IMPA - agosto a novembro 2024

Notícias e avisos

• [26/11] A prova 2 será nesta sexta-feira, dia  29/11, na sala 349.

• [14/11] Ao contrário do que foi dito em sala, a lista passada hoje será a última do período. No entanto, já estão incluídos os problemas da semana que vem. 

• Atenção: não teremos aula no dia 19/111.

• [12/09] O livro de Bartle mencionado abaixo é ótimo para tudo que tem a ver com a definição de integral, os seus teoremas limite e os modos de convergência de funções. 

• O primeiro teste acontecerá no dia 5 de setembro, das 9h às 10h50, na sala usual do curso (228). Após o teste, teremos aula de 11h à 12h.

• A primeira lista de exercícios já está disponível. 

Informações gerais (sujeitas a alterações)

Professor: Roberto Imbuzeiro Oliveira

Aulas do professor: terças e quintas de 9h às 10h30 na sala 228. 

Horários de atendimento:  quartas-feiras de 13h30 às 14h30 na sala 408 (a partir de 28/08)

Monitor: Igor Soares Barbosa

Aulas do monitor: quartas às 10h30 na sala 347.

Dinâmica do curso: Este é um curso presencial. É esperado e aconselhado que as pessoas matriculadas no curso tenham disponibilidade para virem ao IMPA até a data de fim do período, especialmente em dias de avaliação. No entanto, eu não cobro presença. Videoaulas de outras versões do curso serão postadas abaixo.

O que é? Para quem é?

Este é um curso de Medida e Integração cobrindo a ementa no link e possivelmente alguns tópicos adicionais. São pré-requisitos mínimos todo o curso de Análise na Reta, o básico de Álgebra Linear e os seguintes tópicos de Análise no R^n: definições e propriedades básicas de espaços métricos, espaços de Banach e suas topologias (especialmente o R^d); definição e propriedades básicas da derivada de Fréchet (para falarmos de Teorema de Sard e trocas de variáveis).

O curso foi concebido para estudantes no segundo semestre do mestrado do IMPA, de quem se espera não só o conhecimento dos tópicos acima, mas também um razoável grau de maturidade matemática. Ele é aberto a todas as pessoas (como qualquer outro do IMPA), mas terão melhor proveito as que tiverem base condizente com estas expectativas. 

Bibliografia e videos

O principal livro-texto do curso é
[C] Donald Cohn, Measure Theory, Birkhauser (2nd edition, 2023).

Outros livros que também serão usados no período são os seguintes. 

[B] Richard Bass, Real Analysis for Graduate Students (version 4.3, 2022).  (disponível em pdf na página do autor)

[S] Elias Stein & Rami Shakarchi. Real Analysis: Measure Theory, Integration and Hilbert Spaces. Princeton U. Press (2009).

As videoaulas de Claudio Landim [L] também poderão ser úteis. 

Há muitos outros livros cobrindo alguns destes mesmos tópicos de maneira parecida, como os de Michael e S. J. Taylor. Já o de Bartle é bastante sucinto e ajuda a seguir o "fio da meada" do curso. . Cada estudante deve buscar as referências que mais lhe ajudarem; em particular, quase qualquer livro da área serve, contanto que se tenha consciência de que os tópicos não serão cobertos sempre na mesma ordem.

Avaliação e nota

O curso terá dois testes e duas provas. As soluções para estas avaliações podem ser escritas em português, espanhol ou inglês. 

• Testes: cada teste terá 110 minutos de duração e será composto de 3 problemas vindos das listas de exercícios do curso. Os testes serão nos dias 5/9 e 31/10, das 9h às 10h50 na sala 228. 

• Provas: cada prova terá três horas de duração e 4 problemas, que poderão vir das listas de exercícios ou ser questões "inéditas".  As provas serão nos dias 3/10 e 29/11, das 9h às 12h, em sala a determinar.

Nota e grau finais: a nota numérica de cada estudantes será o máximo entre MP e (2MP + MT)/3, onde MP = média aritmética das provas e MT = média aritmética dos testes. O grau final (A/B/C/F) será atribuído a partir da nota numérica final, com eventuais (pequenos) bônus.

Observação: As datas acima estão sujeitas a alterações. Os alunos devem supôr que as atividades do curso poderão se estender até 29/11, o último dia do período letivo. 

