Curso electivo de la carrera ICMAT UTFSM (código MAT290).
Contenidos: Introducción. Subvariedades del espacio Euclideano. Variedades topológicas. Variedades diferenciables. Funciones diferenciables. Variedades cociente. Espacio tangente. Subvariedades. Fibrados vectoriales. Secciones. Encaje de Whitney. Formas diferenciales. Formas diferenciales de grado superior. Derivada exterior. Variedades con borde. Orientación. Integración. Grupos de cohomología de De Rham. Invarianza homotópica. Secuencia de Mayer-Vietoris. Característica de Euler. Cohomología de De Rham a soporte compacto. Dualidad de Poincaré. Grado topológico. Homología singular y teorema de De Rham.
Presentaciones: Clasificación de superficies compactas (Andrés Miranda y Benjamín Labra 28/11), Teoremas de Poincaré-Hopf y Gauss-Bonnet (Carlos Tapia y Vicente Jofré 28/11), Clasificación de Álgebras de Lie (Diego Melián 03/12), Teorema de Ehresmann (Fernando Valenzuela 03/12), Espacio de Teichmüller (Fabián Jáuregui y Maximiliano Miranda 05/12).
Referencias Principales: Revisar el apunte de clases.
An Introduction to Manifolds, Loring Tu.
Introduction to Smooth Manifolds, John M. Lee.
Differential Topology, Victor Guillemin & Allan Pollack.
A Comprehensive Introduction to Differential Geometry vol. 1, Michael Spivack.
Differential Topology, Morris W. Hirsch.
Topology From the Differentiable Viewpoint, John Milnor.
Periodo y Horario: 04 de Agosto al 05 de Diciembre, 2025. Clases: Viernes 12h30-13h40 (sala P103)y Viernes 16h05-17h15 (sala F249). Hora de consultas: Jueves 13h00-14h30 (oficina F242). Ayudantías: Sebastián Salas (sebastian.salasse@usm.cl).
Evaluación: El curso constará de 2 Tareas (Lista 1 24/09 y Lista 2 21/11), 1 Certamen (17/10) y Exposiciones.
Para aprobar el curso se requiere Nota Final mayor o igual a 55. La Nota de Tareas (NT) es el promedio de las notas de cada Tarea, mientras que (NC) es la nota del Certamen y (NE) es la nota de las Exposiciones. La Nota Final se calculará así:
NF = NT(30%)+NC(40%)+NE(30%) .
Contenidos cubiertos semanalmente:
Semana 1. Espacios Euclideanos. Espacios topológicos y funciones continuas. Funciones diferenciables en varias variables reales. Funciones diferenciables definidas en la esfera. Difeomorfismos locales. Teorema de la Función Inversa. Teorema de la Función Implícita. Valor regular de una función diferenciable. Subvariedades del espacio Euclideano.
Semana 2. Espacios topológicos Hausdorff y segundo contables. Variedades topológicas. Conexidad. Dimensión de una variedad topológica conexa. Atlas diferenciable. Compatibilidad de cartas. Variedades diferenciables. Producto de variedades diferenciables. Ejemplos: grupos de Lie clásicos (grupos lineales y toros), el espacio proyectivo real y complejo.
Semana 3. Funciones diferenciables. Difeomorfismos. Categoría de variedades diferenciables. Haz estructural de una variedad diferenciable. Ejemplos de funciones diferenciables. Teorema de la Función Inversa en variedades. Topología cociente. Acciones de grupos. Ejemplos de variedades obtenidas como cocientes. Suma conexa de superficies. Clasificación de superficies compactas conexas. Cocientes de variedades diferenciables por acciones propiamente discontinuas son variedades diferenciables.
Semana 4. Espacio tangente. Tangente del espacio Eculideano. Derivada de una función en un punto. Regla de la cadena. Espacio tangente de una subvariedad de un espacio Euclideano. Vectores tangentes como velocidades de curvas. Cálculo de derivadas con curvas.
