(q) est ordinaire et cyclique en dehors des nombres premiers divisant un entier N_g qui ne dépend que de g. Si le temps le permet, nous allons donner explicitement h_3 (t, \sqrt{q}) et montrer que la classe d'isogénie maximale et simple des variétés abéliennes de dimension 3 est toujours cyclique et ordinaire.

Preprint : https://arxiv.org/abs/2101.12664

Conférence : https://conferences.cirm-math.fr/amusec.html

Titre : Codes from Families of Varieties over a Fixed Finite Field

Résumé : How many of the $q^{10}$ homogeneous cubic polynomials in $x,y,z$ with coefficients in $\mathbb{F}_q$ define a cubic curve with a given number of points?  How many of the $q^{20}$ pairs of these polynomials have exactly $k$ common zeros?  We will show how to phrase these kinds of questions in terms of the weight enumerators of projective Reed-Muller codes.  We will then see how ideas from the theory of error-correcting codes, in particular the MacWilliams identity and its variations, can help answer them.

Results from number theory and algebraic geometry play an important role in modern coding theory, but it is less common to see examples where ideas from coding theory are used to solve problems in number theory.  This talk will not assume any previous background in coding theory.  We will start with the basics of coding theory and emphasize concrete examples.

Titre : Preuves interactives de proximité d'un mot à un code géométrique

Résumé : Ces dernières années, d'énormes progrès ont été accomplis dans le domaine du calcul vérifiable. Celui-ci permet de fournir, en plus d'un résultat, une preuve courte et rapidement vérifiable que le calcul a été correctement effectué. Certaines de ces preuves peuvent également avoir une propriété "zero-knowledge", et sont aujourd'hui largement déployées dans des applications liées aux blockchains. 

Parmi les différentes familles de schémas de calcul vérifiable, une famille de constructions reposent fondamentalement sur des tests de proximité à des codes algébriques, héritant de techniques étudiées dans les constructions de preuves vérifiables de façon probabilistes (PCP, probabilistically checkable proof) et de systèmes de preuves interactives (IPs, interactive proofs). Dans cette famille, les constructions implémentées dans l'industrie (Stark) utilisent un protocole interactif, appelé FRI (Fast Reed-Solomon Interactive Oracle Proof of Proximity), permettant de vérifier la proximité à des codes de Reed-Solomon en temps logarithmique (en la longueur du code).

Naturellement, on se demande si les codes algébriques, généralisation des codes de Reed-Solomon, admettent des tests de proximité avec des paramètres similaires. Dans cet exposé, on présentera le protocole FRI en détails, en prenant du recul sur les outils mathématiques qui font son efficacité. On décrira comment généraliser ces outils aux codes géométriques (qu'on prendra le temps d'introduire rapidement), quels obstacles apparaissent naturellement à cause de la géométrie des courbes non rationnelles et comment les surmonter en adaptant le protocole. On détaillera le cas de codes sur des extensions de Kummer.

(Collaboration avec Sarah Bordage)

Titre : Comment spécifier un corps de nombres ou un corps de fonctions

Résumé : Un corps de nombres $K/Q$ (resp. de fonctions $K(C)/K(x)$) peut être spécifié de diverses manières. On peut  donner le polynôme minimal d'un élément primitif.

On peut aussi donner la table de multiplication dans une $Q$-base (resp. une $K(x)$-base). On peut encore se donner la trace d'un nombre suffisant d'éléments du corps. Etc.

Je présenterai diverses manières plus ou moins synthétiques de représenter un corps de nombres ou de fonctions. Je montrerai que les modèles standards sont très redondants et j'explorerai quelques pistes  pour obtenir des modèles moins  redondants.

Titre : Calcul d'index pour des courbes elliptiques définies sur des extensions de corps finis de degré premier

Résumé : La sécurité des systèmes cryptographiques basés sur des courbes elliptiques est sous-tendue par la difficulté du problème du logarithme discret sur courbes elliptiques (ECDLP). Nous nous concentrons sur l'attaque de calcul d'index pour le cas des courbes elliptiques définies sur des extensions de corps finis de degré premier. Ainsi, la première phase du calcul d'index, phase de recherche de relations, consiste à résoudre des systèmes d'équations obtenus à partir de polynômes de Semaev, dont les zéros représentent des coordonnées de points. La résolution de ces systèmes répond au problème de décomposition de points. Il existe des nombreuses méthodes algébriques pour la résolution de ces systèmes, comme, par exemple, les techniques de bases de Gröbner, la famille d’algorithmes XL, la recherche exhaustive et les méthodes hybrides. En revanche, nous proposons une méthode de résolution utilisant un solveur SAT dédié. 

