Análise no R^n

IMPA - março a junho de 2021

Notícias e avisos

  • ---- PROVA 2 ----: clique aqui.

  • Teste 2: clique aqui.

  • 09/06 - aula de revisão a partir das 8h30 (aula normal às 10h30).

  • Segundo teste adiado para o dia 07/06/2021 das 10h30 às 18h30.

  • --- Aula de reposição nesta quinta (20/05) às 10h30 --- .

  • 19/05 - não teremos aula. Você pode votar para escolher o horário da aula de reposição aqui.

  • 05/05 - O professor estará na sala do curso a partir das 9h30 para conversar com os alunos. Assuntos absolutamente aleatórios.

  • 04/05 - monitoria excepcionalmente às 9h30. Prova 1 das 12h30 às 21h (ignorar horário na prova).

  • 28/04 - excepcionalmente neste dia teremos aula de 9h00 às 10h30.

  • Teremos aula no dia 21/04 (que seria feriado de Tiradentes, mas foi antecipado na cidade do Rio de Janeiro).

  • 14/04 - excepcionalmente neste dia teremos aula de 9h00 às 10h30.

  • Teste 1 de Análise no R^n (entrega estendida até as 16h00)

  • Após consulta à turma, foi decidido que teremos aulas normalmente nos dias de 29 a 31 de março.

  • Foram decretados feriados no Rio de Janeiro, mas o professor gostaria de manter as aulas nesses dias. Preencha este formulário para dizer se você concorda em termos aulas nos dias 29 a 31 de março.

  • Esta é a lista para quem vai fazer a segunda tentativa da lista inicial (prazo e instruções no arquivo).

  • Caso você encontre um possível erro nas notas, preencha este formulário. Se forem vários erros, preencha o formulário várias vezes.

  • Lista inicial (entrega em 15/03) disponível no final da página. Primeira lista para treinar (que não deve ser entregue) também no final da página.

  • Videos, listas e informações sobre o conteúdo das aulas estão no final da página.

Informações gerais

Professor: Roberto Imbuzeiro Oliveira

Aulas do professor: segundas e quartas às 10h30 via plataforma Google Meet - meet.google.com/rwb-sdxb-fru

Monitor: Francisco Gabriel de Moura Orlando

Aulas do monitor: terças às 10h30 via plataforma Google Meet - meet.google.com/oad-kdhi-wdn

Dinâmica do curso: Este é um curso online. As aulas do professor nas terças e quintas serão através da plataforma Google Meet. Elas serão gravadas e ficarão disponíveis no final desta página.

Primeira semana de aula: excepcionalmente, as três aulas (de segunda, terça e quarta) serão com o professor. Além disso, haverá uma lista especial que deverá ser entregue até 15/03. Também ficará disponível uma outra lista com exercícios para treinar que não devem ser entregues (mas podem cair nos testes e provas).

A partir da segunda semana: teremos aulas com professor e monitor, como indicado acima. Serão disponibilizados semanalmente na seção de "Material das aulas" abaixo:

(1) uma lista dos assuntos da semana (com referências para as notas de aula);

(2) uma lista de exercícios que não precisará ser entregue (mas que servirá de base para os testes e provas);

(3) gravação das aulas e videos de outros anos que podem ser úteis.

Importante: todas as nossas aulas serão gravadas. As regras acima estão sujeitas a modificações.

O que é? Para quem é?

Este é um curso de "Análise para além da Reta"; o nome de "Análise no R^n" é antes de tudo um acidente histórico.

O curso servirá como preparação para assuntos mais avançados, como Medida e Integração e Análise Funcional. Os principais tópicos estão listados abaixo (não necessariamente na ordem em que serão cobertos).

