Programma: Lo spazio K^n, sistemi lineari, insieme delle soluzioni, sistemi equivalenti, soluzione parametrica di un sistema lineare. Mosse di riga, la somma di righe non cambia le soluzioni del sistema.
Testi: [AdF] 3.2-3.3 (solo per sistemi quadrati) e 6.1-6.2 (generale ma usa terminologia che non abbiamo ancora) o [Ser] Sez. 3. Si possono usare anche le dispense gratuite online (in inglese) Linear Algebra di J. Hefferon, Ch. 1, I.1 e I.2.
Programma: Sistemi a scala, l'algoritmo di eliminazione di Gauss, dimensione delle soluzioni di un sistema. Notazione matriciale, algoritmo di Gauss-Jordan.
Testi: [AdF] 3.2-3.3 (solo per sistemi quadrati) e 6.1-6.2 (generale ma usa terminologia che non abbiamo ancora) o [Ser] Sez. 3. Si possono usare anche le dispense gratuite online (in inglese) Linear Algebra di J. Hefferon, Ch. 1, I.1 e I.2.
Programma: Sistemi con parametro. Struttura delle soluzioni di un sistema omogeneo, il sistema omogeneo associato, struttura delle soluzioni di un sistema generale.
Testi:[AdF] 3.2-3.3, 6.1-6.2 e pp. 61-62 per i sistemi omogenei,o [Ser] Sez. 3., Linear Algebra di J. Hefferon Ch 1, I.2-I.3.
Programma: Spazi vettoriali: definizione, esempi, sottospazi, esempi di sottospazi, presentazione Cartesiana e parametrica.
Testi: [AdF], Sez. 4.1, 4.2 e 6.4 o [Ser] Cap 1 sez. 1 e sez. 4 o [La] Cap. 1, sez. 1.1.
Programma: Presentazioni parametrica e Cartesiana di un sottospazio, come passare da una all'altra. Spazi affini, definizione e esempi, caratterizzazioni equivalenti. Sottospazi affini, esempi, caratterizzazioni equivalenti.
Testi: [AdF] Sez. 4.1 e 4.2. Per gli spazi affini: [Ser] Cap.1, sez. 7, [AdF] Sez. 2.1-2.3 (solo sull'esempio dei vettori geometrici ma aiuta la comprensione generale).
Programma: Sottospazi affini, chiusura affine di un insieme di punti, presentazioni di sottospazi affini. Criterio per insieme minimale di generatori di un sottospazio vettoriale, indipendenza lineare.
Testi: [AdF] Sez. 4.2 e 4.3 o [Ser] Cap. 1, sez. 4 o [Lan] Cap 1, sez. 1.1 e 1.2. Per gli spazi affini: [Ser] Cap.1, sez. 7, [AdF] Sez. 2.1-2.3 (solo sull'esempio dei vettori geometrici ma aiuta la comprensione generale).
Programma: Basi, definizioni equivalenti di base, esistenza di basi, "mosse di colonna" non cambiano span e dipendenza/indipendenza, tutte le basi hanno lo stesso numero di elementi, dimensione di uno spazio vettoriale. Corollario: il numero di variabili libere di un sistema non dipende dalla risoluzione scelta.
Testi: [AdF] Sez. 4.3 e 4.4, o [Ser] Cap. 1 sez. 4 o [Lan] Cap. 1 sez. 2-3.
Programma: Coordinate rispetto a una base, le coordinate definiscono un isomorfismo con lo spazio K^n, calcoli su indipendenza e spazi generati usando mosse di riga, rango di una matrice, il rango per righe e per colonne sono uguali.
Testi: [AdF] Sez. 4.3 e 4.4, o [Ser] Cap. 1 sez. 4 o [Lan] Cap. 1 sez. 2-3.
Programma: Il teorema di Rouché-Capelli, fine della dimostrazione dell'algoritmo per passare da presentazione parametrica e cartesiana. Dimensione per spazi affini, riferimenti affini. Somma e intersezione di sottospazi.
Testi: [AdF] Sez. 5.2 (Rouché-Capelli, usa termini che dobbiamo ancora definire), Sez. 4.5 o [Ser] Cap.1 sez. 4. Per i riferimenti affini: [Ser] Cap.1, sez. 7
Programma: Somma e intersezione di sottospazi: la formula di Grassmann. Chiusura affine e intersezione di sottospazi affini.
Testi: [AdF] Sez. 4.5 o [Ser] Cap. 1, sez. 4. e sez. 8.
Programma: Sottospazi affini paralleli, incidenti, sghembi. Applicazioni lineari: definzione e esempi, le applicazioni lineari formano uno spazio vettoriale, composizione di applicazioni lineari è lineare.
