Appunti Geometria Fisica
Argomenti svolti dal Prof. Piccinni
Prima e seconda settimana (23-30 settembre)
Introduzione al corso. Qualche cenno sulla geometria nell'antica Grecia e la genesi della geometria analitica nell'età moderna. Cenni sull'indice del libro di testo. Nozioni preliminari: Insiemi e funzioni, numeri e operazioni. Irrazionalità della radice di 2. Esempi numerici di sistemi lineari 2x2 e 3x3: loro riduzione a scala per eliminazione di Gauss, loro pivots nella riduzione a scala effettuata. loro risoluzione e interpretazione geometrica. Un esempio numerico di sistema 4x4. Sua riduzione a scala, confronto dei pivots per la matrice A dei coefficienti e la matrice B dei coefficienti + termini noti. Interpretazione geometrico-analitica delle soluzioni del sistema e della sua riduzione a scala.
Testo: prefazione (pp.viii-ix), Capitolo 1 e inizio del Capitolo 3 (paragrafo 3.1: Esempi e definizioni, pp. 40-41 e pp. 42-43).
Terza settimana (4-7 ottobre)
Scrittura del più generale sistema lineare mxn. Sua scrittura vettoriale utilizzando i "vettori colonna" delle matrici A e B. Descrizione della procedura di riduzione a scala per un sistema lineare mxn, nozione di rango per pivots r di una matrice. Enunciato del teorema di Rouché-Capelli: caso di un'unica soluzione e caso di infinite soluzioni, in dipendenza di n-r parametri. Caso dei sistemi lineari omogenei. Numeri complessi, operazioni in forma algebrica e in forma trigonometrica.
Testo: Capitolo 3 (paragrafi 3.1,3.2,3.3),Capitolo 4 (paragrafo 4.6), Capitolo 6 (paragrafi 6.1, 6.2, 6.3).
Quarta settimana (11-14 ottobre)
Sistemi lineari e sistemi lineari omogenei associati. Teorema di struttura (Prop. 5.1 del libro), con dimostrazione. Esempio di sistema facilmente risolvibile con l'uso del Lemma 3.2 del libro (variazioni sull'eliminazione di Gauss). Vettori applicati in un punto O del piano euclideo. Somma tra vettori applicati e prodotto di un vettore applicato per uno scalare reale h. Proprietà delle operazioni appena definite. Vettori applicati proporzionali e non proporzionali, basi. Coordinate di un vettore applicato in una base fissata. Riferimenti affini (o cartesiani) nel piano euclideo, coordinate di punto in un riferimento fissato. Equazioni parametriche e equazione cartesiana di una retta del piano euclideo, in un riferimento fissato. Vettori liberi del piano euclideo.
Definizione di spazio vettoriale reale, elenco delle proprietà (1),...,(7). Esempi: gli spazi vettoriali dei vettori applicati e dei vettori liberi, lo spazio vettoriale numerico R^n; lo spazio vettoriale delle equazioni lineari nelle n incognite x_1,...,x_n; gli spazi vettoriali dei polinomi nell'indeterminata x e dei polinomi di grado minore o uguale a n nell'indeterminata x; gli spazi delle funzioni reali e delle funzioni reali continue di variabile reale; lo spazio delle matrici mxn con elementi reali. Numeri complessi: potenza e radici. In particolare radici dell'unità. Esercizi.
Testo: Capitolo 2 (paragrafi 2.1,2.2,2.3 e complemento 2C.1), Capitolo 4 (paragrafi 4.1,4.6,4.7, lemma 4C.1, def. 4C.2 e 4C.3 e enunciato teorema 4C.2 ), Capitolo 5 (paragrafo 5.1, solo p. 92). Esercizi sui numeri complessi e su sistemi lineari anche con parametro (esercizi ai capitoli 3,4 e 6).
