Programma: esempi di applicazioni dell'algebra lineare all'informatica. Il problema del ranking di Google e il problema del flusso di traffico. Introduzione ai sistemi lineari.
Programma: soluzione parametrica di un sistema lineare. Sistemi a scala. Somma di righe non cambia le soluzioni del sistema.
Testi: [He] Ch.I, I.1 e I.2, o [AdF] Sez. 3, 3.2-3.3 (solo per sistemi quadrati) e 6.1-6.2 (generale ma usa terminologia che non abbiamo ancora) o [CCG] Cap. 6 sez 1 e 2 (algoritmo B), vedere anche Cap. 3 sez 3.
Programma: L'algoritmo di eliminazione di Gauss. Sistemi con parametro.
Testi: [He] Ch.I, I.1 e I.2, o [AdF] Sez. 3, 3.2-3.3 (solo per sistemi quadrati) e 6.1-6.2 (generale ma usa terminologia che non abbiamo ancora) o [CCG] Cap. 6 sez 1 e 2 (algoritmo B), vedere anche Cap. 3 sez 3.
Programma: Esempio: Notazione matriciale per i sistemi, esempi di sistemi dipendenti da un parametro. Sistema omogeneo associato e relazione con le soluzioni del sistema di partenza. Spazi vettoriali: definizione ed esempi.
Testi: [AdF] Sez. 3.1 e 6.1, [CCG] sez. 6.1 o [He] Ch I.2 per la notazione matriciale. Per il sistema omogeneo associato [CCG] sez. 6.1 o [He] Ch. I.3 (più dettagliato). Per la definizione di spazio vettoriale [He] Ch.II, I.1 e I.2, [AdF], Sez. 4.1, o [GGC] Cap. 4, sez. 1-2.
Programma: Spazi vettoriali: definizione, esempi, sottospazi, esempi di sottospazi.
Testi: [He] Ch.II, I.1 e I.2, [AdF], Sez. 4.1, o [GGC] Cap. 4, sez. 1-2.
Programma: Presentazioni parametrica e Cartesiana di un sottospazio, come passare da una all'altra.
Testi: [AdF] Sez. 4.1 e 4.2 o [He] Ch.II, I.2 o [CCG] Cap. 4, sez 2-3.
Programma: Mosse di colonna non cambiano lo span, criterio per insieme minimale di generatori e unicità dei coefficienti, indipendenza lineare, basi, definizioni equivalenti di base.
Testi: [AdF] Sez. 4.2 e 4.3, o [He] Ch.II, I.2, II.1, III.1, o [CCG] Cap. 4, sez 4-5.
Programma: Esistenza di basi, "mosse di colonna" non cambiano span e dipendenza/indipendenza, tutte le basi hanno lo stesso numero di elementi, dimensione di uno spazio vettoriale, corollario: un sottospazio è tutto se e solo se ha la stessa dimensione dello spazio.
Testi: [AdF] Sez. 4.3 e 4.4, o [He] Ch.II, III.1, III.2, o [CCG] Cap. 4, sez 4-5.
Programma: Dimostrazione che il numero di variabili libere non dipende dalla risoluzione scelta, un insieme di dim(V) generatori è una base. Coordinate rispetto a una base, le coordinate definiscono un isomorfismo con lo spazio R^n, calcoli su indipendenza e spazi generati usando mosse di riga.
Testi: [AdF] Sez. 4.3, 6.3 e 6.4, o [He] Ch.II, III.1, III.3, o [CCG] Cap.4, sez 5 (solo coordinate).
Programma: Rango di una matrice, il numero di colonne e righe indipendenti di una matrice è uguale, il teorema di Rouché-Capelli, fine della dimostrazione dell'algoritmo per passare da presentazione parametrica e cartesiana. Somma e intersezione di sottospazi.
Testi: [AdF] Sez. 5.2 (Rouché-Capelli, usa termini che dobbiamo ancora definire), Sez. 4.5 o [CCG] Cap. 5, sez 3 (definizione di rango), Cap. 6, sez. 1-2 (Rouché-Capelli), Cap. 4, sez 7.
Programma: Somma e intersezione di sottospazi: la formula di Grassmann. Applicazioni lineari: definizione e esempi. Definizione di prodotto matrice vettore, il prodotto matrice vettore è un'applicazione lineare.
Testi: [AdF] Sez. 4.5, Sez. 5.1, o [CCG] Cap. 4, sez 6, Cap. 5, sez 1.
Programma: Le applicazioni lineari formano uno spazio vettoriale, composizione di applicazioni lineari è lineare. Il teorema di esistenza e unicità e sue conseguenze.
Testi: [AdF] Sez. 7.1, Sez. 5.1 o [CCG] Cap. 5, sez 1.
