TURUNAN INVERS FUNGSI TRIGONOMETRI DAN LOGARITMA

Terkadang, kita bisa memberikan rumus untuk f'. Jika y = f(x) = 2x, maka x = f' (y)= 1/2y (lihat Figure 1). Demikian pula jika y = f(x) = x³ − 1, maka x  = f' (y) =akar y+1 (Figure 2). Dalam setiap kasus, kita cukup menyelesaikan persamaan yang menentukan- = berakhiran ƒ untuk x dalam bentuk y. Hasilnya x = f¹(y).

Namun hidup ini lebih rumit daripada yang ditunjukkan oleh dua contoh di atas. Tidak setiap fungsi dapat dibalik dengan cara yang jelas. Misalkan y = f(x) = x². Untuk y tertentu, ada dua x yang bersesuaian dengannya (Figure 3). Fungsi y = g(x) = sin x bahkan lebih buruk lagi. Untuk setiap y, ada banyak sekali x yang bersesuaian dengannya (Figure 4). Fungsi tersebut tidak memiliki invers; setidaknya, mereka tidak melakukannya kecuali kita membatasi kumpulan nilai x, subjek yang akan kita bahas nanti.

Keberadaan Fungsi Invers Akan lebih baik jika mempunyai kriteria yang sederhana untuk menentukan apakah suatu fungsi f mempunyai invers. Salah satu kriterianya adalah fungsinya satu-satu (one-to-one); yaitu, x1 ≠ x2 menyiratkan f(x1) ≠ f(x2). Hal ini setara dengan kondisi geometri bahwa setiap garis horizontal bertemu dengan grafik y = f(x) paling banyak di satu titik. Namun, dalam situasi tertentu, kriteria ini mungkin sangat sulit diterapkan, karena mengharuskan kita memiliki pengetahuan lengkap tentang grafik. Kriteria yang lebih praktis yang mencakup sebagian besar contoh yang muncul dalam buku ini adalah bahwa suatu fungsi harus bersifat monotonik. Yang kami maksud dengan ini adalah peningkatan atau penurunan domainnya. 

Terkadang, kita bisa memberikan rumus untuk f'. Jika y = f(x) = 2x, maka x = f' (y)= 1/2y (lihat Figure 1). Demikian pula jika y = f(x) = x³ − 1, maka x  = f' (y) =akar y+1 (Figure 2). Dalam setiap kasus, kita cukup menyelesaikan persamaan yang menentukan- = berakhiran ƒ untuk x dalam bentuk y. Hasilnya x = f¹(y).

Namun hidup ini lebih rumit daripada yang ditunjukkan oleh dua contoh di atas. Tidak setiap fungsi dapat dibalik dengan cara yang jelas. Misalkan y = f(x) = x². Untuk y tertentu, ada dua x yang bersesuaian dengannya (Figure 3). Fungsi y = g(x) = sin x bahkan lebih buruk lagi. Untuk setiap y, ada banyak sekali x yang bersesuaian dengannya (Figure 4). Fungsi tersebut tidak memiliki invers; setidaknya, mereka tidak melakukannya kecuali kita membatasi kumpulan nilai x, subjek yang akan kita bahas nanti.

Keberadaan Fungsi Invers Akan lebih baik jika mempunyai kriteria yang sederhana untuk menentukan apakah suatu fungsi f mempunyai invers. Salah satu kriterianya adalah fungsinya satu-satu (one-to-one); yaitu, x1 ≠ x2 menyiratkan f(x1) ≠ f(x2). Hal ini setara dengan kondisi geometri bahwa setiap garis horizontal bertemu dengan grafik y = f(x) paling banyak di satu titik. Namun, dalam situasi tertentu, kriteria ini mungkin sangat sulit diterapkan, karena mengharuskan kita memiliki pengetahuan lengkap tentang grafik. Kriteria yang lebih praktis yang mencakup sebagian besar contoh yang muncul dalam buku ini adalah bahwa suatu fungsi harus bersifat monotonik. Yang kami maksud dengan ini adalah peningkatan atau penurunan domainnya. 

Teorema A:

Jika f benar-benar monotonik pada domainnya, maka ƒ mempunyai invers.

Teorema B: Teorema Fungsi Invers

Misalkan f terdiferensiasikan dan monoton murni pada interval I. Jika f'(x) ≠  0 di suatu x tertentu dalam I, maka f' dapat didiferensiasikan di titik yang berpadanan y=f'(x) dalam daerah hasil f dan

(f')'(y)=1/f'(x)

Kesimpulan Teorema B seringkali dituliskan dalam lambang sebagai

dx/dy = 1/dy/dx