Quinta settimana (18-21ottobre)
Sottospazi vettoriali. Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo sono un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale numerico. Combinazione lineari di vettori, il sottospazio Span generato dai vettori v_1,...,v_k. Sistemi di generatori in uno spazio vettoriale. Vettori linearmente indipendenti e vettori linearmente dipendenti. k vettori sono linearmente dipendenti se e solo se uno di essi è combinazione lineare dei rimanenti. Basi (finite) di uno spazio vettoriale. Coordinate di un vettore in una base fissata. Teorema: se n vettori generano uno spazio vettoriale V, e se m>n, allora m vettori sono necessariamente linearmente dipendenti. Corollario: se V è finitamente generato, allora ogni base è costituita dallo stesso numero di vettori. Dimensione (finita) di uno spazio vettoriale. Se n = dim V, allora ogni n-pla di vettori linearmente indipendenti è una base e, se k<n, ogni k-pla di vettori linearmente indipendenti può essere completata a una base. Base canonica dello spazio vettoriale numerico R^n. Esempi di terne di vettori in R^3 che sono basi o che non lo sono. Base canonica dello spazio vettoriale R_{≤ k}[x] dei polinomi di grado minore o uguale a k nell'indeterminata x. Base canonica dello spazio vettoriale M_{m,n}(R) delle matrici a m righe e n colonne con elementi reali. Identificazione, nei due casi, delle coordinate di un polinomio o di una matrice rispetto alla base canonica, con i coefficienti del polinomio e con gli elementi della matrice. Base numerabile dello spazio vettoriale R[x] dei polinomi nell'indeterminata x. Esempi di sottospazi vettoriali. Intersezione e somma di due sottospazi vettoriali U e W di uno spazio vettoriale V. Formula di Grassmann (con dimostrazione). Somme dirette. Esempio: la decomposizione dello spazio vettoriale M_n (R) nella somma diretta dei due sottospazi U e W costituiti risp. dalle matrici simmetriche e dalle matrici antisimmetriche; calcolo delle dimensioni di tali sottospazi U e di W.
Testo: Capitolo 4 (paragrafi 4.2, 4.3, 4.4, 4.5). Esercizi del capitolo 4.
Sesta settimana (25-28 ottobre)
Operazioni elementari sulle righe di una matrice mxn. Identificazione dei ranghi per pivots, per righe e per colonne di una matrice mxn (con dimostrazione). Teorema di Rouché-Capelli (con dimostrazione). Definizione di applicazione lineare T: V --> W tra spazi vettoriali. Una tale T è individuata dalle immagini dei vettori di una base di V. Nucleo e immagine di un'applicazione lineare, il nucleo e l'immagine sono sottospazi vettoriali, e una T lineare è iniettiva se e solo se il suo nucleo è solo il vettore nullo.L'applicazione lineare L_A: R^n --> R^m definita da una matrice mxn A; identificazione del suo nucleo e della sua immagine. "Rango di un'applicazione lineare" e sua coincidenza con il rango per colonne quando T=L_A. Descrizione di tre esempi di applicazioni lineari: la rotazione di un angolo sul piano dei vettori geometrici, la trasposizione sullo spazio vettoriale delle matrici, la derivazione sullo spazio vettoriale dei polinomi.
Testo: Capitolo 5, paragrafi 5.1, 5.2
Programma: esercizi su formula di Grassmann, applicazioni lineari, l'applicazione lineare definita da una matrice.
Programma: Esistenza e unicità di un applicazione lineare dati i valori su una base, rappresentazione di applicazioni lineari tra spazi di dimensione finita come matrici dopo la scelta di una base, esempi.
Testo: Sezione 5.1. La rappresentazione di un'applicazione lineare come matrice è equivalente alla prima proposizione 8.1 (vedi anche la prima parte della prop. 7.4).
Programma: Un'applicazione lineare tra spazi della stessa dimensione è iniettiva se e solo se è suriettiva, teorema della dimensione, teorema di Rouché-Capelli. Le applicazioni lineari tra due spazi vettoriali sono uno spazio vettoriale, la composizione di applicazioni lineari è lineare, applicazioni lineari invertibili e isomorfismi di spazi vettoriali.
Testo: Sezioni 5.2 e 7.1.
Programma: Un'applicazione lineare è invertibile se e solo se è bigettiva. Isomorfismo tra lo spazio delle applicazioni lineare e delle matrici. Prodotto di matrici.
Testo: Sezione 7.1, inizio della sezione 7.2. La nostra versione della proposizione 7.4 è enunciata in maniera più generale ma sostanzialmente equivalente.
Programma: Criteri equivalenti per l'invertibilità di un'applicazione lineare. Prodotto tra matrici e composizione, l'inversa di una matrice, esempio di calcolo dell'inversa.
Testo: Sezioni 7.2 e 7.3.
Esercizi della settimana: Svolgere gli esercizi 7.1, 7.2, 7.3, 7.5, 7.7, 7.14, 7.17, 7.20 dal libro di testo.
Programma: Algoritmo per trovare l'inversa di una matrice, scrivere una matrice che manda una base in vettori dati. Cambio base per vettori e applicazioni lineari.
