Análise no R^n
IMPA - março a junho de 2022
Notícias e avisos
Vídeo da aula de 13/06 disponível aqui.
Novos horários de atendimento do professor: quintas das 16h às 17h e sextas das 9h30 às 11h.
A prova 1 será no dia 28/04/2022, das 9h às 12h, na sala 228 do IMPA.
Especialmente nos dias 29 e 30 de março, as aulas do professor e do monitor serão trocadas. Assim, a aula de monitoria será no dia 29 às 10h30, na sala 228, e a aula do professor será no dia 30 às 17h na sala 236.
As datas de avaliação foram atualizadas.
Vídeos, anotações e exercícios do curso de 2021 estão disponíveis na página daquele curso.
Informações gerais
Professor: Roberto Imbuzeiro Oliveira
Aulas do professor: terças e quintas de 10h30 às 12h na sala 228.
Horários de atendimento: quintas das 16h às 17h e sextas das 9h30 às 11h.
Monitor: Gabriel Fazoli Domingos (email: gabriel.fazoli ARROBA impa.br)
Aulas do monitor: quartas às 17h na sala 236.
Dinâmica do curso: Este é um curso presencial, com eventuais migrações para aulas via Web de acordo com as normas sanitárias do IMPA e das autoridades governamentais competentes. É esperado e aconselhado que as pessoas matriculadas no curso tenham disponibilidade para virem ao IMPA até a data de fim do período, especialmente em dias de avaliação. Por outro lado, o material do curso de 2021 (incluindo videoaulas, listas e anotações) está disponível aqui.
O que é? Para quem é?
Este é um curso de "Análise para além da Reta", ou "Análise em espaços métricos e vetoriais"; o nome de "Análise no R^n" é antes de tudo um acidente histórico.
O curso servirá como preparação para assuntos mais avançados, como Medida e Integração e Análise Funcional. Os principais tópicos estão listados abaixo (não necessariamente na ordem em que serão cobertos).
Topologia e Análise em espaços métricos e vetoriais, com ênfase em R^d e no espaço de funções contínuas.
Teoremas clássicos sobre o espaço de funções contínuas: Ascoli-Arzèla, Stone-Weierstrass.
Derivada de Fréchet, suas propriedades e séries de Taylor.
Função Inversa, Função implícita, e esboço da teoria de subvariedades de R^d.
Integrais integrais multidimensionais (a fórmula de mudança de variáveis não será provada).
Este curso foi concebido para atender estudantes que acabaram de ingressar no mestrado do IMPA. O curso é aberto a todas as pessoas (como qualquer outro do IMPA), mas terão melhor proveito as que tiverem base condizente com o início de nosso mestrado. Os pré-requisitos absolutamente necessários do curso são uma ótima formação em Análise na Reta e um conhecimento operacional de Álgebra Linear (matrizes, vetores, produtos destes objetos e relações com transformações e espaços lineares). Apesar dos pré-requisitos serem poucos, será difícil você ter um bom desempenho sem um grau de maturidade matemática compatível com o mestrado, o que inclui a capacidade de preencher lacunas que serão deixadas como exercício.
Atenção! Boa parte da ementa é coberta em cursos usuais nas graduações brasileiras. No entanto, o curso terá um ritmo mais rápido do que uma cadeira de graduação. Além disso, cobriremos alguns tópicos adicionais.
Bibliografia e videos
Cobriremos a maior parte das minhas notas de aula. As notas serão constantemente atualizadas, incluside para corrigir erros. Caso você encontre o que acredita ser um erro nas notas, preencha este formulário (se são vários erros, preencha-o várias vezes).
Outras referências: Capítulos 1 e 2 de R. Abraham et al, Manifolds, Tensor Analysis and Applications. S. Lang, Undergraduate Analysis (Springer). W. Rudin, Princípios da Análise Matemática (Ao Livro Técnico). R. Cipolatti, Cálculo Avançado (SBM).
Avaliação e nota
O curso terá dois testes e duas provas. As soluções para estas avaliações podem ser escritas em português, espanhol ou inglês.
Testes: cada teste terá 90 minutos de duração e será composto de 3 problemas vindos das listas de exercícios do curso. Os testes serão em 07/04/2022 e 02/06/2022, durante os horários de aula.
Provas: cada prova terá três horas de duração e 4 problemas, que poderão vir das listas de exercícios ou ser questões "inéditas". As provas serão nos dias 28/04/2022 e 30/06/2022, das 9h às 12h.
Nota e grau finais: a nota numérica de cada estudantes será o máximo entre MP e (2MP + MT)/3, onde MP = média aritmética das provas e MT = média aritmética dos testes. O grau final (A/B/C/F) será atribuído a partir da nota numérica final, com eventuais (pequenos) bônus.
Observação: As datas acima estão sujeitas a alterações. Em particular, as atividades do curso poderão ser estendidas até o último dia do período letivo.
Sequência das aulas e material do curso
Aulsa gravadas, anotações e listas do curso de 2021 estão disponíveis aqui.
15 e 17 de março - Primeira lista
Matéria vista: notas, capítulo 2 inteiro e capítulo 3 até a seção de convergência em R^d e na métrica discreta.
22 e 24 de março - Segunda lista
Matéria vista: notas, resto do capítulo 3 + capítulo 4 até seção 4.4 (inclusive)
Matéria vista: notas, resto do capítulo 4 e capítulo 5 até a seção 5.2 (inclusive)
5 e 7 de abril - semana do teste 1
Matéria vista: notas, resto do capítulo 5
Matéria vista: notas, capítulo 6 com exceção das seções 6.3.1 e 6.3.2.
Matéria vista: notas, restante do capítulo 6 e seções 7.1 e 7.3 (pulamos a prova de necessidade para Arzèla-Ascoli).
26 e 28 de abril - semana da prova 1
Matéria vista: equivalência das normas em R^d, seções 8.1 e início da 8.2
Matéria vista: restante do capítulo 8, seções 10.1 a 10.3.
Matéria vista: seções 10.4, 11.1, 11.2 (pulamos 11.2.5) e 11.3.1.
Matéria vista: resto do capítulo 11 (menos 11.4.2), 12.1 e 12.2.
Matéria vista: seção 12.3.
Matéria vista: séries de Taylor, teoremas de função inversa e implícita, definição de subvariedade de R^d. Video da aula de 14/06.
20, 21 e 22 de junho - Última lista
Matéria: tudo sobre subvariedades nas notas.
Obs: todo este material é coberto em mais detalhes nas aulas de 02/06 a 14/06 do curso de 2021.
02/06 - definição, relação entre parametrizações e difeomorfismos,
07/06 - exemplos básicos; espaço tangente é espaço vetorial, início de variedades definidas implicitamente
09/06 - subvariedades definidas implicitamente: teorema geral e exemplos
14/06 - mais exemplos; troca de cartas.