Sequência das aulas, listas e anotações

As referências [B], [C], [S] e [L] são aos livros e aulas definidos no início do curso. 

13 e 15 de agosto (lista): Definições e propriedades de álgebras, sigma álgebras e medidas.  Medidas exteriores e o teorema de Carathéodory sobre conjuntos mensuráveis.  [C], seções 1.2 e 1.3.  [B], capítulo 2 (pulando classe monótona), capítulo 3 e Teorema 4.6. Anotações sobre o(s) teorema(s) de Carathéodory.

20 e 22 de agosto (lista): Revisão de medidas exteriores. Existência, unicidade e outras propriedades básicas da medida de Lebesgue. Teorema de extensão de Carathéodory. [C], seções 1.4 e 1.5. [B], restante do capítulo 4. Anotações sobre a construção da medida de Lebesgue.

27 e 29 de agosto (lista): Regularidade da medida de Lebesgue. Relação da noção de completamento com a medida de Lebesgue. Unicidade da medida de Lebesgue entre as medidas invariantes por translação em R^d. Teorema de Dynkin e suas aplicações à unicidade de medidas. Existência de conjuntos não-mensuráveis. [C], seções 1.4 (até a Proposição 1.4.9) e 1.5 (Proposiçõa 1.5.2, Lema 1.5.3) e 1.6. 

03 e 05 de setembro (notas): funções mensuráveis e suas propriedades básicas. Funções simples e suas integrais. [C}, seções 2.1 inteira e 2.3 até a proposição 2.3.2. Teste 1. Não há lista nesta semana, mas leia as notas e faça os exercícios nelas e no livro!  

10 e 12 de setembro (lista): integrais de funções mensuráveis gerais. Teoremas de limite para integral. Riemann x Lebesgue. [C], seções 2.2 (parte), 2.4 e 2.5. 

17 e 19 de setembro (lista): escada de Cantor e a existência de conjuntos em Lebesgue - Borel. Funções mensuráveis entre espaços arbitrários. Modalidades de convergência de funções a valores reais. [C], seções 2.2, 2.5 e de 3.1 a 3.3.

24 e 26 de setembro (lista): Normas e espaços L^p e suas propriedades. Desigualdades de Jensen e Hölder. [C], seções 3.3, 3.4 e 3.5 (em partes).   

01 e 03 de outubro (sem lista): Medidas com sinal e os teoremas de Hahn e Jordan. Variação de uma medida. Prova 1. [C], seção 4.1 (em partes).   

08 e 10 de outubro (lista): Medidas absolutamente contínuas e o teorema de Radon-Nykodym. Medidas singulares e a decomposição de Lebesgue. Construção de medidas de Lebesgue-Stieltjes [C], seções 4.2 e 4.3 e proposições 1.39 e 1.3.10.   

15 e 17 de outubro (lista): Funções sobre a reta de variação finita e absolutamente contínuas e suas relações com medidas com sinal. [C], seção 4.4.

22 e 24 de outubro (lista): Dualidade de L^p e L^q. [C], seção 4.5.

29 e 31 de outubro (sem lista): medidas produto e os teoremas de Fubini e Tonelli.  Alguns exemplos. Teste 2. [C], capítulo 5.

05 e 07 de novembro (lista): a fórmula de mudança de variáveis para a medida de Lebesgue. [C], capítulo 6, seção 6.1.

12 e 14 de novembro (última lista): diferenciação de medidas e alguma coisa sobre os teoremas de diferenciação de Lebesgue. [C], seção 6.2 e trechos da 6.3

19 e 21 de novembro: diferenciação de funções de R em R. Introdução à probabilidade: terminologia e o conceito de independência de variáveis aleatórias. [C], seção 6.3, teoremas 6.3.1, 6.3.3 (supondo F contínua à direita e F(-\infty)=0) e 6.3.6. Notas sobre probabilidade.

26 e 28 de novembro: prova de uma versão da lei dos grandes números. Revisão da matéria. [C], seção 10.2, resultados numerados como 10.2.2, 10.2.6, 10.2.7 e a prova de 10.2.5 até a equação (3). Veja também as notas.  A teoria de séries aleatórias é desenvolvida no capítulo 13 do livro de Bernardo Lima e Leonardo Rolla, disponível em pdf e html.