Programma: Applicazione del teorema di esistenza e unicità: la proiezione su W lungo W'. Immagine e nucleo: definizione, immagine e nucleo di una matrice, come calcolare immagine e nucleo di un applicazione lineare generale. Il teorema della dimensione (dimostrazione nella prossima lezione).
Testi: [AdF] Sez. 5.1, 5.2 o [CCG] Cap. 5, sez 1.
Programma: Dimostrazione del teorema della dimensione, condizioni per iniettività, suriettività e bigettività di un'applicazione lineare, esistenza e unicità dell'inversa di un'applicazione lineare bigettiva.
Testi: [AdF] Sez. 5.2, 7.1 o [CCG] Cap. 5, sez 1.
Programma: La matrice associata ad un'applicazione lineare tra due basi B, B', le matrici di cambio base, lo spazio delle applicazioni lineari tra V e W è isomorfo allo spazio delle matrici mxn, moltiplicazione tra matrici, rapporto tra moltiplicazione e composizione.
Testi: [AdF] Sez. 7.1, 7.2, 8.1 e 8.2 o [CCG] Cap. 5, sez. 2, Cap. 3, sez. 1 e 2.
Programma: Teorema: matrice associata alla composizione. Formule di cambio base. Matrici inverse e applicazioni inverse. Esistenza e proprietà della matrice inversa. Inversa di un prodotto/composizione. Calcolo dell'inversa con Gauss-Jordan.
Testi: [AdF] sez. 8.1, .8.2, 7.3. Nota: l'uso dell'algoritmo di Gauss-Jordan per calcolare l'inversa è descritto nell'esempio 7.7 o [CCG] Cap 3, osservazione 3.4.7 per il calcolo dell'inversa.
Programma: Esempi di applicazioni delle matrici inverse e delle formule di cambio base. Endomorfismi: coniugio e matrici simili, classi di coniugio/similitudine.
Testi: [AdF] sez. 8.2 o [CCG] Cap. 5, sez 4 e 5.
Programma: Il determinante: assiomi fondamentali, se il determinante esiste è unico, sviluppi di Laplace per colonne e righe. Il teorema di Binet.
Testi: [AdF] sez. 9.1, 9.2 e 9.3 o [CCG] Cap. 3, sez 5 e 6.
Programma: Corollari del teorema di Binet: Il determinante non dipende dalla classe di coniugio/similitudine, determinante di un endomorfismo. Formula di Cramer, inversa con Cramer, il criterio degli orlati, esempi e applicazioni. Autovalori e autovettori: prime definizioni ed esempi, definizioni eqivalenti di diagonalizzabilità.
Testi: [AdF] sez. 9.3 (l'inversa con Cramer è fatta nell'esercizio 9.18) e 13.1 o [CCG] Cap. 6 sez 2 per Cramer, Cap 5 sez. 3 per il criterio degli orlati e Cap. 7 sez 1 per gli autovettori e autovalori.
Programma: Autovalori e autovettori: il polinomio caratteristico, gli autovalori sono gli zeri del polinomio caratteristico, ripasso su polinomi e divisione polinomiale, molteplicità algebrica e geometrica, esempi.
Testi: [AdF] Sez. 13.1-13.3 o [CCG] Cap. 7 sez 1-3.
Programma: Rapporto tra molteplicità algebrica e geometrica, gli autospazi di un operatore lineare sono in somma diretta, criterio di diagonalizzazione, esempi. Discussione informale: la forma di Jordan e la forma di Jordan reale.
Testi: [AdF] Sez. 13.1-13.3 o [CCG] Cap. 7 sez 1-3.
Programma: Prodotti scalari: definizioni ed esempi, la matrice di un prodotto scalare in una data base.
Testi: [AdF] Sez. 11.1 e 11.5. [CCG] Cap. 8, sez 1.
Programma: Ortogonalità, sottospazio ortogonale, nucleo di un prodotto scalare, dimensione del sottospazio ortogonale, prodotti scalari definiti positivi. Criterio per avere un prodotto scalare definito. Spazi metrici, l'ortogonale è in somma diretta, basi ortogonali e ortonormali, algoritmo di Gram-Schmidt, un prodotto è positivo se e solo esiste una base ortonormale (dimostrazioni da completare).
Testi: [AdF] Sez. 11.3 e 11.4 o [CCG] Cap. 8 sez. 2, 4 e 5
Programma: Dimostrazione del teorema di Gram-Schmidt, Basi ortogonali e coefficienti. Calcolare la proiezione su un sottospazio usando una base ortogonale. Teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, disuguaglianza triangolare, angoli e distanze in uno spazio metrico, distanza da un sottospazio. .
Testi: [AdF] Sez. 11.4, 12.1, 12.2 o [CCG] Cap. 8, sez. 4 e 5.