Análise no R^n
IMPA - março a junho de 2024
Notícias e avisos
Teremos aula de reposição no dia 15/05/2024 22/05/2024 às 9h (imediatamente antes da aula usual), na sala 224.
O teste 2 será no dia 03/06/2024.
Não teremos aula no dia 19 de junho. Por esta razão, peço que preencham o Doodle enviado por email para agendar aulas de reposição.
A sexta lista está disponível. Esta será a última lista antes da Prova 1.
A matéria da Prova 1 vai até o capítulo 8 (conexidade). Depois falarei de quais listas as questões poderão vir.
Caso você encontre o que acredita ser um erro nas notas, preencha este formulário (se são vários erros, preencha-o várias vezes).
A quinta lista está disponível.
A primeira prova mudou de data: a nova data é 06/05/2024 (segunda-feira).
A quarta lista está disponível.
A terceira lista já está disponível.
A segunda lista já está disponível.
A primeira lista já está disponível.
Informações gerais (ainda sujeitas a alterações)
Professor: Roberto Imbuzeiro Oliveira
Aulas do professor: segundas e quartas de 10h30 às 12h na sala 224. Ocasionalmente teremos aulas extras nas terças às 9h.
Horários de atendimento: quartas-feiras de 13h30 às 14h30 na sala 408.
Monitor: David Melo
Aulas do monitor: quartas às 15h30 na sala 224.
Dinâmica do curso: Este é um curso presencial. É esperado e aconselhado que as pessoas matriculadas no curso tenham disponibilidade para virem ao IMPA até a data de fim do período, especialmente em dias de avaliação. Por outro lado, o material do curso de 2021 (incluindo videoaulas, listas e anotações) está disponível aqui.
O que é? Para quem é?
Este é um curso de "Análise para além da Reta", ou "Análise em espaços métricos e vetoriais"; o nome de "Análise no R^n" é antes de tudo um acidente histórico.
O curso servirá como preparação para assuntos mais avançados, como Medida e Integração e Análise Funcional. Os principais tópicos estão listados abaixo (não necessariamente na ordem em que serão cobertos).
Topologia e Análise em espaços métricos e vetoriais, com ênfase em R^d e no espaço de funções contínuas.
Teoremas clássicos sobre o espaço de funções contínuas: Ascoli-Arzèla, Stone-Weierstrass.
Derivada de Fréchet, suas propriedades e séries de Taylor.
Função Inversa, Função implícita, e esboço da teoria de subvariedades de R^d.
Integrais multidimensionais e teorema de Riemann-Lebesgue
Este curso foi concebido para atender estudantes que acabaram de ingressar no mestrado do IMPA. O curso é aberto a todas as pessoas (como qualquer outro do IMPA), mas terão melhor proveito as que tiverem base condizente com o início de nosso mestrado. Os pré-requisitos absolutamente necessários do curso são uma ótima formação em Análise na Reta e um conhecimento operacional de Álgebra Linear (matrizes, vetores, produtos destes objetos e relações com transformações e espaços lineares). Apesar dos pré-requisitos serem poucos, será difícil você ter um bom desempenho sem um grau de maturidade matemática compatível com o mestrado, o que inclui a capacidade de preencher lacunas que serão deixadas como exercício.
Atenção! Boa parte da ementa é coberta em cursos usuais nas graduações brasileiras. No entanto, o curso terá um ritmo mais rápido do que uma cadeira de graduação. Além disso, cobriremos alguns tópicos adicionais.
Bibliografia e videos
Cobriremos a maior parte das minhas notas de aula. A versão atual não deve ser considerada completa: de fato, provavelmente será acreascentado material no final e nos capítulos chamados de "interlúdio". Caso você encontre o que acredita ser um erro nas notas, preencha este formulário (se são vários erros, preencha-o várias vezes).
Outras referências: Capítulos 1 e 2 de R. Abraham et al, Manifolds, Tensor Analysis and Applications. S. Lang, Undergraduate Analysis (Springer). W. Rudin, Princípios da Análise Matemática (Ao Livro Técnico). R. Cipolatti, Cálculo Avançado (SBM). Real Analysis: Measure Theory, integration and Hilbert spaces de Elias M. Stein and Rami Shakarchi (Cambridge) para a parte de integração.
