Curso de Magíster en Ciencias Mención Matemáticas UTFSM (código MAT426).
Contenidos: Categoría de variedades. Variedades algebraicas afines. Categoría de variedades afines. Variedades proyectivas. Ejemplos. Encaje de Segre. Morfismos finitos. Teoría de dimensión. Dimensión de fibras y Grassmanniana. Fibrados vectoriales. Aplicaciones racionales. Puntos regulares y singulares. Criterios de regularidad. Suavidad genérica. Divisores de Weil. Divisores de Cartier. Divisores amplios. Blow-up. Cohomología de Cech. Haces acíclicos. Haces de módulos. Haces cuasi-coherentes y coherentes. Cohomología de variedades afines. Haces cuasi-coherentes en variedades proyectivas. Cohomología de variedades proyectivas. Divisor canónico. Dualidad de Serre. Teorema de Riemann-Roch. Encajes de curvas en el espacio proyectivo. Moduli de curvas. Curvas hiperelípticas. Teoría de intersección en superficies. Introducción a esquemas.
Referencias Principales:
Geometría Algebraica, Pedro Montero.
Algebraic Geometry, Robin Hartshorne.
Otras Referencias:
Basic Algebraic Geometry 1 and 2, Igor Shafarevich.
Algebraic Geometry: A First Course, Joe Harris.
Ideals, Varieties and Algorithms, David A. Cox, John B. Little, Donal O'Shea.
Géométrie Algébrique, Le Poitier.
The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry, Ravi Vakil.
Periodo y Horario: 5 de Agosto al 6 de Diciembre, 2024. Clases: Miércoles 11h05-12h15 (sala F249), Viernes 14h40-17h15 (sala F249). Ayudantías: Sebastián Fuentes (sebastian.fuenteso@usm.cl) día Lunes 16h05-17h15 (sala F265). Consultas: Miércoles 14h40-15h50 y Jueves 16h05-17h15 (oficina F242).
Resultados no cubiertos por Hartshorne: Notas complementarias.
Certámenes: Certamen 1, Certamen 2, Certamen 3.
Listas de Ejercicios: Lista 1, Lista 2, Lista 3, Lista 4, Lista 5, Lista 6, Lista 7.
Notas de clases: Clase 0, Clase 1, Clase 2, Clase 3, Clase 4, Clase 5, Clase 6, Clase 7, Clase 8, Clase 9, Clase 10, Clase 11, Clase 12, Clase 13, Clase 14, Clase 15, Clase 16, Clase 17, Clase 18, Clase 19, Clase 20, Clase 21, Clase 22, Clase 23, Clase 24, Clase 25, Clase 26, Clase 27, Clase 28, Clase 29, Clase 30, Clase 31, Clase 32.
Clases grabadas: Clase 3, Clase 4, Clase 14, Clase 17.
Pautas ayudantías: Pauta 1, Pauta 2, Pauta 3, Pauta 4, Pauta 5, Pauta 6, Pauta 7, Pauta 8, Pauta 9, Pauta 10, Pauta 11, Pauta 12.
Ayudantías grabadas: Ayudantía 1, Ayudantía 2, Ayudantía 8.
Evaluación: El curso constará de 3 Certámenes (09/09, 21/10, 25/11) y 7 Tareas (30/08, 27/09, 11/10, 28/10, 11/11, 23/11, 05/12).
Para aprobar el curso se requiere Nota Final (NF) mayor o igual a 55. La Nota de Certámenes (NC) es el promedio de las notas de cada Certamen, mientras que la Nota de Tareas (NT) es el promedio de las notas de cada Tarea. La Nota Final se calculará así:
NF = NC(60%)+NT(40%) .
Contenidos cubiertos semanalmente:
Semana 1. Variedades topológicas, diferenciables y complejas vía atlas. Haces estructurales clásicos (funciones continuas, diferenciables, holomorfas) y haz constante. Fibrados vectoriales y sus secciones. Variedades como espacios anillados. Espacio afín, conjuntos algebraicos afines y topología de Zariski. Teorema de los ceros de Hilbert (Nullstellensatz). Variedades algebraicas afines y su haz estructural. Equivalencia de categoría de variedades algebraicas afines y categoría de k-álgebras finitamente generadas dominios. Producto de variedades afines. Espacio proyectivo.