Titre : Gluing curves along their torsion

Résumé : Let X (resp. Y) be a curve of genus 1 (resp. 2) over a base field k whose characteristic does not equal 2. We give criteria for the existence of a curve Z over k whose Jacobian is up to twist isogenous to the products of the Jacobians of X and Y, and call such a curve a gluing of X and Y.

We also given two methods to determine the curve Z. The first uses interpolation, and also determines the relevant twisting scalar. It can be used to find a Jacobian over QQ that admits a rational 70-torsion point. The second method is more geometrically inspired and exploits the geometry of the Kummer surface of Y.

This is joint work with Jeroen Hanselman and Sam Schiavone.

Titre : Density of rational points on a family of del Pezzo surfaces of degree 1

Résumé : Del Pezzo surfaces are classified by their degree d, which is an integer between 1 and 9 (for d ≥ 3, these are the smooth surfaces of degree d in ℙ^d). For del Pezzo surfaces of degree at least 2 over a field k, we know that the set of k-rational points is Zariski dense provided that the surface has one k-rational point to start with (that lies outside a specific subset of the surface for degree 2). However, for del Pezzo surfaces of degree 1 over a field k, even though we know that they always contain at least one k-rational point, we do not know if the set of k-rational points is Zariski dense in general. I will talk about a result that is joint work with Julie Desjardins, in which we give necessary and sufficient conditions for the set of k-rational points on a specific family of del Pezzo surfaces of degree 1 to be Zariski dense, where k is a number field. I will compare this to previous results.

Titre : Tame torsion and the tame inverse Galois problem

Résumé : Fix positive integers g and m. Does there exist a genus g curve, defined over the rationals, such that the mod m representation of its Jacobian is everywhere tamely ramified? I will give an affirmative answer to this question when m is squarefree via the theory of hyperelliptic Mumford curves. I will also give an application of this to a variant of the inverse Galois problem. This is joint work with Tim Dokchitser.

Titre : Sur la multiplication dans les corps finis avec des algorithmes de type Chudnovsky sur la droite projective

 Résumé :  Nous proposons une construction générique d'algorithmes d'interpolation sur la droite projective pour multiplier dans une extension de degré quelconque d'un corps fini. Ces algorithmes correspondent aux techniques usuelles d'interpolation polynomiale dans les petites extensions, et sont définis récursivement lorsque le degré de l'extension augmente. Nous verrons que leur complexité bilinéaire est compétitive, et qu'ils sont constructibles en temps polynomial.   https://arxiv.org/abs/2007.16082

Titre : Nouvelles approches des équations de Fermat généralisées

Résumé :  La méthode modulaire désigne l'approche utilisée par Wiles à la suite, notamment, des travaux de Mazur, Frey, Ribet et Serre, pour démontrer le dernier théorème de Fermat. Elle repose sur la modularité des courbes elliptiques rationnelles et les propriétés de leurs représentations galoisiennes. La généralisation de cette méthode à d'autres équations diophantiennes (notamment de type Fermat) fait apparaître de nombreuses et profondes difficultés. Après un tour d'horizon de la méthode modulaire, nous discuterons des nouvelles approches de ces questions, en lien notamment avec la méthode multi-Frey de Siksek et le programme de Darmon. Il s'agit d'un travail en cours et en collaboration avec Imin Chen, Luis Dieulefait et Nuno Freitas.

Titre : Groupes de monodromie en caractéristique paire

Résumé :  En vue d'étudier l'uniformité différentielle de familles de polynômes à coefficients sur un corps fini de caractéristique paire, nous serons amenés à déterminer des polynômes associés possédant certaines propriétés liées à la Trace et dont les groupes de monodromie sont le groupe  symétrique tout entier. Une application du théorème de densité de Chebotarev nous permettra alors d'obtenir de manière asymptotique le résultat recherché.

Titre : The Inverse Jacobian problem

Résumé :  To an algebraic curve C over the complex numbers one can associate a non-negative integer g, the genus, as a measure of its complexity. One can also associate to C, via complex analysis, a g×g symmetric matrix Ω called period matrix. Because of the natural relation between C and Ω, one can obtain information of one by studying the other. Therefore, it makes sense to consider the inverse problem: Given a period matrix Ω, can we compute a model for the associated curve C?

In this talk, we will revise how to construct the period matrix of a curve, we will see some known results around this problem, and discuss some applications of its solution.

Titre : Optimisation de la complexité scalaire de l'algorithme de type Chudnovsky dans les corps finis

Résumé : Nous présentons une stratégie générique permettant d'obtenir l'algorithme de multiplication de type Chudnovsky dans des corps finis ayant une complexité scalaire optimisée. Cette complexité est directement liée à une représentation des espaces de Riemann-Roch sous-jacents visant à obtenir des matrices creuses. De plus, nous parlons aussi d'un critère de la limite supérieure du nombre de zéros dans la première matrice paramétrique qui est déterminé dans l'algorithme Chudnovsky pour améliorer l'efficacité du calcul de notre stratégie d'optimisation. 