Avaliação e nota
O curso terá dois testes e duas provas. As soluções para estas avaliações podem ser escritas em português, espanhol ou inglês.
Testes: cada teste terá 90 minutos de duração e será composto de 3 problemas vindos das listas de exercícios do curso. Os testes serão em 01/04/2024 e 31/05/2024 03/06/2024, durante os horários de aula, na própria sala 224.
Provas: cada prova terá três horas de duração e 4 problemas, que poderão vir das listas de exercícios ou ser questões "inéditas". As provas serão nos dias 03/05/2024 06/05/2024 e 28/06/2024, das 9h às 12h, na sala 224.
Nota e grau finais: a nota numérica de cada estudantes será o máximo entre MP e (2MP + MT)/3, onde MP = média aritmética das provas e MT = média aritmética dos testes. O grau final (A/B/C/F) será atribuído a partir da nota numérica final, com eventuais (pequenos) bônus.
Observação: As datas acima estão sujeitas a alterações. Em particular, as atividades do curso poderão ser estendidas até o último dia do período letivo.
Sequência das aulas e material do curso
(Aulas gravadas, anotações e listas do curso de 2021 estão disponíveis aqui.)
Notas de aula, capítulos 1 e 2 + seções 3.1 e 3.2.
Definições básicas de espaços vetoriais e seus subespaços, normas; espaços métricos, convergência e completude. Funções contínuas (1os exemplos).
Notas de aula, capítulo 3 até o início da seção 3.6.
Exemplos de funções contínuas. Transformações lineares são contínuas sse limitadas. Resultado para multilineares (falta provar "contínua => limitada").
Primeiro teste. Notas de aula, resto do capítulo 3 e introdução do capítulo 5.
Término da prova de que multilineares são contínuas se e somente se são limitadas. Exemplos de multilineares. Abertos e fechados em um espaço métrico. Caracterização de fechados via sequências convergentes.
Notas de aula, resto do capítulo 5 e início do 6.
Conceitos de topologia geral, incluindo fecho, interior, fronteira e conjunto derivado. Versões métricas desses conceitos. Continuidade do ponto de vista de topologia geral e de métricas. Introdução a compactos.
Notas de aula, resto do capítulo 6 e seção 7.1.
Condições equivalentes para compacidade. Funções contínuas sobre compactos e continuidade uniforme. Teorema de Heine Borel em R^d.
Notas de aula, subseção 7.3.2 e capítulo 8 até a seção 8.2 (inclusive).
Teorema de Arzèla-Ascoli. Conexidade por caminhos e conexidade topológica.
29/04 - sem lista
Notas de aula, resto do capítulo 8 com a exceção de 8.3.1. Revisão para a prova.
Relações entre conexidade por caminhos e conexidade topológica.
Notas de aula, capítulo 12 inteiro e capítulo 13 até o fim da seção 13.3.
Derivadas e integrais de funções a um parâmetro real. Derivada de Fréchet e propriedades básicas (relações com derivadas parciais e direcionais, regra da cadeia, desigualdade do valor médio).
Notas de aula, capítulo 13 a partir da seção 13.3; capítulo 14 até 14.2
Exemplos de derivadas de Fréchet. Derivada de segunda ordem: definição e simetria quando contínua.
Notas de aula, capítulo 14.
Derivadas de Fréchet de ordem superior e isomorfismos entre os espaços de operações multilineares.
Notas de aula, fim do capítulo 14 e seções 15.1 e 15.2.
Segundo teste. Fórmula de Taylor para a derivada de Fréchet. Teorema do Ponto Fixo de Banach. Primeiras partes da prova do Teorema da Função Inversa.
Notas de aula, fim do capítulo 15 e capítulo de subvariedades.
Fim da prova dos teoremas da Função Implícita/Implícita. Introdução à teoria de subvariedades. Espaço tangente e subvariedades definidas implicitamente.