Semana 2. Polinomios homogéneos, anillos graduados e ideales homogéneos. Variedades proyectivas y cuasi-proyectivas. Morfismos de variedades cuasi-proyectivas. Cono afín de una variedad proyectiva. Variedades lineales. Proyecciones lineales. Join de variedades proyectivas. Encaje de Veronese.
Semana 3. Polinomios bi-homogeneos, topología de Zariski y haz estructural del producto de espacios proyectivos. Encaje de Segre. Morfismos entre variedades proyectivas son cerrados. Funciones regulares en variedades proyectivas son constantes. Morfismos finitos y extensiones enteras. Cuerpo de funciones de una variedad y grado de un morfismo finito. Morfismos finitos son preservados por composición, por restricción a abiertos del codominio y por restricción a subvariedades cerradas del dominio.
Semana 4. Dimensión de Krull de una variedad. Morfismos finitos son sobreyectivos, cerrados y preservan dimensión. Lema de Noether vía proyecciones lineales. Dimensión en términos del grado de trascendencia del cuerpo de funciones. Teorema del ideal principal de Krull (Hauptidealsatz). Teorema de dimensión de las fibras. Grassmanniana y encaje de Plücker. Rectas en hipersuperficies.
Semana 5. Fibrados vectoriales y fibrados en líneas. Fibrados triviales. Fibrado tautológico del espacio proyectivo. Equivalencia entre fibrados vectoriales módulo isomorfismo y matrices de transición cumpliendo condición de cociclo. Operaciones en fibrados vectoriales: suma directa, producto tensorial, Hom, producto wedge. Grupo de Picard de una variedad algebraica. Secciones de un fibrado vectorial. Equivalencia entre clases de isomorfismos de fibrados vectoriales y clases de isomorfismos de haces de módulos localmente libres. Secciones globales de haces invertibles del espacio proyectivo.
Semana 6. Aplicaciones racionales. Variedades birracionales. Aplicaciones racionales inducidas por secciones de fibrados en líneas. Morfismos proyectivos vía sistemas lineales. Automorfismos del espacio proyectivo. Grupo de Cremona. Equivalencia entre aplicaciones racionales y morfismos de cuerpos de funciones. Toda variedad es birracional a una hipersuperficie. Anillos locales y espacio tangente de Zariski. Puntos regulares y singulares. Completaciones de anillos locales. Series formales. Teorema de estructura de Cohen. Equivalencia analítica. Anillos locales de puntos regulares son dominios de factorización única.
Semana 7. Espacio tangente de Zariski vía derivaciones y diferenciales. Criterio Jacobiano. Un punto genérico es regular. Variedades normales. Variedades suaves son normales. Variedades normales son regulares en codimensión 1. Teoremas de Bertini. Suavidad genérica.
Semana 8. Dominios de valuación discreta. Valuación de una subvariedad de codimensión 1. Divisores de Weil. Divisores principales y grupo de clases de divisores. Divisores de Cartier. Relación con divisores de Weil, isomorfismo en el caso suave. Relación entre divisores de Cartier y el grupo de Picard. Divisor de una sección racional de un fibrado en líneas. Fibrados en líneas y divisores libres de puntos de base, muy amplios y amplios. Aplicaciones racionales en variedades suaves se indefinen en codimensión 2. Criterio de amplitud vía separación de puntos y tangentes. Intersección en superficies suaves proyectivas. Teorema de Bézout. Enunciado de criterio de amplitud de Nakai-Moishezon.
Semana 9. Blow-up, conjunto excepcional, transformada estricta. Cartas y suavidad del blow-up. Ejemplos de resolución encajada de singularidades. Pull-back de divisores de Cartier y su soporte. Enunciado del Moving Lemma. Grupo de Picard del blow-up de una superficie suave proyectiva y su producto de intersección.
Semana 10. Tallos de un pre-haz, haz de secciones discontinuas, haz inducido por un pre-haz. Complejos y secuencias exactas de haces. Grupos de cohomología de Cech respecto a una cobertura. Refinamientos y grupos de cohomología de Cech. Haces acícliclos. Haces flasque son acíclicos. Haz cociente. Todo haz admite una resolución acíclica. Resolución de Godement. Funtorialidad de los grupos de cohomología. Secuencia larga en cohomología inducida por una secuencia corta de haces. Coberturas acíclicas. Lema de Leray. Cohomología conmuta con sumas directas finitas. Cohomología de haces como cohomología de secciones globales de una resolución acíclica. Haces finos son acíclicos. Formas diferenciales en variedades diferenciables, resolución de De Rham y cohomología de De Rham.
