IMPA - 06/01/2020 a 28/02/2020

Notícias e avisos

• Segunda chamada do teste 2 -  hoje às 12:45 na sala 345. 

• A última lista do curso já está disponível.

• Avaliações: datas e locais atualizados. 

• Confiram os horários de monitoria! Os horários corretos são às 15:30 nas terças e quintas. 

• Noticias do curso serão dadas aqui. 

Informações gerais

• Professor: Roberto Imbuzeiro Oliveira

• Monitores: a definir

• Aulas do professor: terças, quartas e quintas-feiras das 13h  às 15h no IMPA, Auditório Mañé (ou Auditório 2)

• Atendimento pelo professor: quartas-feiras a partir das 12h20 no IMPA, Auditório Mañé. 

• Aulas de monitoria: terças-feiras de 15:30 às 17:00 na sala  224; quintas-feiras de 15:30 às 17:00 no IMPA, salas 333 e 345. 

• Ementa e bibliografia: https://impa.br/ensino/disciplinas-de-iniciacao-cientifica/analise-na-reta/ (esta é a ementa oficial, mas não a seguiremos exatamente)

O que é? Para quem é?

Este é um curso de introdução à Análise matemática, cobrindo muitas coisas sobre a reta real e conceitos como limites,  funções contínuas e diferenciáveis e integrais. Às vezes também falaremos de espaços de dimensão mais alta e dos números complexos.

Estritamente falando, o curso não tem pré-requisitos para além de um bom domínio da língua materna e da matemática do Ensino Médio brasileiro. No entanto, é difundida a crença de que alunas e alunos que já tenham feito alguns bons cursos de Cálculo tirarão melhor proveito desta matéria. Para boa parte dos alunos, a maior dificuldade deste curso é aprender a escrever demonstrações matemáticas rigorosas. 

Bibliografia

Os livros usados serão os seguintes.

1.  Curso de Análise, vol. 1 (edição de 2014) de Elon Lages Lima; 

2. Basic Analysis: Introduction to Real Analysis vol. 1 de Jiří Lebl;

3. Curso de Análise Real de Cássio Neri e Marco Cabral.

Os links acima levam a versões gratuitas e legais das respectivas obras. 

Avaliação e acompanhamento

Listas de exercícios: é recomendado que cada aluno faça todos os exercícios que puder. No entanto, a cada semana o professor passará alguns exercícios especialmente importantes. Os alunos não terão de entregar estes exercícios, mas as aulas de exercícios serão fortemente concentradas nestes problemas. 

Aulas de exercícios: têm como objetivo principal ajudar os alunos a resolverem os problemas das listas de exercícios e ensinarem os alunos a escrever bem demonstrações matemáticas. É altamente recomendado que todos participem destas aulas.  

Testes: o curso terá testes com duas horas de duração nos dias 17/01 e 14/02, das 13h às 15h, no Auditório 2 (Mañé). Cada teste será composto exclusivamente de questões vindas das listas de exercícios; portanto, assegure-se de fazer todos os exercícios das listas. 

Provas: o curso terá provas com três horas de duração nos dias 31/01 e 28/02, das 13h às 16h, no Auditório 2 (Mañé). As provas terão uma mistura de problemas das listas com questões "inéditas". 

Grau: Uma nota numérica calculada a partir da média dos testes (peso 20% cada) e das notas das provas (30% cada). A partir dessa nota numérica, os alunos receberão graus A/B/C/F (com possíveis + ou -). 

Atenção: as datas acima estão sujeitas a mudança. Até segunda ordem, participantes do curso devem programar-se para estar no IMPA na totalidade do período de verão, que começa em 06/01 e termina em 28/02. 

Conteúdo das aulas

07.01 - noções de conjuntos e funções. IntroduIntrodução aos naturais. Ver nota e Elon até a página 27.

08.01 e 09.01 - soma, produto e ordem nos números naturais. Boa ordenação e segundo princípio da indução. Cardinalidade de conjuntos finitos e infinitos. A cardinalidade de conjuntos finitos está bem definida.  Ver Elon, Capítulo 2 até o fim da seção 3.  Para complementar: Neri, capítulos 1 e 2.

14.01 a 16.01 - conjuntos enumeráveis. O conjunto das partes de N não é enumerável (não há função sobrejetiva de A nas partes de A, se A não é vazio). Bijeção entre N e NxN. Uião enumerável de enumeráveis é enumerável. Números reais: axiomas de corpo ordenado; axioma do supremo.  Consequências e propriedades de R.  Ver Elon, fim do cap 2 e cap 3 (quase todo - não falaremos de corpos não-arquimedianos e ainda não vimos intervalos encaixados). Ver também Neri, cap 3 (lá está explicado como construir os reais a partir dos racionais). 

21.01 a 23.01 - teorema dos intervalos encaixados. Não-enumerabilidade dos reais. Limites de sequências: definição e propriedades. Limites de sequências monótonas. Toda sequência tem uma subsequência monótona. Subsequências, lim sup, lim inf, valores de aderência. Séries convergentes e absolutamente convergentes. Progressões geométricas, Teorema de Leibniz (sem prova) e soma de 1/n^p. Ver Elon, Cap 4 (faltam alguns tópicos e exemplos). 

28.01 a 30.01 - mais sobre sequências e séries e critérios de convergência. Exemplos. Introdução à topologia: definição e propriedades de conjuntos abertos.  Revisão para a prova. Ver Elon, o que faltava do Cap 4 e o início do Cap 5.  

04.02 a 06.02 - abertos e fechados. Pontos de acumulação e valores de aderêcia. Fecho. Compactos via subsequências; compacto sse fechado e llimitado. Conjuntos conexos. O conjunto de Cantor. Ver Elon, Cap 5 (ainda não cobrimos Borel-Lebesgue).

11.02 a 13.02 - Borel-Lebesgue. Limites de funções e suas propriedades básicas. Funções contínuas. Imagens inversas de abertos e fechados; imagens de compactos e intervalos. Toda função contínua sobre compacto atinge sup e inf. Continuidade uniforme sobre compactos. Funções contínuas injetivas sobre intervalos são monótonas e têm inversa injetiva., Ver Elon, Caps 6 e 7.

Listas

Lista 1 - dia 09/01/2025 - Fazer os seguintes exercícios do livro do Elon, capítulo 2: 3, 5, 6, 8, 17, 18, 24 e 26 (exercícios em vermelho dependem de matéria que só veremos no dia  14)
Lista 2 - dia 16/01/2025  - veja aqui.

Lista 3 - dia 22/01/2025 - livro do Elon, capítulo 4: 1, 3, 15, 18, 20, 27, 30, 39.

Lista 4 - dia 04/02/2025 - Elon, capítulo 5: 4, 9, 24, 25, 57, 63. 

Lista 5 - dia 11/02/2025 - Elon, capítulo 5: 36, 39, 45. 

Lista 6 - dia 19/02/2025 - Elon, capítulo 6: 13, 24. Capítulo 7:  2, 3,  19,  36. Capítulo 8: 1, 23, 37, 42. Capítulo 9: 5, 7.