Testo: Sezioni 8.1 e 8.2. L'algortimo per trovare l'inversa è descritto brevemente nell'esempio 7.7.
Programma: Esercizi su costruzione di applicazioni lineari e cambio base.
Programma: Il determinante, proprietà fondamentali e costruzione esplicita.
Testo: Sezioni 9.1 e 9.2.
Esercizi della settimana: Svolgere gli esercizi 8.3, 8.4, 8.5, 8.11, 8.12, 8.18, 8.26 dal libro di testo.
Programma: Moltiplicatività del determinante (teorema di Binet). Regola di Cramer per risolvere sistemi lineari, inversa con Cramer. Il determinante della matrice inversa e di matrici simili, il determinante di un endomorfismo. Teorema degli orlati (solo enunciato).
Testo: Sezioni 9.2, 9.3 e 9.4. L'inversa con Cramer è l'esercizio 9.18. Ho aggiunto una perifrasi delle discussioni informali sul significato del determinante e sulla densità delle matrici invertibili. Ho anche aggiunto una dimostrazione del Teorema degli Orlati come approfondimento.
Programma: Autovettori e autovalori: definizione, primi esempi, il polinomio caratteristico, gli autovalori sono zeri del polinomio caratteristico. Esercizi su cambio base e determinante.
Testo: Sezioni 13.1 e 13.2. L'esempio 13.1 sarà illuminante sull'utilità degli autovettori una volta che avremo fatto i prodotti scalari.
Programma: Autovettori e autovalori: proprietà del polinomio caratteristico, molteplicità, teorema: T diagonalizzabile se e solo se il polinomio caratteristico ha le radici nel campo e le molteplicità algebriche e geometriche sono uguali.
Testo: Sezioni 13.2 e 13.3. Ho riscritto le note relative agli ultimi 20 minuti circa per renderle più chiare e aggiunto un esempio di diagonalizzazione 3x3.
Esercizi della settimana: Svolgere gli esercizi 9.6, 9.7, 9.8, 9.22, 9.23, 9.27, 9.28, 13.2 (suggerimento: usate il cor. 13.7) dal libro di testo.
Programma: Esercizi su autovalori e autovettori: calcolo di basi diagonalizzanti, due endomorfismi diagonalizzabili commutano se e solo se esiste una base formata da autovettori per entrambi. Discussione (semi)-informale, fuori programma d'esame: il polinomio minimo.
Programma: Forma di Jordan e forma di Jordan reale (fuori dal programma d'esame). Geometria Euclidea su piano e spazio: derivazione del prodotto scalare, formula data una base ortonormale, angoli e lunghezze, formula di cambio base.
Testo: seguiamo le note di Paolo Piazza dal corso 2020-21. Alternativamente, Sezioni 11.1, 12.1 e 12.2.
Programma: Orientazioni in R^3, esempio: scrivere la rotazione attorno a un asse qualsasi. Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Spazio ortogonale ed equazioni di rette e piani. Il prodotto vettoriale in R^3. Discussione (semi)-informale, fuori programma d'esame: da dove viene il prodotto vettoriale?
Testo: seguiamo le note di Paolo Piazza dal corso 2020-21. Alternativamente, Teorema 11.6 (Gram-schmidt) e Sezioni 12.2, 12.3.
Esercizi della settimana: Diagonalizzazione: svolgere gli esercizi 13.3, 13.6, 13.7, 13.11, 13.12 dal libro di testo. Geometria Euclidea: svolgere l'esercizio 12.27 dal libro di testo e gli esercizi 1-3 dal foglio di esercizi del corso 2020-2021, link. L'esercizio 3 è su R^4 ma tutto quello che abbiamo detto su R^3 funziona uguale.
Programma: Prodotti scalari: definizione, ortogonalità, nucleo, scrittura in una base tramite matrici simmetriche, cambio base e congruenza tra matrici, prodotti definiti, semidefiniti e indefiniti, spazi metrici.
Testo: Sezione 11.1. Sezione 11.5 per la rappresentazione con matrici.
Programma: Prodotti scalari: esistenza di vettori isotropi. esempio: la restrizione di un prodotto non degenere a un sottospazio può essere degenere. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Basi ortogonali e ortonormali, ortonormalizzazione di Gram-Schmidt, un prodotto scalare è positivo se e solo se ammette una base ortonormale se e solo se la matrice associata è congruente all'identità.
Testo: Sezioni 11.2 e 11.3.
