Appunti Geometria Informatica
Programma: esempi di applicazioni dell'algebra lineare all'informatica. Il problema del ranking di Google e il problema del flusso di traffico. Introduzione ai sistemi lineari.
Testi: [He] Ch I.1, o [AdF] Ch. 3, 3.1 o [CCG] Cap. 6 sez. 1.
Programma: soluzione parametrica di un sistema lineare. Sistemi a scala. L'algoritmo di eliminazione di Gauss.
Testi: [He] Ch.I, I.1 e I.2, o [AdF] Sez. 3, 3.2-3.3 (solo per sistemi quadrati) e 6.1-6.2 (generale ma usa terminologia che non abbiamo ancora) o [CCG] Cap. 6 sez 1 e 2 (algoritmo B), vedere anche Cap. 3 sez 3.
Programma: Esempio: sistemi dipendenti da un parametro. Il sistema omogeneo associato; relazione con le soluzioni del sistema di partenza. Notazione vettoriale per le soluzioni.
Testi: [He] Ch.I, I.2 e I.3, o [AdF] Sez. 6.1-6.2.
Programma: Esempio: Notazione matriciale per i sistemi, esempi di sistemi dipendenti da un parametro. Spazi vettoriali: definizione, esempi, sottospazi.
Testi: [AdF] Sez. 3.1 e 6.1 per la notazione matriciale. Per la definizione di spazio vettoriale e sottospazi [He] Ch.II, I.1 e I.2, [AdF], Sez. 4.1, o [GGC] Cap. 4, sez. 1-2.
Programma: Presentazione Cartesiana di un sottospazio, generatori e presentazione parametrica di un sottospazio. Dipendenza lineare, insiemi linearmente indipendenti, basi.
Testi: [AdF] Sez. 4.1, 4.2 e 4.3, o [He] Ch.II, I.2, II.1, III.1, o [CCG] Cap. 4, sez 2-3.
Programma: "Mosse di colonna" tra vettori non cambiano lo Span. Definizioni equivalenti di base. Coordinate rispetto a una base. Tutte le basi hanno lo stesso numero di elementi. Dimensione di uno spazio.
Testi: [AdF] Sez. 4.4, o [He] Ch.II, III.1, III.2, o [CCG] Cap. 4, sez 4-5-6.
Programma: Esistenza e completamento di basi. Metodi per estrarre una base da un insieme di generatori. Somma e intersezione di sottospazi.
Testi: [AdF] Sez. 4.4-4,5 o [CCG] Cap. 4, sez 6.
Programma: La formula di Grassmann, esempi ed applicazioni.
Testi: [AdF] Sez. 4.5 o [CCG] Cap. 4, sez 6-7.
Programma: Somma diretta di sottospazi. Come usare l'eliminazione di Gauss per trovare basi di sottospazi.
Testi: [AdF] Sez. 4.5 e Sez. 6.3-6.4 o [CCG] Cap. 4, sez 7 (solo somma diretta).
Programma: Le coordinate rispetto a una base danno un isomorfismo di spazi vettoriali. Applicazioni lineari, definizione e esempi. Immagine e nucleo.
Testi: [AdF] Sez. 5.1 e 5.2. o [CCG] Cap. 4 sez. 6 e Cap. 5 sez. 1.
Programma: Esempi su nucleo e immagine di applicazioni lineari. Condizioni per iniettività e suriettività di un'applicazione lineare. Il teorema della dimensione. L'applicazione lineare associata al prodotto per una matrice, scrittura matriciale dei sistemi lineari.
Testi: [AdF] Sez. 5.1 e 5.2. o [CCG], Cap. 5, sez. 1.
Programma: Teorema di Rouché-Capelli. Lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari. Un'applicazione lineare è determinata da cosa fa su una base. Esistenza e unicità di un'applicazione assegnati i valori su una base. Lo spazio delle applicazioni lineari tra K^n e K^m è isomorfo allo spazio delle matrici mxn.
