Curso de tercer año de la carrera ICMAT UTFSM (código MAT235).
Contenidos: El curso se dividirá en 3 partes principales (además una 4ta parte extra que no será evaluada):
Parte I: "Las funciones holomorfas son conformes"
El plano complejo. Convergencia y continuidad. Funciones diferenciables. Funciones conformes. Funciones holomorfas. Transformaciones de Möbius. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Derivadas holomorfas y anti-holomorfas. Series de potencias. Funciones analíticas. Logaritmos y potencias complejas.
Parte II: "Las funciones holomorfas son analíticas"
Formas diferenciales. Integrales de camino. Caracterización de formas exactas y cerradas. Homotopías. Grupo fundamental. Fórmula integral de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy para derivadas. Teorema de Liouville. Forma local de las funciones analíticas. Lema de Schwarz.
Parte III: "Funciones holomorfas con singularidades"
Series de Laurent. Singularidades aisladas. Funciones meromorfas y residuos. Cálculo de integrales vía residuos.
Parte Extra: "Superficies de Riemann"
Automorfismos de la esfera y el plano. Uniformización.
Referencias Principales:
Complex Analysis, Joseph Bak & Donald J. Newman.
Funcoes de uma variável complexa, Alcides Lins Neto.
Complex Analysis, Elias M. Stein & Rami Shakarchi.
Otras Referencias:
Análisis Complejo, Pedro Montero.
Complex Made Simple, David Ullrich.
Real and Complex Analysis, Walter Rudin.
Periodo y Horario: 03 de Agosto al 04 de Diciembre, 2026. Clases: Jueves y Viernes 08h15-09h25 (sala seminarios DMAT). Hora de consultas: Jueves 16h00-17h00 (oficina F242). Ayudantías: Madeline Castro (mcastrom@usm.cl) Lunes 14h40-15h50 (sala seminarios DMAT).
Borrador de Clases: Notas.
Listas de Ejercicios: Lista 1, Lista 2, Lista 3.
Pautas Ayudantías: Pauta 1, Pauta 2, Pauta 3.
Evaluación: El curso constará de 2 Certámenes (26/09, 28/11) y 4 Controles (27/08, 24/09, 29/10, 26/11).
Para aprobar el curso se requiere Nota Final mayor o igual a 55. La Nota de Certámenes (NC) es el promedio de las notas de cada Certamen, mientras que la Nota de Controles (NCo) es el promedio de las notas de cada Control. La Nota Final se calculará así:
NF = NC(60%)+NCo(40%) .
Contenidos cubiertos semanalmente:
Semana 1. Plano complejo. Norma y conjugación. Exponencial de un número imaginario y representación polar. Multiplicación compleja como rotación y homotecia. Topología y convergencia en el plano complejo. Teorema fundamental del álgebra. Raíces de la unidad. Desigualdad triangular. Sucesiones de Cauchy. Series de número complejos. Series absolutamente convergentes. Exponencial compleja. Ejemplos de funciones continuas. Caminos. Conjuntos conexos por caminos.
Semana 2. Funciones diferenciables reales. Diferenciable implica continua. Jacobiano. Derivadas de orden superior. Funciones de clase C^k y funciones suaves. Caminos suaves. Hessiano y teorema de Schwarz. Expansión de Taylor. Funciones analíticas reales. Ejemplo de función suave no analítica. Regla de la cadena. Álgebra de funciones diferenciables. Transformaciones lineales conformes. Lineal conforme equivale a preservar perpendicularidad y también a preservar esferas. Funciones conformes reales. Ser conforme equivale a que la derivada sea lineal conforme. Proyección estereográfica.
Semana 3. Funciones holomorfas. Derivada en el sentido complejo. Primeros ejemplos de funciones holomorfas. Regla de Leibniz para funciones holomorfas. Regla de la cadena para funciones holomorfas. Teorema de la función inversa diferenciable y holomorfa. Inversión de círculos y rectas. Potencias y raíces n-ésimas. Biholomorfismo entre el disco y el semiplano. Equivalencias conformes. La esfera de Riemann. Valor de una función compleja al infinito. Transformaciones de Möbius y preservación de círculos en la esfera.
Semana 4. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Funciones conformes en el plano complejo.
Semana 5. Derivada holomorfa y anti-holomorfa. Funciones anti-holomorfas. Reglas de Leibniz para derivadas holomorfa y anti-holomorfa. Polinomios complejos. Series de potencias. Radio de convergencia. Funciones enteras. Holomorfía y suavidad de series de potencias en su radio de convergencia. Ejemplos: exponencial y funciones trigonométricas complejas. Principio de la identidad. Recíproco de una serie de potencias. Suma y producto de series de potencias.
Semana 6. Series de potencias en torno a un punto. Funciones analíticas. Las series de potencias son analíticas. Álgebra de funciones analíticas. Principio de la continuación analítica. Propiedades de la exponencial compleja. Rama principal del logaritmo. Las ramas del logaritmo son analíticas. Ramas del argumento y ramas de una potencia compleja.
Semana 7. Formas diferenciales. Diferencial de una función. Formas exactas y primitivas. Formas cerradas y su ecuación de compatibilidad. Integrales de camino de una forma diferencial. Reparametrización de integrales de camino. Adjunción de caminos, camino inverso y sus integrales. Pull-back de una forma diferencial y teorema de cambio de variables.
Semana 8. Caracterización integral de formas exactas. Caracterización integral de formas cerradas. En un convexo una forma es cerrada ssi es exacta. Forma cerrada ssi localmente exacta. Homotopías de caminos. Invarianza de integrales de formas cerradas por caminos homotópicos. Abiertos simplemente conexos. Funciones armónicas. Las funciones armónicas son la parte real de una función holomorfa. Ramas del logaritmo en abiertos simplemente conexos.
Semana 9. Grupo fundamental. Ejemplo del círculo. Índice de un camino en torno a un punto. Invarianza del índice por homotopías. Índice de cada componente conexa del complemento del camino. Unicidad de la componente no acotada. Curvas de Jordan. Teorema de la curva cerrada de Jordan. Teorema de Schönflies. Teorema de Green. Teorema de Cauchy-Goursat. Fórmula integral de Cauchy.
Semana 10. Toda función holomorfa es analítica. Composición e inversa de funciones analíticas es analítica. Fórmula integral de Cauchy para derivadas. Principio del módulo máximo para funciones armónicas. Teorema de Liouville. Demostración del teorema fundamental del álgebra. Teorema de Morera. Principio de reflexión de Schwarz.
Semana 11. Teorema de la forma local de las funciones analíticas. Teorema de la aplicación abierta. Principio del módulo máximo. Aplicaciones.
Semana 12. Lema de Schwarz. Automorfismos bianalíticos del disco. Automorfismos del semiplano superior. Anillos. Series de Laurent. Teorema de Laurent.
Semana 13. Singularidades aisladas. Singularidades removibles, polos y singularidades esenciales. Teorema de extensión de Riemann. Teorema de Casorati-Weierstrass. Gran teorema de Picard. Funciones meromorfas. Residuos. Teorema de los residuos. Orden de cero y de polo. Teorema de Rouché.
Semana 14. Cálculos de integrales vía residuos.
Semana 15. Funciones racionales en la esfera. Automorfismos de la esfera. Automorfismos del plano. Superficies de Riemann. Mapas de recubrimiento. Teorema de uniformización. Pequeño teorema de Picard.