Programma: esempi di applicazioni dell'algebra lineare: il problema del ranking di Google, la riduzione dimensionale di un insieme di dati, il flusso del traffico attraverso una rete stradale. Primi esempi di sistemi lineari e eliminazione di Gauss.
Programma: Definizione di sistema lineare. Soluzioni, sistemi equivalenti, soluzione parametrica di un sistema lineare, mosse di riga e sostituzione.
Testi: [He] Ch.I, I.1 e I.2, o [AdF] Sez. 3, 3.1-3.3 (solo per sistemi quadrati) e 6.1-6.2 (generale ma usa terminologia che non abbiamo ancora) o [CCG] Cap. 6 sez 1 e 2 (algoritmo B), vedere anche Cap. 3 sez 3.
Programma: Sistemi a scala, rango di un sistema a scala, pivot. L'algoritmo di eliminazione di Gauss. Sistemi con un parametro.
Testi: [He] Ch.I, I.1 e I.2, o [AdF] Sez. 3, 3.1-3.3 (solo per sistemi quadrati) e 6.1-6.2 (generale ma usa terminologia che non abbiamo ancora) o [CCG] Cap. 6 sez 1 e 2 (algoritmo B), vedere anche Cap. 3 sez 3.
Programma: Gruppi, anelli, campi, prima definizione di spazio vettoriale.
Testi: [AdF] Sez. 1.3 o [CCG] Cap. 2 sez 2.1-2.6.
Programma: Spazi vettoriali: definizione, esempi, sottospazi, esempi di sottospazi.
Testi: [He] Ch.II, I.1 e I.2, [AdF], Sez. 4.1, o [GGC] Cap. 4, sez. 1-2.
Programma: Presentazione Cartesiana di un sottospazio, generatori e presentazione parametrica di un sottospazio, come passare da una all'altra.
Testi: [AdF] Sez. 4.1 e 4.2 o [He] Ch.II, I.2 o [CCG] Cap. 4, sez 2-3.
Programma: Dipendenza lineare, insiemi linearmente indipendenti, basi, coordinate rispetto a una base.
Testi: [AdF] Sez. 4.2 e 4.3, o [He] Ch.II II.1, III.1, o [CCG] Cap. 4, sez 4-5.
Programma: Coordinate rispetto a una base. Come estrarre una base da presenttazione Cartesiana. "Mosse di colonna" tra vettori non cambiano lo Span. Come estrarre una base da un insieme di generatori. Tutte le basi hanno lo stesso numero di elementi. Dimensione di uno spazio.
Testi: [AdF] Sez. 4.3 e 4.4, o [He] Ch.II, III.1, III.2, o [CCG] Cap. 4, sez 4-5.
Programma: Esempi di dimensione di vari spazi. Esistenza e completamento di basi. Estrarre un base da un insieme di generatori con mosse di riga.
Testi: [AdF] Sez. 4.4 o [CCG] Cap. 4, sez 4-5.
Programma: Somma e intersezione di spazi. La formula di Grassmann.
Testi: [AdF] Sez. 4.4-4,5 o [CCG] Cap. 4, sez 6.
Programma: Applicazioni lineari: definizione, primi esempi, immagine e nucleo. Esempi su nucleo e immagine di applicazioni lineari. Condizioni per iniettività e suriettività di un'applicazione lineare. Il teorema della dimensione.
Testi: [AdF] Sez. 5.1 e 5.2. o [CCG], Cap. 5, sez. 1.
N.B.: per qualche motivo il teorema della dimensione è stato accidentalmente tagliato dagli appunti. Lo potete trovare al teorema 5.7 di [AdF] o qua.
Programma: Un'applicazione lineare è bigettiva se e solo se manda una base in una base. Esistenza e unicità di un'applicazione lineare assegnati i valori su una base. Esistenza e unicità dell'inversa.
Testi: [AdF] Sez. 5.2. e 7.1 o [CCG], Cap. 5, sez. 1 e 2.
Programma: Prodotto tra matrici e vettori. Il prodotto per una matrice è un'applicazione lineare, applicazione a nucleo e immagine. Notazione matriciale per i sistemi, teorema di Rouché-Capelli.
