Curso de quinto año de la carrera ICMAT UTFSM (código MAT215).
Contenidos: Conteo en conjuntos finitos. Grafos y paseos. Grafos Eulerianos. Árboles. Grafos dirigidos y flujos en redes. Grafos bipartitos y emparejamientos. Grafos planares. Coloración en grafos. Números enteros. Congruencia módulo. Orden de una unidad. Raíces primitivas. Ley de reciprocidad cuadrática. Ecuaciones diofantinas cuadráticas. Teorema de Minkowski y sumas de cuadrados. Números congruentes. Forma normal de Weierstrass. Grupo de Mordell-Weil. Reducción de una curva elíptica módulo un primo. Método del descenso efectivo. Toros complejos. Funciones elípticas. Uniformización de curvas elípticas. Formas modulares. Curvas modulares. Operadores de Hecke. Funciones L.
Referencias Principales:
Graph Theory, Reinhard Diestel.
A Classical Introduction to Modern Number Theory, Kenneth Ireland & Michael Rosen.
Elliptic curves, modular forms and their L-functions, Álvaro Lozano-Robledo.
Otras Referencias:
Teoria dos Números: um passeio com primos e outro números familiares pelo muno inteiro, Fabio E. Brochero Martinez, Carlos Gustavo T. de A. Moreira, Nicolau C. Saldanha & Eduardo Tengan.
The arithmetic of elliptic curves, Joseph Silverman.
A first course in modular forms, Fred Diamond & Jerry Shurman.
Notes: Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms, R. Villaflor.
Periodo y Horario: 10 de Marzo al 11 de Julio, 2025. Clases: Jueves 14h40-15h50 (sala F249), Viernes 11h05-12h15 (sala F249). Hora de consultas: Viernes 13h00-14h10 (oficina F242). Ayudantías: Mario Pastrana (mario.pastrana@usm.cl) día Miércoles 12h30-13h40 (sala F265).
Notas de Clases (de Helena Bahamondes): Teoría de Grafos, Teoría de Números Elemental, Curvas Elípticas.
Listas de Ejercicios: Lista 1, Lista 2, Lista 3, Lista 4, Lista5.
Ayudantías: Pauta 1, Pauta 2, Pauta 3, Pauta 4, Pauta 5, Pauta 6.
Evaluación: El curso constará de 5 Tareas (11/04, 09/05, 30/05, 20/06, 08/07).
Para aprobar el curso se requiere Nota Final (NF) mayor o igual a 55. La Nota Final (NT) será el promedio de las 4 mejores notas de cada tarea.
Contenidos cubiertos semanalmente:
Semana 1. Conteo en conjuntos finitos. Principio de Dirichlet. Principio extremal. Conteo en fibras. Grafos. Handshaking lemma. Subgrafos. Caminos, ciclos y paseos.
Semana 2. Grafos Eulerianos. Grafos acíclicos y árboles. Árboles generadores.
Semana 3. Grafos dirigidos. Flujo en redes. Max flow-min cut. Caracterización de grafos bipartitos. Emparejamientos. Teorema de König. Teorema de los casamientos de Hall.
Semana 4. Grafos planares. Característica de Euler. Menores de un grafo. Teorema de Wagner. Coloración en grafos. Teorema de los cinco colores. Números de Ramsey.
Semana 5. El anillo de los números enteros. Divisibilidad. Teorema Fundamental de la Aritmética. Infinitud de primos. Identidad de Bézout.
Semana 6. Congruencia módulo un entero. Unidades. Pequeño Teorema de Fermat. Función phi de Euler. Teorema de Euler. Teorema de Wilson. Teorema chino del resto. Orden una unidad. Números que admiten raíz primitiva. Exponente módulo un entero.
Semana 7. Raíces primitivas módulo un primo. Estructura del grupo de unidades módulo un entero. Símbolo de Legendre. Ley de reciprocidad cuadrática.
Semana 8. Ecuación de Legendre. Reticulados y Teorema de Minkowski. Teorema de Fermat de sumas de 2 cuadrados. Teorema de Lagrange de sumas de 4 cuadrados.
Semana 9. Números congruentes. Curvas elípticas. Forma normal de Weierstrass. Invariante modular j.
Semana 10. Grupo de Mordell-Weil de una curva elíptica. Teorema de Mordell-Weil. Teorema de Mazur. Teorema de Nagell-Lutz. Teorema de Siegel. Método de reducción módulo un primo. Teorema de Hasse. Soluciones de una curva elíptica en cuerpos finitos. Conjeturas de Weil para curvas elípticas.
Semana 11. Método del descenso para calcular el rango de una curva elíptica. Funciones holomorfas y meromorfas en una variable. Superficies de Riemann. Toros complejos. Curvas elíptica complejas.
Semana 12. Funciones holomorfas y meromorfas entre superficies de Riemann. Función P de Weierstrass.
Semana 13. Función de periodos. Fórmula de la adición de Euler. Formas débilmente modulares. Series de Eisenstein. Función delta de Ramanujan. Teorema de uniformización. Monstrous Moonshine Conjecture.
Semana 14. Subgrupos de congruencia. Álgebras de formas modulares. Teorema de la modularidad de Wiles. Curvas modulares. Racionalidad de los coeficientes de la series de Eisenstein. Teorema de Jacobi de los cuatro cuadrados. Función tau de Ramanujan. Conjeturas de Ramanujan. Operadores de Hecke.
Semana 15. Función L asociada una forma modular. Funciones L de Dirichlet. Función L asociada a una curva elíptica. Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. Conjetura de la paridad.