IMPA - março a junho de 2026

Notícias e avisos

• (17/03) Atenção: os dias e horas do curso mudaram! As avaliações mudaram de datas também!

Informações gerais

Professor: Roberto Imbuzeiro Oliveira

Aulas do professor: segundas e quartas de 08:50 às 10:20 na sala 232 terças e quintas de 10h30 às 12h na sala 224. 

Monitor: Leonardo Voltarelli Regini de Andrade

Aulas do monitor: terças-feiras às 10:30 na sala 228

Dinâmica do curso: Este é um curso presencial. É esperado e aconselhado que as pessoas matriculadas no curso tenham disponibilidade para virem ao IMPA até a data de fim do período, especialmente em dias de avaliação. 

Sobre o curso

Assunto

Este é um curso de Álgebra Linear em nível de mestrado. Ele é pensado para quem já entende o que é um produto interno; como matrizes e vetores podem ser manipuladas; e por que conceitos como diagonalização são importantes. Nas aulas, vamos apresentar os conceitos abstratos de Álgebra Linear, optando, sempre que possível, por provas concretas e algorítmicas. Por outro lado, veremos alguns exemplos da teoria e prática de algoritmos para Álgebra Linear ou envolvendo conceitos da área. 

Pré-requisitos e recomendações gerais

Familiaridade geral com demonstrações; um bom conhecimento de Análise na Reta; e alguma experiência prévia com Álgebra Linear serão necessárias. Teremos pequenos trabalhos computacionais ao longo do semestre, mas eles não valerão nota. Por isso, programar não é pré-requisito, mas saber isso enriquecerá o curso.

Para quem não sabe Análise no R^n (como é dado no IMPA), é recomendada a inscrição naquela disciplina em paralelo. Ela tem os mesmos pré-requisitos que Álgebra Linear e às vezes faremos uso de conceitos e resultados dela neste curso.  De fato, muita coisa em R^n terá aplicações em matrizes e muita coisa de Álgebra Linear vai usar conceitos de R^n.

Nesta matéria, como em qualquer curso do mestrado do IMPA, serão importantes não só os pre-requisitos formais, como também disponibilidade de tempo, maturidade matemática e as virtudes necessárias para se encarar cursos difíceis (como perseverança, diligência, honestidade e, talvez, galhardia). Se algum desses ingredientes lhe falta, pode não ser boa ideia fazer meu curso neste momento.  Dito isso, a disciplina é aberta a qualquer pessoa que queira se inscrever.

Listas de exercício

Em quase todas as semanas, o curso terá listas de exercícios envolvendo exercícios "no papel" e computacionais. Você não precisará entregar as resoluções desses problemas. No entanto, é fortemente aconselhável que faça-os todos. Em primeiro lugar, esses exercícios testam seu entendimento. Em segundo, tudo nos testes e grande parte das provas virá diretamente das questões "no papel" das listas. 

Ementa

A ementa do curso no site do IMPA é um bom guia para o que veremos. A ordem dos tópicos deve ser aproximadamente a seguinte. 

1. Introdução e Eliminação Gaussiana. Matrizes inversíveis e operações elementares. Matrizes diagonais, ortogonais e unitárias. Soluções de sistemas lineares, formas escalonadas e eliminação Gaussiana. 

2. Teoria de espaços vetoriais. Espaços, subespaços e somas diretas. Independência linear e bases. Funcionais e transformações lineares. 

3. Dimensão finita, suas caracterizações e consequências.

4. Estrutura euclideana. Produto interno e transformações de projeção. Gram-Schmidt e decomposição QR. 

5. Subespaços associados a uma transformação linear. Núcleo, imagem e posto. Relação com invertibilidade.

6. Determinante, traço e suas propriedades. Relação com invertibilidade. 

7. Teoria espectral (I). Autovalores e autovetores. Teorema espectral para transformações lineares auto-adjuntas e normais.

8.  Teoria espectral (II).  Teoria para transformações normais. Aplicações a matrizes ortogonais/unitárias.

9. Teoria espectral (III). Forma canônica de Jordan (*). Funções de matrizes.

10. Decomposições  e aproximações de matrizes.  Decomposição de valores singulares e suas propriedades. 

11. Mínimos quadrados.  Interpretação geométrica. Métodos numéricos e suas propriedades.

12. Possíveis tópicos. programação linear e dualidade. Cálculo numérico de autovalores. Precondicionadores. Perron-Frobenius... 

OBS: Tudo está sujeito a mudanças.

Bibliografia

A boa notícia é que toda a ementa é muito bem coberta em muitos livros. A má notícia é que, para o nível e os propósitos deste curso, nenhum livro é totalmente satisfatório. Por isso, recomendo as 4 (ou 5) referências a seguir.

Livros "matrizeiros aplicados"
São especialmente adequados para resultados concretos, contas explícitas e aplicações interessantes. 
Gregorio Malajovich.  Álgebra Linear.  Online e gratuito. Algumas demonstrações são sucintas demais, mas é legal de ler.
Carl Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra (2a edição). SIAM. Este talvez seja o livro mais próximo do espírito geral do curso.  Ele apresenta as demonstrações todas sem escrever "teorema/prova".
>> Eu poderia ter incluído o livro clássico de Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra. Ele é mais para a graduação, mas serve como material de revisão e leitura muito estimulante. Além disso, as famosas aulas de Strang estão disponíveis online. 

Livros "abstratos"
São especialmente adequados para as partes mais teóricas.
Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right.  Springer (também online e gratuito). O livro que virou padrão para Álgebra Linear abstrata.
Peter Lax, Linear Algebra and Applications (2a edição). John Wiley and Sons. Ótimas aplicações, abordadas a partir da abstração. 

Avaliação e nota

O curso terá dois testes e duas provas. As soluções para estas avaliações podem ser escritas em português, espanhol ou inglês. 

• Testes: cada teste terá 90 minutos de duração e será composto de 3 problemas vindos das listas de exercícios do curso. Os testes serão em 30/03/2026 e 03/06/2026  02/04/2026 e 04/06/2026, das 9h às 10h30, na própria sala 224.

• Provas: cada prova terá três horas de duração e 4 problemas, que poderão vir das listas de exercícios ou ser questões "inéditas".  As provas serão nos dias 07/05/2026 e 02/07/2026, das 9h às 12h, na sala 224. 

Nota e grau finais: a nota numérica de cada estudantes será o máximo entre MP e (2MP + MT)/3, onde MP = média aritmética das provas e MT = média aritmética dos testes. O grau final (A/B/C/F) será atribuído a partir da nota numérica final, com eventuais (pequenos) bônus.

Observação: As datas acima estão sujeitas a alterações. Em particular, as atividades do curso poderão ser estendidas até o último dia do período letivo. 

Sequência das aulas e material do curso 

Semana 1 - 17 e 19 de março - Lista

Revisão sobre manipulação de vetores e matrizes. Eliminação gaussiana. Referências: notas de aula, Meyer cap. 1; Malajovich cap. 6 para visão alternativa interessante via linguagem de grupos.