Álgebra Lineal

Descripción: Curso de segundo año de la carrera ICMAT UTFSM (código MAT210). Vectores y matrices. Resolución de sistemas lineales. Espacios vectoriales, bases y dimensión. Transformaciones lineales. Espacios vectoriales con producto interno, bases ortonormales y matrices ortogonales. Formas bilineales y multilineales. Permutaciones y determinante. Valores y vectores propios. Diagonalización de transformaciones lineales simétricas y Hermitianas. Valores y vectores propios generalizados, el Teorema espectral. Diagonalización de matrices normales y Teorema de normalización de Jordan.

Referencias Principales:

1.  Linear Algebra, Serge Lang.

2.  Linear Algebra and its Applications, Peter D. Lax.

Otras Referencias:

3.  Espacios vectoriales finito-dimensionales, Paul R. Halmos.

4.  Álgebra Lineal, Elon Lages Lima.

5.  Linear Algebra done right, Sheldon Axler.

6.  Álgebra Lineal, K. Hoffman & R. A. Kunze.

7.  Algèbre 2ème année, Olivier Debarre.

Periodo y Horario: 11 de Marzo al 12 de Julio, 2024. Clases: Jueves 10h55-12h05 (sala P217), Viernes 14h30-15h40 (sala P415). Hora de consultas: Miércoles 14h30-15h40 (oficina F242).  Ayudantías: Martes 10h55-12h05 (sala P217) con Mario Pastrana (mario.pastrana@usm.cl).

Certámenes: Certamen 1, Pauta Certamen 1, Certamen 2, Pauta Certamen 2, Certamen 3.

Listas de Ejercicios Certamen 1: Lista 1, Lista 2, Lista 3, Lista 4, Lista 5.

Listas de Ejercicios Certamen 2: Lista 6, Lista 7, Lista 8, Lista 9.

Listas de Ejercicios Certamen 3: Lista 10, Lista 11, Lista 12, Lista 13.

Pautas Ayudantías: Pauta 1, Pauta 2, Pauta 3, Pauta 4.

Notas de Clases Online: Clase 22, Clase 23, Clase 24.

Evaluación: El curso constará de 3 Certámenes, cada uno acompañado de 4 o 5 Tareas semanales, además de un Examen Global opcional:

• Certamen 1 (30/04), Tareas Certamen 1 (entregar en 02/04, 02/04, 16/04, 23/04, 30/04).

• Certamen 2 (31/05), Tareas Certamen 2 (entregar en 14/05, 14/05, 31/05, 31/05).

• Certamen 3 (02/07), Tareas Certamen 3 (entregar en 11/06, 18/06, 25/06, 02/07).

• Examen Global (11/07).

La Nota Final de cada Certamen se calcula del siguiente modo: 

NFC(i) = 0.6*C(i) + 0.4*NTC(i) ,

donde C(i) es la nota del Certamen i y NTC(i) es el promedio de las notas de las Tareas del Certamen i, para i=1, 2, 3. La Nota de Presentación al examen se calculará así:

NP = 0.4*NFC(1) + 0.3*NFC(2) + 0.3*NFC(3) .

La Nota Final del curso será:

NF = max { NP , 0.6*EG + 0.4*NP } ,

donde EG es la nota del Examen Global. Para aprobar el curso se requiere un mínimo de 55 en la Nota Final.

Contenidos:

• Semana 1. Matrices y operaciones (suma, producto y producto escalar). Matrices invertibles. Traspuesta de una matriz. Matrices elementales y escalonamiento de matrices. Resolución de sistemas de ecuaciones vía escalonamiento. 

• Semana 2. Criterios de invertibilidad de matrices cuadradas. El método de Gauss para hallar la inversa de una matriz. Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales, combinaciones lineales y subespacio vectorial generado por un conjunto. Espacios vectoriales de dimensión finita e infinita. Conjuntos linealmente independientes y bases. Dimensión de un espacio vectorial de dimensión finita. 

• Semana 3.  Ejemplos de espacios vectoriales de dimensión finita e infinita. Extensión de bases de un subespacio vectorial. Transformaciones lineales. Composición de transformaciones lineales y producto de matrices. Isomorfismos y dimensión. Teorema del núcleo-imagen. 

• Semana 4. Representación matricial de una transformación lineal. Matrices de cambio de base. Matrices similares. Productos internos, no-degenerados y definidos positivos. Teorema de Pitágoras, ley del paralelógramo, desigualdad de Cauchy-Schwarz, desigualdad triangular. Bases ortogonales y ortonormales. Método de ortogonalización de Gram-Schmidt.

• Semana 5. Espacio ortogonal a un conjunto. Descomposición ortogonal. Proyección ortogonal. Propiedad minimizante de la distancia. Aplicación: rango de filas es igual al rango de columnas. 

• Semana 6. Formas bilineales. Teorema de representación de Riesz. Matrices simétricas definidas positivas. Permutaciones. Composiciones con trasposiciones. Calcular el signo de una permutación en ejemplos.

• Semana 7. Polinomios en varias variables con coeficientes en un cuerpo. Acción de una permutación en un polinomio. Definición del signo de una permutación por medio de su acción en el polinomio discriminante. El signo de una composición de permutaciones. Formas multilineales alternadas. 

• Semana 8. Definición del determinante. Existencia y unicidad del determinante. Operaciones en columnas del determinante. Fórmula del determinante con permutaciones.

• Semana 9. Determinante de la traspuesta. Determinante del producto de matrices. Fórmula del determinante vía subdeterminantes. Regla de Cramer y cálculo de la matriz inversa. Rango vía subdeterminantes. Interpretación geométrica del determinante. 

• Semana 10. Valores y vectores propios. Espacios propios. Polinomio característico. Vectores propios asociados a valores propios distintos son linealmente independientes. Transformaciones lineales diagonalizables.

• Semana 11. Diagonalización de matrices y solución de recurrencias lineales. Determinante y traza vía valores propios. Teorema del mapeo espectral. Diagonalización de matrices reales simétricas.

• Semana 12. Formas Hermitianas. Matrices Hermitianas o auto-adjuntas. Diagonalización de transformaciones lineales Hermitianas. Vectores propios generalizados. Enunciado del Teorema espectral. Diagonalización simultanea de matrices complejas que conmutan.

• Semana 13. Diagonalización de matrices ortogonales, unitarias y normales. Descomposición de Jordan de una matriz compleja.

• Semana 14. Ejemplos de descomposiciones de Jordan. Demostración del Teorema de normalización de Jordan.

• Semana 15. División de polinomios, identidad de Bézout. Aplicación a espacios propios generalizados. Teorema de Cayley-Hamilton. Demostración del Teorema espectral.