Curso de tercer año de la carrera ICMAT UTFSM (código MAT214).
Contenidos: Ejemplos de grupos y subgrupos. Morfismos de grupos. Cocientes de grupos y Teorema de Lagrange. Subgrupos normales y Teoremas de isomorfismos. Productos directos y semi-directos. Acciones de grupos. Acción por conjugación. Teoremas de Sylow. Anillos. Ideales, morfismos de anillos y cocientes de anillos. Ideales primos y maximales. Dominios Euclideanos. Dominios de ideales principales. Dominios de factorización única. Resultante de dos polinomios. Teorema de Bézout. Módulos. Complejos de cadenas. Categorías. Categorías abelianas. Localización. Módulos finitamente generados. Teorema de Cayley-Hamilton. Módulos Noetherianos. Teorema de los ceros de Hilbert. Funtor Hom. Producto tensorial.
Pre-requisitos: Se asumirá conocimiento básico sobre números (naturales, enteros, racionales, reales y complejos) además de teoría de conjuntos (relaciones y funciones). En particular, será de vital importancia el concepto de relación de equivalencia y conjunto cociente. Para estos temas se recomienda estudiar el primer capítulo del apunte del profesor Pedro Montero, revisando los siguientes videos grabados por él: Video 1, Video 2, Video 3.
Referencias Principales:
Abstract Algebra, David S. Dummit & Richard M. Foote.
Álgebra Abstracta, Pedro Montero.
Topics in Algebra, I. N. Herstein.
Otras Referencias:
Algebra, Serge Lang.
Introduction to Commutative Algebra, M. F. Atiyah & I. G. Macdonald.
Commutative Algebra with a View Towards Algebraic Geometry, David Eisenbud.
Categories for the Working Mathematician, Saunders Mac Lane.
Periodo y Horario: 10 de Marzo al 11 de Julio, 2025. Clases: Miércoles 12h30-13h40 (sala Seminarios DMAT), Viernes 14h40-15h50 (sala Seminarios DMAT). Hora de consultas: Miércoles 14h25-15h50 (oficina F242). Ayudantías: Sebastián Salas (sebastian.salasse@usm.cl) día Lunes 12h30-13h40 (sala P202).
Listas de Ejercicios: Lista 1, Lista 2, Lista 3, Lista 4, Lista 5, Lista 6, Lista 7.
Certámenes: Certamen 1, Certamen 2, Certamen 3.
Evaluación: El curso constará de 3 Certámenes de 2 horas y 30 minutos de duración (21/04, 28/05, 30/06) y 7 Tareas (28/03, 11/04, 25/04, 09/05, 30/05, 13/06, 04/07), además de un Certamen Global (10/07).
Para aprobar el curso se requiere Nota Final mayor o igual a 55. La Nota de Certámenes (NC) es el promedio de las notas de cada Certamen, mientras que la Nota de Tareas (NT) es el promedio de las notas de cada Tarea. La Nota Final se calculará así:
NF = NC(60%)+NT(40%) .
Aquellos que obtengan Nota Final superior a 40 e inferior a 55 tendrán la posibilidad de rendir el Certamen Global, cuya ponderación será del 50% para optar a aprobar el curso con Nota Definitiva 55. En otras palabras, la Nota Definitiva para quienes deban rendir el Certamen Global será:
ND = min{55, max{NF, CG(50%) + NF(50%)}} .
Mientras que para quienes no deban rendir el Certamen Global, su Nota Definitiva será su Nota Final.
Contenidos cubiertos semanalmente:
Semana 1. Grupos y primeros ejemplos. Subgrupos generados por elementos. Orden de un elemento. Morfismos e isomorfismos de grupos. Teorema de Cayley.
Semana 2. Conjunto cociente de un grupo por un subgrupo. Teorema de Lagrange. Subgrupos normales. Grupo cociente. Teorema del isomorfismo. Teorema chino del resto.
Semana 3. Productos directos y semi-directos. Acciones de grupos en conjuntos. Órbitas y estabilizadores. Fórmula de las órbitas.
Semana 4. Acción por conjugación y ecuación de clases. Teorema de Cauchy.
Semana 5. Teoremas de Sylow. Clasificación de grupos de orden pequeño. Anillos y primeros ejemplos. Unidades.
Semana 6. Morfismos de anillos. Ideales. Cocientes de anillos. Teorema del isomorfismo.
Semana 7. Ideales primos y maximales. Ideales principales, elementos irreducibles y elementos primos. Dominios Euclideanos son dominios de ideales principales. Enteros de Gauss y sumas de cuadrados.
Semana 8. Máximo común divisor en dominios de ideales principales. Identidad de Bézout. Dominios de ideales principales son dominios de factorización única. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo en dominios de factorización única.
Semana 9. Contenido de un polinomio. Lema de Gauss en dominios de factorización única. Resultante de dos polinomios con coeficientes en un dominio de factorización única.
Semana 10. Curvas algebraicas planas. Teorema de Bézout. Módulos, submódulos y cocientes. Secuencias exactas.
Semana 11. Lema de los cinco. Lema de la serpiente. Complejos de cadenas. Morfismos de complejos. Homología y cohomología de complejos. Lema del zig-zag. Categorías. Elementos iniciales y terminales, productos y coproductos.
Semana 12. Funtores. Categorías abelianas. Funtores exactos. Teorema del encaje de Freyd-Mitchell. Sistemas multiplicativos. Localización de anillos y módulos. Exactitud de la localización.
Semana 13. Módulos libres. Teorema de estructura de módulos finitamente generados sobre dominios Euclideanos. Clasificación de grupos abelianos finitamente generados. Teorema de Cayley-Hamilton. Lema de Nakayama. Anillos locales.
Semana 14. Teorema de la base de Hilbert. Módulos y anillos Noetherianos.
Semana 15. Teorema de los ceros de Hilbert. Funtor Hom es exacto por la izquierda.
Semana 16. Producto tensorial. Localización vista como producto tensorial. Módulos planos. Producto tensorial en módulos libres. Producto wedge. Determinante.