Semana 5. Subvariedad de una variedad diferenciable. Teorema del rango constante. El grupo ortogonal. Submersiones e inmersiones. Los puntos de rango máximo son un abierto. Encajes. La imagen de un encaje es una subvariedad. Fibrados vectoriales. Fibrado trivial. Operaciones del álgebra lineal en fibrados vectoriales. Morfismos entre fibrados vectoriales de igual base. Fibrado tangente.
Semana 6. Secciones de un fibrado vectorial. Campos vectoriales. Morfismos entre fibrados vectoriales. Derivada de una función diferenciable. Marcos locales de un fibrado. Orientación de un fibrado vectorial. Variedades orientables. Funciones bump. Particiones de la unidad. Encaje de una variedad compacto en un espacio Euclideano. Lema de Sard. Teorema del encaje de Whitney débil en el caso compacto.
Semana 7. Secciones de un fibrado en marcos. Marco dual. Fibrado cotangente y formas diferenciales. Diferencial de una función. Pull-back de formas diferenciales. Linealidad y funtorialidad del pull-back. Pull-back de diferenciales. Recuerdo de álgebra multilineal. Formas diferenciales de grado superior. Producto wedge de formas diferenciales. Pull-back de k-formas diferenciales. Formas top. Orientabilidad en términos de la existencia de una forma top global sin ceros.
Semana 8. Formas diferenciales como funciones multilineales alternantes en campos. Contracción de una forma diferencial por un campo. Existencia y unicidad del diferencial exterior. El diferencial conmuta con el pull-back. Funciones diferenciables definidas en subconjuntos arbitrarios de una variedad. Variedades con borde. Difeomorfismos llevan puntos interiores en puntos interiores. Borde de una variedad con borde es una variedad diferenciable. Fibrado tangente de una variedad con borde.
Semana 9. Campo a lo largo del borde que apunta hacia afuera. El borde de una variedad orientable es orientable. Signo de un difeomorfismo entre variedades orientadas. Atlas orientado. Integral de una forma top a soporte compacto. Teorema de cambio de variables. Forma de orientación tiene integral positiva en variedades compactas orientables. Teorema de Stokes. Toda variedad con borde compacta y orientable no admite retracción a su borde. Teorema de punto fijo de Brower.
Semana 10. Grupos de cohomología de De Rham. Interpretación del primer y segundo grupo de cohomología de un abierto del espacio Euclideano tridimensional en términos de campos vectoriales y EDP's lineales. Números de Betti. Pull-back en cohomología. Producto wedge en cohomología. Anillo de cohomología de De Rham. Homotopía de funciones diferenciables. Invarianza homotópica de la cohomología de De Rham. Lema de Poincaré y cohomología de espacios contractibles. Equivalencia homotópica.
Semana 11. Ejemplos de retracciones por deformación. Secuencia exacta de Mayer-Vietoris. Números de Betti de las esferas. Característica de Euler. Simplex singulares y triangulaciones. Cálculo de la característica de Euler en términos de un triangulación. Fórmula de Euler para poliedros. Cohomología de De Rham a soporte compacto. Secuencia de Mayer-Vietoris a soporte compacto.
Semana 12. Secuencia de Mayer-Vietoris para subvariedades compactas. Cohomología de soporte compacto del espacio Euclideano. Isomorfismo de integración en cohomología a soporte compacto de variedades conexas orientables y anulamiento en el caso no orientable. Coberturas geodésicamente convexas. Dualidad de Poincaré.
Semana 13. Grado topológico. Fórmula del grado en término de los signos de la función. Teorema de la bola peluda. Teorema fundamental del álgebra. Winding number. Teorema de la curva cerrada de Jordan. Holomogía singular. Invarianza homotópica de la homología. Mayer-Vietoris en homología. Teorema de De Rham. Invarianza de dominio.