Testi: [AdF] sez. 5.2 per Rouché-Capelli, [AdF] sez. 7.1 o [CCG] Cap. 5 sez 2 pe il resto.
Programma: Una base dello spazio delle applicazioni lineari tra V e W. Equivalenza dello spazio delle applicazioni lineari allo spazio delle matrici mxn. Esempi di matrici associate a varie applicazioni lineari.
Testi: [AdF] sez. 8.2 o [CCG] Cap. 5, sez. 2.
Programma: Matrice di cambio base, composizioni di applicazioni lineari e prodotti di matrici, applicazioni invertibili.
Testi: [AdF] sez. 8.1 per la matrice di cambio base, sez. 7.1, 7.2 per il resto, o [CCG] Cap 5, sez 1-2-4.
Programma: Matrici invertibili e applicazioni. Cambio base per un endomorfismo e coniugio.
Testi: [AdF] sez. 7.3 e 8.2. Nota: l'uso dell'algoritmo di Gauss-Jordan per calcolare l'inversa è descritto nell'esempio 7.7 o [CCG] Cap. 5, sez 4 e Cap 3, osservazione 3.4.7 per il calcolo dell'inversa.
Programma: Alcune formula su inversa e trasposta. Il determinante: assiomi fondamentali, se il determinante esiste è unico, sviluppi di Laplace per colonne e righe, il criterio degli Orlati.
Testi: [AdF] sez. 9.1, 9.2 e 9.4 o [CCG] Cap. 3, sez 5 e 6.
Programma: Il teorema di Binet. Corollari: il determinante non dipende dalla classe di coniugio, determinante di un endomorfismo, la formula di Cramer, inversa con Cramer. Autovalori e autovettori: prime definizioni ed esempi.
Testi: [AdF] sez. 9.3 (l'inversa con Cramer è fatta nell'esercizio 9.18), 9.4 e 13.1 o [CCG] Cap. 3, sez 5 per il teorema di Binet, Cap. 6 sez 2 per Cramer e Cap. 7 sez 1 per gli autovettori e autovalori.
Programma: Autovalori e autovettori: il polinomio caratteristico, gli autovalori sono gli zeri del polinomio caratteristico, ripasso su polinomi e divisione polinomiale, molteplicità algebrica e geometrica.
Testi: [AdF] Sez. 13.1-13.3 o [CCG] Cap. 7 sez 1-3.
Programma: Autovalori e autovettori: gli autospazi di un operatore lineare sono in somma diretta, relazione tra le molteplicità algebrica e geometrica, criterio di diagonalizzazione.
Testi: [AdF] Sez. 13.1-13.3 o [CCG] Cap. 7 sez 1-3.
Programma: Discussione informale: la forma di Jordan (fuori da programma d'esame). Esempio: angoli e lunghezze in nel piano Cartesiano. I prodotti scalari: definizioni e esempi, ortogonalità.
Testi: [AdF] Sez. 11.1 o [CCG] Cap. 8 sez. 1.
Esercizi nona e decima settimana
Soluzioni
Programma: Nucleo di un prodotto scalare, prodotti definiti e semidefiniti, la matrice di un prodotto scalare in una data base, il criterio di Sylvester.
Testi: [AdF] Sez. 11.1 e 11.5. [CCG] tratta gli argomenti in una maniera differente e non ha un corrispondente di questa lezione.
Programma: Cambio base per prodotti scalari e relazione di congruenza, basi ortogonali e ortonormali, un prodotto scalare ha una base ortonormale se e solo se è positivo, teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cauchy-Schwartz.
Testi: [AdF] Sez. 11.2 e 11.3 o [CCG] Cap. 8 sez. 1 e 2.
Programma: La disuguaglianza triangolare, spazi metrici, distanze e angoli, coefficienti rispetto a una base ortogonale, la proiezione ortogonale su un sottospazio, distanza di un vettore da un sottospazio.
Testi: [AdF] Sez. 11.4, 12.1, 12.2 o [CCG] Cap. 8, sez. 4 e 5.