IMPA - março a junho de 2026

Notícias e avisos

• Link da videochamada em 22/06: https://meet.google.com/srt-jzce-ift

• Aula online no dia 22/06. O link será enviado por email aos alunos matriculados no curso. 

• No dia 24/06, a aula será com o monitor Carlos Granada Palacio.  

• A última lista já está disponível. Lembre-se de que metade da última prova vem dessa e das outras listas passadas depois do segundo teste. 

• [20 e 22 de maio] Na quarta, dia 20/05, teremos monitoria no horário e local da aula. Na sexta, dia 22/05, será o contrário: teremos aula no horário e local da monitoria. 

• A lista da semana 7 já está disponível; é a última antes da prova 1. 

• Em virtude do Dia do Trabalhador, a monitoria do dia 01/05 foi antecipada para 29/04 (quarta) às 15:30, na sala 232 

• A segunda lista já está disponível. Foi feita uma pequena correção na lista 1. 

• A data do segundo teste foi alterada.

Informações gerais

Professor: Roberto Imbuzeiro Oliveira

Aulas do professor: segundas e quartas de 10h30 às 12h na sala 224.

Monitor: Carlos Andrés Granada Palacio

Aulas do monitor: sextas às 10:30

Dinâmica do curso: Este é um curso presencial. É esperado e aconselhado que as pessoas matriculadas no curso tenham disponibilidade para virem ao IMPA até a data de fim do período, especialmente em dias de avaliação. Por outro lado, o material do curso de 2021 (incluindo videoaulas, listas e anotações) está disponível aqui.

O que é? Para quem é?

Este é um curso de "Análise para além da Reta", ou "Análise em espaços métricos e vetoriais"; o nome de "Análise no R^n" é antes de tudo um acidente histórico.

O curso servirá como preparação para assuntos mais avançados, como Medida e Integração e Análise Funcional. Os principais tópicos estão listados abaixo (não necessariamente na ordem em que serão cobertos).

1. Topologia e Análise em espaços métricos e vetoriais, com ênfase em R^d e no espaço de funções contínuas. 

2. Teoremas clássicos sobre o espaço de funções contínuas: Ascoli-Arzèla, Stone-Weierstrass.

3. Derivada de Fréchet, suas propriedades e séries de Taylor.

4. Função Inversa, Função implícita, e esboço da teoria de subvariedades de R^d.

5. Integrais multidimensionais, teoremas de Riemann-Lebesgue e Fubini, mudança de variáveis.

Este curso foi concebido para atender estudantes que acabaram de ingressar no mestrado do IMPA. O curso é aberto a todas as pessoas (como qualquer outro do IMPA), mas terão melhor proveito as que tiverem base condizente com o início de nosso mestrado. Os pré-requisitos absolutamente necessários do curso são uma ótima formação em Análise na Reta e um conhecimento operacional de Álgebra Linear (matrizes, vetores, produtos destes objetos e relações com transformações e espaços lineares). Apesar dos pré-requisitos serem poucos, será difícil você ter um bom desempenho sem um grau de maturidade matemática compatível com o mestrado, o que inclui a capacidade de preencher lacunas que serão deixadas como exercício. 

Atenção! Boa parte da ementa é coberta em cursos usuais nas graduações brasileiras. No entanto, o curso terá um ritmo mais rápido do que uma cadeira de graduação. Além disso, cobriremos alguns tópicos adicionais.

Avaliação e nota

O curso terá dois testes e duas provas. As soluções para estas avaliações podem ser escritas em português, espanhol ou inglês. 

• Testes: cada teste terá 90 minutos de duração e será composto de 3 problemas vindos das listas de exercícios do curso. Os testes serão em 01/04/2026 e 01/06/2026 03/06/2026, das 10h30 às 12h 9h às 10h30, na própria sala do curso.

• Provas: cada prova terá três horas de duração e 4 problemas, que poderão vir das listas de exercícios ou ser questões "inéditas".  As provas serão nos dias 06/05/2026 e 01/07/2026, das 9h às 12h, na sala 224. 

