IMPA - março a junho de 2023

Notícias e avisos

• Não teremos aulas nos dias 29/05, 12/06 e 14/06.

• Teremos aulas extras nos dias 16 de maio, 23 de maio e 6 de junho de 2023 às 9h (sala de sempre 224).  

• A lista da semana de 17 e 18/04 está disponível; ela é a última antes da prova 1.  

• Datas das provas confirmadas: dias 26/04, das 9h às 12h, na sala 347; e 30/06, das 9h às 12h, na sala 232.

• A aula de 19 de abril foi cancelada.  No lugar dela, teremos aula de compensação no dia 18 de abril de 2023 às 9h (sala de sempre). 

• Haverá aula extra no dia 4 de abril de 2023 às 9h (sala a determinar). 

• A segunda lista está disponível no fim desta página.

• Haverá aula extra no dia 21 de março de 2023 às 9h (sala a determinar). 

• A primeira lista já está disponível no fim da página. 

Informações gerais (ainda sujeitas a alterações)

Professor: Roberto Imbuzeiro Oliveira

Aulas do professor: segundas e quartas de 9h às 10h30 na sala 232. Ocasionalmente teremos aulas extras nas terças às 9h.

Horários de atendimento:  quartas-feiras de 13h às 14h. 

Monitor: Julian Amorim

Aulas do monitor: sextas de 14h às 15h30. 

Dinâmica do curso: Este é um curso presencial. É esperado e aconselhado que as pessoas matriculadas no curso tenham disponibilidade para virem ao IMPA até a data de fim do período, especialmente em dias de avaliação. Por outro lado, o material do curso de 2021 (incluindo videoaulas, listas e anotações) está disponível aqui.

O que é? Para quem é?

Este é um curso de "Análise para além da Reta", ou "Análise em espaços métricos e vetoriais"; o nome de "Análise no R^n" é antes de tudo um acidente histórico.

O curso servirá como preparação para assuntos mais avançados, como Medida e Integração e Análise Funcional. Os principais tópicos estão listados abaixo (não necessariamente na ordem em que serão cobertos).

1. Topologia e Análise em espaços métricos e vetoriais, com ênfase em R^d e no espaço de funções contínuas. 

2. Teoremas clássicos sobre o espaço de funções contínuas: Ascoli-Arzèla, Stone-Weierstrass.

3. Derivada de Fréchet, suas propriedades e séries de Taylor.

4. Função Inversa, Função implícita, e esboço da teoria de subvariedades de R^d.

5. Integrais multidimensionais  e introdução à teoria de integração de Lebesgue.

Este curso foi concebido para atender estudantes que acabaram de ingressar no mestrado do IMPA. O curso é aberto a todas as pessoas (como qualquer outro do IMPA), mas terão melhor proveito as que tiverem base condizente com o início de nosso mestrado. Os pré-requisitos absolutamente necessários do curso são uma ótima formação em Análise na Reta e um conhecimento operacional de Álgebra Linear (matrizes, vetores, produtos destes objetos e relações com transformações e espaços lineares). Apesar dos pré-requisitos serem poucos, será difícil você ter um bom desempenho sem um grau de maturidade matemática compatível com o mestrado, o que inclui a capacidade de preencher lacunas que serão deixadas como exercício. 

Atenção! Boa parte da ementa é coberta em cursos usuais nas graduações brasileiras. No entanto, o curso terá um ritmo mais rápido do que uma cadeira de graduação. Além disso, cobriremos alguns tópicos adicionais.

Bibliografia e videos

Cobriremos a maior parte das minhas notas de aula. A versão atual não deve ser considerada completa: de fato, provavelmente será acreascentado material sobre a integral de Lebesgue no final. As notas serão constantemente atualizadas, incluside para corrigir erros. Caso você encontre o que acredita ser um erro nas notas, preencha este formulário (se são vários erros, preencha-o várias vezes). 

Outras referências: Capítulos 1 e 2 de R. Abraham et al, Manifolds, Tensor Analysis and Applications. S. Lang, Undergraduate Analysis (Springer). W. Rudin, Princípios da Análise Matemática (Ao Livro Técnico). R. Cipolatti, Cálculo Avançado (SBM). Real Analysis: Measure Theory, integration and Hilbert spaces  de Elias M. Stein and Rami Shakarchi (Cambridge) para a parte de integração.

Avaliação e nota

O curso terá dois testes e duas provas. As soluções para estas avaliações podem ser escritas em português, espanhol ou inglês. 

• Testes: cada teste terá 90 minutos de duração e será composto de 3 problemas vindos das listas de exercícios do curso. Os testes serão em 29/03/2023 e 31/05/2023, durante os horários de aula.

• Provas: cada prova terá três horas de duração e 4 problemas, que poderão vir das listas de exercícios ou ser questões "inéditas".  As provas serão nos dias 26/04/2022 e 30/06/2022, das 9h às 12h. 

Nota e grau finais: a nota numérica de cada estudantes será o máximo entre MP e (2MP + MT)/3, onde MP = média aritmética das provas e MT = média aritmética dos testes. O grau final (A/B/C/F) será atribuído a partir da nota numérica final, com eventuais (pequenos) bônus.

Observação: As datas acima estão sujeitas a alterações. Em particular, as atividades do curso poderão ser estendidas até o último dia do período letivo. 

Sequência das aulas e material do curso 

(Aulas gravadas, anotações e listas do curso de 2021 estão disponíveis aqui.)

13 e 15/03

Capítulo 2 e seções 3.1 e 3.2 das notas (com a exceção de subsequências). Lista da primeira semana.

20, 21 e 22/03

Restante do capitulo 3 e todo o capítulo 4. Lista da segunda semana.

27 e 29/03

Capítulo 5 até 5.3. Primeiro teste. (Não há lista)

3, 4 e 5/04

Restante do capitulo 5; capítulo 6 até 6.2.3. Lista da quarta semana.

10  e 12/04

Capítulos  6 (resto) e 7 (parte de R^d).  Lista da  semana.

17  e 1918/04

Capítulo 7 - Arzèla-Ascoli. Capítulo 8.  Lista da  semana.

24  e 26/04

Capítulo 10 (só a parte de diferenciação).  Prova 1 (não há lista).

01  e 03/05

Capítulo 11, seções 11.1 e 11.2. Lista da semana.

08  e 10/05

Capítulo 11, seções 11.3 e 11.4.  Capítulo 12 até seção 12.1.2. Lista da semana.

15  e 17/05

Fim do capítulo 12. Enunciado e discussão do Teorema da Função Inversa. Lista da semana.

22, 23 e 24/05

Capítulo 13, três primeiras seções (Ponto Fixo, Função Inversa e Função Implícita). Lista da semana.

05, 06 e 07/06

Capítulo 14 até a seção 14.4 (inclusive). Início da teoria de integração medida seguindo estas notas e o livro de Elias M. Stein and Rami Shakarchi.  Lista da semana.

12 e 14/06

Não houve aula.

19 e 21/06

Fim da prova de unicidade da Medida de Lebesgue. Definição da medida exterior e prova de que ela coincide com a soma de volumes para uniões de caixas quase disjuntas. Ver estas notas e o livro de Elias M. Stein and Rami Shakarchi. Última lista do curso.

26 e 28/06

Fim da construção da medida de Lebesgue. Funções mensuráveis. Toda função limitada e Riemann-integrável é Lebesgue-mensurável. Esboço da integral de Lebesgue.