Titre : Familles infinies de polynômes d'uniformité différentielle maximale

Résumé : Nous exhiberons des familles infinies d'entiers m tels que tout polynôme de degré m a une uniformité différentielle maximale sur toutes les extensions suffisamment grandes du corps fini de base, démontrant en particulier une conjecture due à Voloch.

Titre : The generalized quaternion isogeny path problem

Résumé : The correspondence between maximal orders in a quaternion algebra and supersingular elliptic curves has uncovered new perspectives in the field of isogeny-based cryptography. The KLPT algorithm of Kohel et al. in 2014 introduces an algorithm solving the quaternion isogeny path problem in polynomial time. Studying this problem has applications both constructive and destructive. It has allowed to reduce the problem of computing isogenies between two curves to the one of endomorphism ring computation. The GPS signature scheme from Galbraith et al. in 2017 was built on this algorithm.

The main algorithm of KLPT solves the problem when the maximal order is special extremal. The paper also proposes a generalized version, but it produces an output that has some very characteristic property that prevent from using it in some applications, like a generalization of the GPS signature. In this work, we propose a new method to generalize the algorithm. It produces a shorter solution with the same time complexity and without the problematic property mentioned earlier.

Titre : Arboreal Galois representations

Résumé : Arboreal Galois representations are useful to describe the Galois theory of iterates of rational maps over number fields. These representations were introduced in the 1980s to study the prime divisors of non-linear recurrences (also called dynamical sequences). We study so-called dynamical Belyi maps; for these rational maps, we fully determine their arboreal Galois representations, and prove a result about the density of prime divisors of the corresponding dynamical sequences.

This is joint work with Irene Bouw and Özlem Ejder.

Titre : Descente sur les surfaces elliptiques et bornes arithmétiques pour le rang.

Résumé : Les techniques classiques de p-descente permettent de borner le rang d'une courbe elliptique donnée sur un corps de nombres donné. En adaptant ces techniques au cas des surfaces elliptiques, nous obtenons, sous des hypothèses assez faibles, une borne supérieure pour le rang d'une surface elliptique non constante. Pour p = 2, cette borne est un raffinement arithmétique de la célèbre borne géométrique que l'on déduit de l'inégalité d'Igusa. Cela répond à une question posée par Ulmer, et nous permet également d'établir une heuristique en faveur d'une conjecture de Silverman sur le comportement asymptotique du rang.

Titre : Isomorphismes de représentations galoisiennes modulaires et graphes

Résumé : Dans cet exposé, je vais expliquer comment tester efficacement et effectivement si deux représentations galoisiennes modulaires du groupe absolu de Galois des rationnels sont isomorphes. En particulier, je présenterai de nouvelles bornes optimales sur le nombre de traces à tester. Je discuterai également brièvement des graphes des isomorphismes, des résultats associés sur les algèbres de Hecke et de la construction d'une base de données de représentations.

Titre : Bornes sur la distance minimale de codes géométriques algébriques sur des familles de surfaces

Résumé : Le but de cet exposé est d'étudier des codes géométriques algébriques construits sur des surfaces définies sur un corps fini. Dans un premier temps nous allons donner des bornes inférieures sur la distance minimale de ces codes dans deux grandes families de surfaces algébriques : celles dont le diviseur canonique est nef ou anti-ample et celles qui ne contiennent pas de courbes irréductibles de petit genre. Puis nous améliorons ces bornes dans le cas des surfaces minimale fibrées, en utilisant la géométrie propre à ces surfaces.

Il s'agit d'un travail en cours avec Yves Aubry, Fabien Herbaut et Marc Perret.

Titre : Codes with identifiable parent & traceability properties, and broadcast encryption

Résumé : In this talk we address the problem of broadcast encryption schemes resistant to collusion attacks of malicious users and consider the corresponding mathematical models known under the name of IPP codes and Traceability codes.  For any set U of q-ary vectors of length n we define its convex hull  <U>  as the set of vectors z such that each coordinate of z coincides with corresponding coordinate of at least one vectors of U. A q-ary code C  of length n is called a t-IPP code if for any q-ary vector z  either intersection of all t-subsets U of C such that z\in <U>  is non-empty or there is no t-subsets U of C such that z \in <U> .  We describe the known results as well as some open problems concerning IPP codes and traceability codes.