Nota e grau finais: a nota numérica de cada estudantes será o máximo entre MP e (2MP + MT)/3, onde MP = média aritmética das provas e MT = média aritmética dos testes. O grau final (A/B/C/F) será atribuído a partir da nota numérica final, com eventuais (pequenos) bônus.

Observação: As datas acima estão sujeitas a alterações. Em particular, as atividades do curso poderão ser estendidas até o último dia do período letivo. 

Sequência das aulas e material do curso 

(Aulas gravadas, anotações e listas do curso de 2021 estão disponíveis aqui.)

Semana 1 (16 e 18 de março) - Lista (alterada em 25/03/2026)

Espaços vetoriais e normas: definições e exemplos. Espaços métricos: definições e exemplos até a seção 2.2.4 das notas. 

Semana 2 (23 e 25 de março) - Lista

Mais exemplos de espaços métricos. Continuidade: definição, propriedades básicas e exemplos até a seção de transformações multilineares. 

Semana 2 (30 de março e 1 de abril) - sem lista

Transformações bilineares e alguns outros exemplos de continuidade (fim do capítulo correspondente. Teste 1.

Semana 4 (6 e 8 de abril) - Lista (link corrigido em 11/04/2026, 20:10)

Espaço de transformações lineares e inversas de operdores (seções 4.3 e 4.4). Continuidade da operação de tomar inversa. Início de topologia: definição de topologia em espaços métricos; propriedades básicas de topologias gerais; definição de fecho, interior e fronteira em espaços topológicos e algumas propriedades (seções 5.1 e 5.2). 

Semanas 5 e 6 (13 a 22 de abril) - Lista 

Fecho, interior, fronteira e conjunto derivado em espaços topológicos. Versões métricas destes conceitos. Topologia relativa e métrica induzida. Compactos: definição em espaços topológicos, propriedade da interseção finita, comportamento sob funções contínuas, ínfimo de funções semicontínuas por baixo. Espaços métricos compactos: enunciado e prova do grande teorema de equivalência. Continuidade uniforme. Notas: fim do capítulo 5 e todo o capítulo 6.

Semana 7 (27 e 29 de abril) - Lista

Revisão da prova do grande teorema de equivalência. Subconjuntos compactos de espaços métricos completos. Compactos em R^d (dimensão finita): o Teorema de Heine-Borel. Espaço C(K,Z), com K compacto e Z completo, e o Teorema de Arzelà-Ascoli. Notas: capítulo 7. 

Semana 8 (4 e 6 de maio) - sem lista

Espaços topológicos conexos e conexos por caminhos. Propriedades da relação "conectados por curva contínua". Definições equivalentes de conexo. Conexo por caminhos é conexo, mas há exemplo de conexo que não é conexo por caminhos. Prova 1. Notas: seções 8.1, 8.2 e 8.3.2.

Semana 9 (11 e 13 de maio) - Lista

Abertos em espaços vetoriais são conexos se e somente se são conexos por caminhos. Derivadas e integrais de funções da reta em espaços vetoriais, incluindo desigualdade do valor médio, integral de funções contínuas e teorema fundamental do cálculo. Introdução à derivada de Fréchet. Notas: seção 8.3.3, capítulo 12 e seção 13.1.

Semana 10 (11 e 13 22 de maio) - Lista

Derivada de Fréchet: regra da cadeia, relação com derivadas parciais para funções de R^d em R^k. Notas: capítulo 13 (mais exercícios serão vistos na monitoria). 

Semana 11 (25 e 27 de maio) - Lista

Desigualdade do valor médio para a derivada de Fréchet. Derivadas de ordem 2 e o isomorfismo correspondente. Versão da derivada de Fréchet de ordem 2 para funções de R^d  em R. Simetria da segunda derivada.

Semanas 12 e 13 (1 a 10 de junho) - Lista

Teste 2. Derivadas de ordem superior e relação com isomorfismos. Simetria das derivadas de ordem superior. Esboço da relação com derivadas parciais. Fórmula de Taylor. Início da prova do Teorema da Função Implícita Inversa (mais exatamente, o Teorema 15.3 das notas de aula).

Semanas 14 e 15 (15, 17 e 22 de junho) - Última lista

Teorema da Função Implícita. Esboço da teoria das subvariedades de R^d.