Testi: [AdF] Sez. 5.1 e 5.2.
Programma: La matrice associata a un applicazione lineare. Esempi: proiezione su W lungo W', matrice di cambio base.
Testi: [AdF] Sez. 8.1 e 8.2 o [CCG] Cap. 5, sez 2
Programma: L'insieme delle applicazioni lineari tra V e W è uno spazio vettoriale. Equivalenza dello spazio delle applicazioni lineari tra V e W allo spazio delle matrici mxn. Una base dello spazio delle applicazioni lineari tra V e W. Esempi di matrici associate a varie applicazioni lineari.
Testi: [AdF] sez. 8.2 o [CCG] Cap. 5, sez. 2.
Programma: Composizioni di applicazioni lineari e prodotti di matrici, cambio base di matrici associate.
Testi: [AdF] sez. 8.1 per la matrice di cambio base, sez. 7.1, 7.2 per il resto, o [CCG] Cap 5, sez 1-2-4.
Programma: Matrici invertibili e applicazioni. Cambio base per un endomorfismo e coniugio.
Testi: [AdF] sez. 7.3 e 8.2. Nota: l'uso dell'algoritmo di Gauss-Jordan per calcolare l'inversa è descritto nell'esempio 7.7 o [CCG] Cap. 5, sez 4 e Cap 3, osservazione 3.4.7 per il calcolo dell'inversa.
Programma: Il determinante: assiomi fondamentali, se il determinante esiste è unico, sviluppi di Laplace per colonne e righe. Il teorema di Binet. Corollari: il determinante non dipende dalla classe di coniugio, determinante di un endomorfismo.
Testi: [AdF] sez. 9.1, 9.2 e 9.3 o [CCG] Cap. 3, sez 5 e 6.
Programma: Formula di Cramer, inversa con Cramer, il criterio degli orlati, esempi e applicazioni. Autovalori e autovettori: prime definizioni ed esempi.
Testi: [AdF] sez. 9.3 (l'inversa con Cramer è fatta nell'esercizio 9.18) e 13.1 o [CCG] Cap. 6 sez 2 per Cramer, Cap 5 sez. 3 per il criterio degli orlati e Cap. 7 sez 1 per gli autovettori e autovalori.
Programma: Autovalori e autovettori: il polinomio caratteristico, gli autovalori sono gli zeri del polinomio caratteristico, ripasso su polinomi e divisione polinomiale, molteplicità algebrica e geometrica.
Testi: [AdF] Sez. 13.1-13.3 o [CCG] Cap. 7 sez 1-3.
Programma: Autovalori e autovettori: gli autospazi di un operatore lineare sono in somma diretta, relazione tra le molteplicità algebrica e geometrica, criterio di diagonalizzazione.
Testi: [AdF] Sez. 13.1-13.3 o [CCG] Cap. 7 sez 1-3.
Programma: Discussione informale: la forma di Jordan (fuori da programma d'esame). Esempio: angoli e lunghezze in nel piano Cartesiano. I prodotti scalari: definizioni e esempi, matrice associata, formula di cambio base, prodotti definiti positivi e spazi metrici, ortogonalità.
Testi: [AdF] Sez. 11.1 e 11.5 o [CCG] Cap. 8 sez. 1, 4 e 5.
Programma: Esempi: calcolo del sottospazio ortogonale. Se il prodotto è positivo lo spazio è somma diretta di sottospazio e ortogonale. La proiezione ortogonale su un sottospazio. Basi ortogonali e ortonormali, l'algoritmo di Gram-Schmidt, un prodotto scalare è positivo se e solo se esiste una base ortonormale.
Testi: [AdF] Sez. 11.3 e 11.4 o [CCG] Cap. 8 sez. 2, 4 e 5.
Programma: Basi ortogonali e coefficienti. Calcolare la proiezione su un sottospazio usando una base ortogonale. Teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, disuguaglianza triangolare, angoli e distanze in uno spazio metrico, distanza da un sottospazio.
Testi: [AdF] Sez. 11.2 e 11.3, 11.4, 12.1, 12.2 o [CCG] Cap. 8 sez. 1, 2, 4 e 5.