Semana 11. Categoría de haces de módulos, cocientes, productos tensoriales, Hom. Haces de ideales. Pull-back y push-forward de haces de módulos. Haz inducido por un módulo en el caso afín, secciones en abiertos principales y tallos. Haces cuasi-coherentes y coherentes. Equivalencia de categorías entre módulos y haces cuasi-coherentes en el caso afín. Pull-back de haces (cuasi-)coherentes es (cuasi-)coherente. Push-forward de haces cuasi-coherente es cuasi-coherente, y lo mismo vale para coherentes vía morfismos finitos y encajes cerrados.
Semana 12. Teorema de Serre sobre aciclicidad de haces cuasi-coherentes en el caso afín. Anulamiento de Grothendieck. Criterio cohomológico de afinidad. Haces cuasi-coherentes en variedades proyectivas son inducidos por el módulo graduado de secciones globales del haz torcido. Morfismos proyectivos. Teorema de Serre sobre haces torcidos globalmente generados. Todo haz coherente sobre una variedad proyectiva es cociente de un haz libre torcido. Todo haz invertible se vuelve muy amplio si se tuerce lo suficiente. Moving lemma. Cohomología del espacio proyectivo sobre una variedad afín. Finitud de Serre. Todo haz coherente es inducido por un módulo graduado finitamente generado en el caso proyectivo. El push-forward de haces coherentes por morfismos proyectivos es coherente. Teorema de Grauert-Grothendieck.
Semana 13. Diferenciales de Kähler. Haces de formas diferenciales algebraicas absolutos y relativos. El haz de 1-formas es localmente libre en variedades suaves. Fibrado canónico y divisores canónicos. Fibrado canónico del espacio proyectivo. Haz tangente, haz normal y haz conormal. Fórmula de la adjunción. Variedades de Fano, Calabi-Yau y canónicamente polarizadas. Dimensión de Kodaira y variedades de tipo general. Categorías abelianas con suficientes inyectivos. Funtores derivados. Propiedades del funtor Ext. Delta-funtores. Extensión de isomorfismos entre delta-funtores borrables. Dualidad de Serre.
Semana 14. Característica de Euler de un haz. Género aritmético y género geométrico de una curva. Espacio de Riemann-Roch de un divisor. Grado de un divisor. Teorema de Riemann-Roch. Grado del divisor canónico de una curva. Divisores especiales y no especiales. Grado de un fibrado vectorial sobre una curva. Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch para curvas. Grado del pull-back de un divisor por un morfismo finito. Teorema de Abel-Jacobi. Jacobiana de una curva. Amplitud de divisores en curvas proyectivas suaves. Fórmula del género para curvas planas. Toda curva proyectiva suave admite un encaje al espacio proyectivo de dimensión 3.
Semana 15. Encaje tricanónico. Función de Hilbert de un haz coherente sobre una variedad proyectiva. Polinomio de Hilbert-Serre de un haz. Esquema de Hilbert y moduli de curvas de género g. Curvas hiperelípticas. Una curva de género al menos 2 tiene canónico muy amplio, si y sólo si, no es hiperelíptica. Igualdad fundamental para morfismos finitos. Fórmula de Hurwitz. Decrecimiento del género y Teorema de Luröth. Representación plana de las curvas hiperelípticas. Involución hiperelíptica.
Semana 16. Definición y bilinealidad del producto de intersección en el grupo de Picard de una superficie proyectiva suave. Fórmula del género de una curva en una superficie proyectiva suave. Teorema de Riemann-Roch para superficies. Teorema del índice de Hodge. Grupo de Néron-Severi y variedad de Albanese de una superficie. Espectro de un anillo y ejemplos. Esquemas afines. Espacios localmente anillados. Esquemas. Esquemas relativos. Productos fibrados. Funtor de puntos. Puntos con direcciones infinitesimales. Esquemas no reducidos. Esquemas aritméticos y morfismos de especialización.