IMPA Tech - a partir de agosto de 2026

Notícias e avisos

• Notícias do curso serão postadas aqui.

Informações gerais

• Professor: Roberto Imbuzeiro Oliveira

• Monitores: a definir

• Aulas do professor: segundas e quartas das 15h30 às 17h no IMPA Tech

• Atendimento pelo professor: quartas-feiras das 14h15 às 15h15 no IMPA Tech 

• Aulas de monitoria: a definir

• Ementa oficial: disponível em https://impatech.edu.br/academico/grade-curricular/.

O que é? Para quem é?

Este é um curso de Análise matemática obrigatório para todos os alunos do IMPA Tech. A ementa oficial do curso inclui os seguintes tópicos.

Estrutura do conjunto dos números reais. Sequências e séries de números reais. Limites de funções. Funções contínuas. Derivação. Fórmula de Taylor e aplicações da derivada. Sequências e séries de funções. Integral de Riemann. Cálculo com integrais. Topologia em espaços métricos.

Com a exceção do último tópico, o que está listado acima corresponde aos conceitos do Cálculo em uma variável. A ideia do curso é mostrar que esses conceitos podem ser todos fundamentados em axiomas sólidos, a partir do qual cada coisa que nos importa pode ser demonstrado. A parte de espaços métricos é uma maneira de estendermos a outros espaços os conceitos mais básicos (distância, limite) do Cálculo. Isso traz benefícios para a compreensão do próprio Cálculo. 

O que esperar e algumas dicas

O primeiro curso de Análise costuma ser uma das disciplinas mais difíceis de uma graduação de matemática. Há dois desafios principais a serem superados nele. 

• Pensar em e escrever demonstrações: entender que tudo sobre os números reais pode ser demonstrado a partir de um número pequeno de axiomas requer paciência e dedicação. De princípio, parece que certas coisas são óbvias demais para serem provadas. Depois, a ansiedade bate e cada prova parece um mergulho sem fim em detalhes e detalhes. É necessário praticar e praticar até se chegar a um ponto razoável. 

• Abstração: será importante falarmos de conceitos como "conjunto compacto", ou definirmos funções sobre conjuntos cujos elementos são funcões. Ou seja, falaremos de coisas que estão a alguns saltos conceituais de distância de uma matemática mais "rasteira". Minha tarefa será suavizar o impacto desses saltos; a sua será estudar para acompanhar e gritar por socorro quando algo não estiver bem.

A boa notícia é que, ao fim desse percurso, cada estudante terá aprendido uma forma de raciocínio muito precisa, extremamente bonita (discutível?) e surpreendentemente útil (sem dúvida!). O esforço vale a pena. 

Minhas dicas para quem estiver no curso são as seguintes. 

• Aproveite os livros-texto e faça muitos exercícios: o plano de aulas tem uma referência bibliográfica para cada tópico estudado. Cada referência tem seus pontos fortes: o livro de Newstead é ótimo para aprender a demonstrar coisas e ver definições cuidadosas; o do Elon se destaca pelos ótimos exercícios e pela escrita precisa (em português); e de Abbott tem as melhores explicações. 

• A gente aprende copiando: de início, fazer as demonstrações pode parecer difícil e dar a sensação de que estamos perdidos. Copiar a linguagem dos mestres ajuda! Se nada mais funcionar, pense "Eu quero escrever esta prova como o Elon escreveria". 

• Aproveite a IA e outros recursos online de forma responsável: antigamente, a gente escrevia nossas demonstrações e esperava alguém corrigir. Agora, há os LLMs e alguns sites sobre formalização de provas por aí que podem dar um "feedback" mais imediato. Aproveite! Mas nunca, nunca deixe de tentar fazer as coisas sozinho! A cobrança do curso será assim!

Bibliografia

Bibliografia básica (oficial do curso):

1. LIMA, E. L. Análise Real. Vol. 1. Coleção Matemática Universitária. Rio de Janeiro: IMPA, 2011.

2. ABBOTT, S. Understanding Analysis. 2. ed. New York, Springer, 2016.

3. LEBL, J. Basic Analysis I: Introduction to Real Analysis. Vol. I. Independently published, 2023. Disponível em:  https://www.jirka.org/ra/realanal.pdf. Acesso em 21 mai. 2021. 

Bibliografia complementar (oficial do curso): 

1. SPIVAK, M. Calculus. New York: W.A. Benjamin, 1967.

2. LIMA, E. L. Curso de Análise. Vol.1. Projeto Euclides. Rio de Janeiro: IMPA, 1989.

3. ÁVILA, G. Introdução à Análise Matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2020.

4. RUDIN, W. Principles of Mathematical Analysis. 3. ed. New York: McGraw-Hill, 1976.

5. SCHRAMM, M. J. Introduction to Real Analysis. New York: Dover Publications, 1996.

Outros livros interessantes (sugestões minhas):

1. NERI, C. e CABRAL, M. Curso de Análise Real. Rio de Janeiro. Editora do IM-UFRJ, 2021. 

2. HAMMACK, R. The book of proof. (Sobre a escrita de demonstrações.)

3. NEWSTEAD, C. An infinite descent into pure mathematics. Versão 0.7. 

Avaliação e acompanhamento

Listas de exercícios: é recomendado que cada aluno faça todos os exercícios que puder. No entanto, a cada semana o professor passará alguns exercícios especialmente importantes. Os alunos não terão de entregar estes exercícios, mas as aulas de exercícios serão fortemente concentradas nestes problemas. 

Aulas de monitoria: têm como objetivo principal ajudar os alunos a resolverem os problemas das listas de exercícios e ensinarem os alunos a escrever bem demonstrações matemáticas. É altamente recomendado que todos participem destas aulas.  

Listas e outras atividades propostas