Esercizi della settimana: Svolgere l'esercizio alla fine degli appunti di mercoledì e gli esercizi 11.1, 11.3, 11.9 (provate a pensare alla domanda se siano (semi)definiti guardando gli esempi 11.3, 11.4, 11.5 e provando casi espliciti, ma impareremo a farlo sistematicamente la settimana prossima), 11.12.
Programma: Proiezioni. Proiezione ortogonale su un sottospazio di uno spazio metrico, la proiezione di un vettore dà il punto di minima distanza dal sottospazio. Criterio per l'esistenza di una proiezione ortogonole su un sottospazio quando il prodotto scalare non è definito positivo. Teorema di diagonalizzazione (esistenza di una base ortogonale per un prodotto scalare generale), teorema di Sylvester.
Testo: Sezione 11.4. Per il teorema di diagonalizzazione e di Sylvester si possono usare le note di Paolo Piazza 2020-2021, sezioni 5 e 7 (la prima parte delle note assume la conoscenza del teorema spettrale, che faremo venerdì).
Programma: Operatori simmetrici: basi di autovettori, Teorema spettrale, conseguenze: diagonizzazione simultanea di un prodotto scalare positivo e uno qualunque. Ho reso la parte finale della lezione un po' più chiara.
Testo: Sezione 14.1. Vedere anche le note di Paolo Piazza su teorema spettrale e diagonalizzazione di prodotti scalari.
Esercizi della settimana: Svolgere i fogli di esercizi del 18/12/2020 e 31/12/2020 dalla pagina di Paolo Piazza (alcune notazioni differiscono leggermente ma niente di indecifrabile). Svolgere inoltre gli esercizi 14.1, 14.2 e 14.3 dal libro di testo. Gli esercizi 14.3, 14.8 e 14.9 sono interessanti da provare a fare e non troppo difficili.
Programma: Prodotti Hermitiani. Definizione, rappresentazione con matrici, prodotti (semi) definiti, algoritmo di Cauchy Schwartz, teorema di diagonalizzazione. Le dimostrazioni omesse sono uguali a quelle che ho fatto per i prodotti scalari su spazi reali: convincetevene come esercizio.
Testo: Vedere questo foglio di esercizi e gli appunti di questa lezione dal corso Diverio-Bravi dell'anno scorso. Il libro di testo non tratta l'argomento abbastanza approfonditamente ma altri testi come il Sernesi e il Lang lo fanno.
Programma: Operatori autoaggiunti e unitari; un operatore che ammette una base di autovettori ortonormale rispetto a un prodotto Hermitiano positivo è autoaggiunto/unitario se gli autovalori sono reali/di norma 1. Teorema spettrale per operatori autoaggiunti e unitari. Le dimostrazioni omesse sono uguali a quelle che ho fatto per i prodotti scalari su spazi reali: convincetevene come esercizio.
Testo: Vedere gli appunti di queste lezioni dal corso Diverio-Bravi dell'anno scorso. Il libro di testo non tratta l'argomento abbastanza approfonditamente ma altri testi come il Sernesi e il Lang lo fanno.
Programma: Esercizi sul teorema spettrale e sui prodotti Hermitiani. Ho corretto un piccolo errore di calcolo e aggiunto alla fine una serie di esercizi più teorici da provare a fare per casa, che vi mostrano una piccola generalizzazione della teoria fatta finora. Aggiungerò le soluzioni agli esercizi teorici dopo le vacanze. Il primo esercizio che abbiamo fatto a lezione è alla fine delle dispense della lezione precedente.
Esercizi della settimana: Provare a svolgere gli esercizi alla fine delle ultime dispense. Svolgere l'ultimo foglio di esercizi del corso Diverio-Bravi; l'esercizio 13 è una dimostrazione alternativa del corollario al teorema spettrale che ci assicura si possano diagonalizzare simultaneamente un prodotto scalare positivo e uno qualsiasi (nella nostra scegliamo la base B già ortonormale per il prodotto positivo).
Programma: Riflessioni e rotazioni. Classificazione delle isometrie lineari di uno spazio vettoriale metrico. Questo materiale è fuori programma d'esame.
Scritti del 23/01/2023: Versione a, Versione b.
Soluzioni degli scritti del 23/01/2023: Versione a, Versione b. Queste sono soluzioni piuttosto stringate e non rappresentative del livello di dettaglio richiesto nello scritto. Le due versioni danno soluzioni abbastanza diverse a esercizi quasi uguali (io ho scritto solo la b), quindi se la soluzione di un esercizio vi sembra lontana da quello che abbiamo fatto in classe provate a leggere la soluzione dell'esercizio corrispondente nell'altra versione.