Titre : Comptage de courbes elliptiques avec structure de niveau prescrite sur les corps de nombres

Résumé : Un théorème récent de R. Harron et A. Snowden décrit le comportement asymptotique du nombre de courbes elliptiques sur Q de hauteur bornée et à sous-groupe de torsion prescrit. J’expliquerai comment ce résultat peut être étendu à des corps de nombres et des « structures de niveau » convenables. Un aspect intéressant de cette sitation plus générale est qu’elle mène à étudier des hauteurs sur des espaces projectifs à poids, introduites par A.-W. Deng. Il s’agit d’un travail en cours avec Filip Najman.

Titre : Cyclicité des variétés abéliennes après réduction modulo p

Résumé : Soit une variété abélienne A définie sur le corps Q des nombres rationnels, on définie \Delta(A) comme étant l'ensemble des premiers p, telle que A a bonne réduction en p et la réduction A_p modulo p de A a un groupe cyclique des points rationnels. Ce problème est du type Lang-Trotter et est lié au problème d'Artin généralisé: étant donné une famille F de corps de nombres contenant Q, décrire l'ensemble des nombres premiers qui ne se décomposent pas complètement dans aucun élément de F.  Dans cet exposé on verra certains résultats connus dans les cas des courbes elliptiques. Par exemple, sous l’hypothèse de Riemann généralisé, Serre a montré que \Delta(E) a une densité positive si et seulement si E possède un point irrationnel d'ordre 2. On verra aussi la formulation pour les variétés abéliennes de dimension supérieur et les problèmes qui se posent.

Titre : Solving aX^p + bY^p = cZ^p with abc containing an arbitrary number of prime factors.

Résumé : Let a,b,c be non-zero integers. The Asymptotic Fermat Conjecture (AFC) with coefficients a,b,c predicts that the total set of rational points of aX^p + b Y^p + c Z^p=0 for p ranging over the set of primes can be achieved in a finite set P_{a,b,c} of exponents p.

This conjecture is connected to the theory of elliptic curves due to Mazur and Frey. The first cases of the conjecture were stablished by Wiles, Serre, Mazur, Frey, Ribet or Kraus via the modularity method and S-unit equations. 

In this talk we will give an introduction to the topic, i.e. elliptic curves, S-unit equations and modularity.

We shall exhibit a further study of the S-unit equation that allows us to prove AFC for abc containing an arbitrary number of prime factors. This is joint work with Luis Dieulefait (Universitat de Barcelona). 

Titre : Orienting supersingular isogeny graphs

Résumé :  Supersingular isogeny graphs have been used in the Charles–Goren–Lauter cryptographic hash function and the supersingular isogeny Diffie–Hellman (SIDH) protocole of De Feo and Jao. A recently proposed alternative to SIDH is the commutative supersingular isogeny Diffie–Hellman (CSIDH) protocole, in which the isogeny graph is first restricted to F_p-rational curves E and  F_p-rational isogenies then oriented by the quadratic subring Z[\pi] of  End(E) generated by the Frobenius endomorphism \pi on E.

We introduce a general notion of orienting supersingular elliptic curves and their isogenies, and use this as the basis to construct a general oriented super- singular isogeny Diffie-Hellman (OSIDH) protocole. By imposing the data of an orientation by an imaginary quadratic ring O, we obtain an augmented category of supersingular curves on which the class group Cl(O) acts faithfully and transitively. This idea is already implicit in the CSIDH protocol, in which supersingular curves over F_p are oriented by the Frobenius subring Z[\pi] ≃ Z[\sqrt{−p}]. In contrast, we consider an elliptic curve E_0 oriented by a CM order O_K of class number one. To obtain a nontrivial group action, we consider l-isogeny chains, on which the class group of an order O of large index l^{n} in O_K acts, a structure we call a whirlpool. The map from l-isogeny chains to its terminus forgets the structure of the orientation, and the original base curve E_0, giving rise to a generic supersingular elliptic curve. 

Within this general framework, we define a new oriented supersingular isogeny Diffie-Hellman (OSIDH) protocol, which has fewer restrictions on the proportion of supersingular curves covered and on the torsion group structure of the underlying curves. Moreover, the group action can be carried out effectively solely on the sequences of moduli points (such as j-invariants) on a modular curve, thereby avoiding expensive isogeny computations, and is further amenable to speedup by precomputations of endomorphisms on the base curve E_0.

This is joint work with David Kohel.

Titre: Computations of Galois groups and Splitting Fields

Résumé : The Galois group of a polynomial is the automorphism group of its splitting field. The Galois group of a polynomial can be used to compute a splitting field of a polynomial and this was implemented in Magma by Claus Fieker for polynomials over number fields a little over 10 years ago. I will describe the Fieker-Klueners algorithm for computing Galois groups and how similar approaches can be used to compute splitting fields in 3 representations. My interest in these algorithms is to adjust them for use with polynomials over global function fields and I will discuss progress towards this.