Testi: [AdF] Sez. 5.1 o [Ser] Cap. 1, sez. 11 o [Lan] Cap. 3, sez. 2. Per i sottospazi affini [Ser] Cap.1, sez. 8.
Programma: Immagine e nucleo di un'applicazione lineare: definizione, prime proprietà, come calcolarli esplicitamente. Teorema della dimensione, Criteri per iniettività e suriettività di applicazioni lineari.
Testi: [AdF] Sez. 5.1, 5.2 o [Ser] Cap. 1, sez. 11 o [Lan] Cap. 3, sez. 2-3.
Programma: Teorema di esistenza e unicità. Applicazioni del teorema di esistenza e unicità: determinare se esiste un'applicazione lineare rispettante condizioni su un insieme arbitrario di vettori, la proiezione su W lungo W'. Esistenza e uncità dell'inversa di un'applicazione lineare bigettiva, calcolo dell'inversa.
Testi: [AdF] Sez. 5.1, 5.2 e 7.1 o [Ser] Cap. 1, sez. 11 o [Lan] Cap. 3, sez. 2-3.
Programma: Trasformazioni affini: scrittura come traslazione più applicazione lineare, proprietà generali, esempi. Prodotto matrice vettore, il prodotto per matrici induce un'applicazione lineare, proprietà dell'applicazione lineare indotta da una matrice, nuova dimostrazione di Rouché-Capelli, esempi.
Testi: [AdF] Sez. 7.1, 5.1 o [Ser] Cap. 1, sez. 11-12 o [Lan] Cap. 3, sez. 3 e Cap. 4, sez 1.
Programma: La matrice associata ad un'applicazione lineare tra due basi B, B', le matrici di cambio base, lo spazio delle applicazioni lineari tra V e W è isomorfo allo spazio delle matrici mxn, moltiplicazione tra matrici, rapporto tra moltiplicazione e composizione. Teorema: formula di composizione.
Testi: [AdF] Sez. 7.1, 7.2, 8.1 e 8.2 o [Ser] Cap. 1, sez. 11 o [Lan] Cap. 4, Sez. 2 e 3.
Programma: Formule di cambio base. Matrici inverse e applicazioni inverse. Esistenza e proprietà della matrice inversa. Inversa di un prodotto/composizione. Calcolo dell'inversa con Gauss-Jordan.
Testi: [AdF] sez. 8.1, .8.2, 7.3. (nota: l'uso dell'algoritmo di Gauss-Jordan per calcolare l'inversa è descritto nell'esempio 7.7) o [Ser] Cap. 1, sez. 11 o [Lan] Cap. 4, Sez. 2 e 3.
Programma: Endomorfismi: coniugio e matrici simili, classi di coniugio/similitudine, equivalenza tra coniugio, similitudine, cambio base. Il determinante: assiomi e proprietà fondamentali.
Testi: [AdF] sez. 8.2 e 9.1 o [Ser] Cap.1, sez. 13 o [Lan] Cap. 4 sez. 3 e Cap. 6 sez. 1-3.
Programma: Se il determinante esiste è unico, sviluppi di Laplace per colonne e righe, il determinante rispetta le stesse proprietà per le righe. Il teorema di Binet. Il determinante non dipende dalla classe di coniugio/similitudine, determinante di un endomorfismo. Formula di Cramer, inversa con Cramer.
Testi: [AdF] sez. 9.1, 9.2, 9.3 (l'inversa con Cramer è fatta nell'esercizio 9.18) o [Ser] Cap.1, sez. 13 o [Lan] Cap. 6 sez. 1-4, 8.
Programma: Autovalori e autovettori, definizioni equivalenti di digaonalizzabilità, Il polinomio caratteristico, gli autovalori sono gli zeri del polinomio caratteristico, ripasso su polinomi, molteplicità algebrica e geometrica, rapporto tra le molteplicità.
Testi: [AdF] Sez. 13.1-13.3 o [Ser] Cap. 1, sez. 13 o [Lan] Cap. 8 sez. 1 e 2.
Programma: Autovettori con autovalori diversi sono indipendenti, gli autospazi di un operatore lineare sono in somma diretta, criterio di diagonalizzazione, corollari: la forma diagonale è unica, un'endomorfismo con n autovalori distinti è diagonalizzabile, esempi. Discussione informale: la forma di Jordan e la forma di Jordan reale.
Testi: [AdF] Sez. 13.1-13.3 o [Ser] Cap. 1, sez. 13 o [Lan] Cap. 8 sez. 1 e 2.
Soluzioni