  1. Topologia e Análise em espaços métricos e vetoriais, com ênfase em R^d e no espaço de funções contínuas.

  2. Teoremas clássicos sobre o espaço de funções contínuas: Ascoli-Arzèla, Stone-Weierstrass.

  3. Derivada de Fréchet, suas propriedades e séries de Taylor.

  4. Função Inversa, Função implícita, e esboço da teoria de subvariedades de R^d.

  5. Integrais de linha e integrais multidimensionais (a fórmula de mudança de variáveis não será provada).

  6. Tópicos adicionais na medida que o tempo permitir.

Este curso foi concebido para atender alunos que acabaram de ingressar no mestrado do IMPA. Qualquer um pode se inscrever nesta disciplina (o mesmo vale para qualquer outra do IMPA), mas fará melhor proveito aquele que tiver uma base condizente com a dos nossos mestrandos. Seus pré-requisitos são uma ótima formação em Análise na Reta e um conhecimento operacional de Álgebra Linear (matrizes, vetores, produtos destes objetos e relações com transformações e espaços lineares). Uma lista mais detalhada e organizada dos pré-requisitos pode ser encontrada aqui. Apesar dos pré-requisitos serem poucos, será difícil você ter um bom desempenho sem um grau de maturidade matemática compatível com o mestrado, o que inclui a capacidade de preencher lacunas que serão deixadas como exercício.

Atenção! Boa parte da ementa é coberta em cursos usuais nas graduações brasileiras. No entanto, o curso terá um ritmo mais rápido do que uma cadeira de graduação. Além disso, cobriremos alguns tópicos adicionais.

Bibliografia

Cobriremos a maior parte das minhas notas de aula (os capítulos de 5 em diante estão sendo revistos). Caso você encontre o que acredita ser um erro nas notas, preencha este formulário (se são vários erros, preencha várias vezes).

Outras referências: S. Lang, Undergraduate Analysis (Springer). W. Rudin, Princípios da Análise Matemática (Ao Livro Técnico). R. Cipolatti, Cálculo Avançado (SBM).

Avaliação e nota

O curso terá uma lista inicial, dois testes e duas provas. As soluções para estas avaliações podem ser escritas em português, espanhol ou inglês.

  • Lista inicial: ver seção 1 do material do "início acelerado" do curso. Cada aluno terá uma nota P ou N nesta lista. P significa "passou na lista". N significa "não passou" e indica que o aluno não está com os pré-requisitos em dia. O aluno que tirar N poderá pedir uma segunda chance e fazer uma nova lista, ficando novamente com uma nota P ou N.

  • Testes: cada teste terá 3 problemas vindos das listas de exercícios do curso. Os testes serão nos dias 06/04/2021 e 01/06/2021 das 10h30 às 13h30 e no dia 07/06/2021 das 10h30 às 18h30.

  • Provas: cada prova terá 4 problemas e terá tanto problemas das listas de exercícios quanto questões "inéditas". As provas serão nos dias 04/05/2021 e 29/06/2021 das 10h30 às 14h30.

Nota e grau finais: se o aluno tirar N na primeira lista (e numa eventual segunda chance), ficará com F no curso. Em caso contrário, sua nota numérica é o máximo entre MP e (2MP + MT)/3, onde MP = média aritmética das provas e MT = média aritmética dos testes. O grau final (A/B/C/F) será atribuído a partir da nota numérica final, com eventuais (pequenos) bônus.

Observação: Os itens acima estão sujeitos a alterações. Em particular, as atividades do curso poderão ser estendidas até o dia 30/06/2021, quando termina o período letivo.

Material das aulas

Observação: tudo abaixo que diz respeito ao futuro é uma previsão do professor. O curso pode ir tanto mais rápido, quanto mais devagar que o previsto.

1) Espaços vetoriais e métricos, limites e completude

2) Funções contínuas

3) Abertos, fechados e topologia

4) Compactos

5) Mais sobre compactos

6) Conceitos de conexidade

7) Cálculo para funções de um parâmetro real/derivada de Fréchet

8) Derivada de Fréchet: regra da cadeia e outras propriedades; exemplos

9) Mais sobre derivadas de Fréchet de ordem 1; derivadas de Fréchet de ordem > 1

10) Mais sobre derivadas de ordem >1

11 & 12) Séries de Taylor; Teoremas de Ponto Fixo, Função Inversa e Implícita

13 & 14) Aula de revisão; início da teoria de subvariedades de R^d

15 & 16) Fim da teoria de subvariedades; integração em várias variáveis

Final) Stone-Weierstrass (tópico opcional)