Curso electivo de la carrera ICMAT UTFSM (código MAT212).
Contenidos: Solubilidad de ecuaciones cúbicas y cuárticas. Anillos y cuerpos. Anillos de polinomios. Números algebraicos. Extensiones algebraicas. Números constructibles. Cuerpo de descomposición. Clausura algebraica. Extensiones normales. Extensiones separables. Cuerpos finitos. Teorema del Elemento Primitivo. Extensiones inseparables. Grupos. Teorema Fundamental de Galois. Grupos solubles. Teorema Fundamental del álgebra y trascendencia de pi y e. Extensiones ciclotómicas. Extensiones cíclicas. Extensiones radicales. El grupo alternante. Extensiones trascendentales.
Referencia Principal:
Field and Galois Theory, Patrick Morandi.
Otras Referencias:
Fields and Galois Theory, James Milne.
Algèbre 2, Olivier Debarre.
Periodo y Horario: 5 de Agosto al 6 de Diciembre, 2024. Clases: Miércoles 17h30-18h40 (sala F249) y Jueves 17h30-18h40 (sala P212). Ayudantías: Mario Pastrana (mario.pastrana@usm.cl) días Martes 16h05-17h15 (sala F249). Consultas: Miércoles 14h40-15h50 (oficina F242).
Certámenes: Certamen 1, Certamen 2, Certamen 3.
Listas de Ejercicios: Lista 1, Lista 2, Lista 3, Lista 4.
Notas de Clases: Clase 1, Clase 2, Clase 3, Clase 4, Clase 5, Clase 6, Clase 7, Clase 8, Clase 9, Clase 10, Clase 11, Clase 12, Clase 13, Clase 14, Clase 15, Clase 16, Clase 17, Clase 18, Clase 19, Clase 20, Clase 21, Clase 22.
Clases Grabadas: Clase 2.
Pautas Ayudantías: Pauta 1, Pauta 2, Pauta 3, Pauta 5, Pauta 6, Pauta 7, Pauta 8.
Evaluación: El curso constará de 3 Certámenes (25/09, 17/10, 26/11) y 4 Tareas (05/09, 01/10, 17/10, 29/11), además de un Certamen Global (04/12).
Para aprobar el curso se requiere Nota Final mayor o igual a 55. La Nota de Certámenes (NC) es el promedio de las notas de cada Certamen, mientras que la Nota de Tareas (NT) es el promedio de las notas de cada Tarea. La Nota Final se calculará así:
NF = NC(70%)+NT(30%) .
Aquellos que obtengan Nota Final superior a 40 e inferior a 55 tendrán derecho a rendir el Certamen Global, cuya ponderación será del 50% para optar a aprobar el curso con Nota Definitiva 55. En otras palabras, la Nota Definitiva para quienes deban rendir el Certamen Global será:
ND = min{55, max{NF, CG(50%) + NF(50%)}} .
Contenidos cubierto semanalmente:
Semana 1. El problema de solubilidad por radicales del polinomio general de grado n. Resolución de ecuaciones cuadráticas, cúbicas y cuárticas.
Semana 2. Grupos, anillos, dominios, cuerpos y sus respectivos morfismos. Ideales de anillos. Anillo cociente. Extensiones de cuerpos. Grado de una extensión.
Semana 3. Ideales primos y maximales. Unidades y elementos irreducibles. Dominios de ideales principales. División de polinomios. Criterio de Eisenstein. Teorema del isomorfismo. Números algebraicos y trascendentes.
Semana 4. Extensiones algebraicas. Extensiones finitas y finitamente generadas. Construcciones con regla y compás. Cuerpo de números constructibles. Solución de problemas de la antigüedad: duplicación del cubo, trisección del ángulo, cuadratura del círculo.
Semana 5. Cuerpos de descomposición. Teorema de extensión de isomorfismos. Cuerpos algebraicamente cerrados.
Semana 6. Existencia y unicidad (salvo isomorfismos) de la clausura algebraica de un cuerpo. Grupo de Galois de una extensión de cuerpos. Cotas para el tamaño del grupo de Galois de una extensión finita. Extensiones Galoisianas finitas.
Semana 7. Extensiones Galois simples. Extensiones normales. Caracterización de extensiones normales.
Semana 8. Extensiones separables. Caracterización de separabilidad. Criterio de separabilidad con derivada. Cuerpos perfectos. Cuerpos finitos. Morfismo de Frobenius. Grupo de Galois de cuerpos finitos.
Semana 9. Exponente de un grupo finito. El grupo de unidades de un cuerpo finito es cíclico. Extensiones de cuerpos finitos son simples. Teorema del elemento primitivo. Caracterización de extensiones simples. Extensiones puramente inseparables. Clausura separable. Grado de separabilidad y de inseparabilidad de una extensión finita.
Semana 10. Teorema de Cayley. Subgrupos normales y grupos cocientes. Teorema del isomorfismo en grupos. Grupos cíclicos. Teorema de Lagrange. Teorema chino del resto. Clasificación de grupos abelianos finitamente generados.
Semana 11. Teorema de Artin. Teorema Fundamental de Galois. Grupos solubles. Grupo derivado. Extensiones radicales. Enunciado del Teorema de Galois sobre solubilidad por radicales.
Semana 12. Teorema Fundamental del Álgebra. Teorema de Lindemann-Weierstrass. Trascendencia de pi y e. Los polinomios simétricos son generados por las funciones simétricas elementales. Extensiones ciclotómicas. Polinomios ciclotómicos.
Semana 13. Caracteres y Lema de Dedekind. Teorema de Cayley-Hamilton. Extensiones cíclicas. Extensiones n-radicales. Clausura normal. Teorema de Galois sobre extensiones radicales. Insolubilidad por radicales de la ecuación general de grado mayor o igual a 5.
Semana 14. Simplicidad del grupo alternante para cinco o más elementos. Conjuntos algebraicamente independientes. Extensiones puramente trascendentes. Bases de trascendencia. El grado de trascendencia de una extensión finitamente generada. Curvas algebraicas y superficies de Riemann de género g.