Turunan Implisit dan Turunan Tingkat Tinggi

Diferensiasi Implisit

Diferensiasi implisit adalah proses mencari turunan dari suatu fungsi implisit. yaitu, proses ini digunakan untuk mencari turunan implisit. Ada dua jenis fungsi: fungsi eksplisit dan fungsi implisit. Fungsi eksplisit berbentuk y = f(x) dengan variabel terikat "y" berada di salah satu sisi persamaan. Namun tidak selalu perlu menempatkan 'y' di satu sisi persamaan. Misalnya, pertimbangkan fungsi berikut: 

• x^2 + y = 2

• xy + sin (xy) = 0

Dalam kasus pertama, meskipun 'y' bukan salah satu sisi persamaan, kita masih dapat menyelesaikannya dengan menuliskannya seperti y = 2 - x^2 dan merupakan fungsi eksplisit. Namun dalam kasus kedua, kita tidak dapat menyelesaikan persamaan 'y' dengan mudah, dan jenis fungsi ini disebut fungsi implisit dan di halaman ini, kita akan melihat cara mencari turunan dari fungsi implisit dengan menggunakan proses diferensiasi implisit. 

Apa itu Diferensiasi Implisit?

Diferensiasi implisit adalah proses membedakan fungsi implisit . Fungsi implisit adalah fungsi yang dapat dinyatakan sebagai f(x, y) = 0. yaitu, fungsi tersebut tidak dapat diselesaikan dengan mudah untuk 'y' (atau) tidak dapat dengan mudah diubah menjadi bentuk y = f(x). Mari kita perhatikan contoh mencari dy/dx dengan fungsi xy = 5. Mari kita mencari dy/dx dengan dua cara: (i) Menyelesaikannya untuk y (ii) Tanpa menyelesaikannya untuk y. 

• Cara - 1:

xy = 5

y = 5/x

y = 5x^-1

Diferensialkan kedua ruas terhadap x:

dy/dx = 5(-1x^-2 ) = -5/x^2

• Cara - 2:

xy = 5

Diferensialkan kedua ruas terhadap x: 

d/dx (xy) = d/dx(5)

Menggunakan aturan hasil kali di ruas kiri, 

x d/dx(y) + y d/dx(x) = d/dx(5)

x (dy/dx) + y (1) = 0

x(dy/dx) = -y 

dy/dx = -y/x

Dari xy = 5, kita dapat menulis y = 5/x. 

dy/dx = -(5/x)/x = -5/x^2

Dalam Metode -1, kami telah mengubah fungsi implisit menjadi fungsi eksplisit dan mencari turunannya menggunakan aturan pangkat. Namun dalam metode-2, kita membedakan kedua ruas terhadap x dengan menganggap y sebagai fungsi dari x, dan jenis diferensiasi ini disebut diferensiasi implisit. Namun untuk beberapa fungsi seperti xy + sin (xy) = 0, menuliskannya sebagai fungsi eksplisit (Metode - 1) tidak dimungkinkan. Dalam kasus seperti ini, hanya diferensiasi implisit (Metode - 2) yang merupakan cara untuk mencari turunannya.  

Bagaimana melakukan Diferensiasi Implisit?

Dalam proses diferensiasi implisit, kita tidak bisa langsung memulai dengan dy/dx karena fungsi implisit tidak berbentuk y = f(x), melainkan berbentuk f(x, y) = 0. Perhatikan bahwa kita harus menyadari aturan turunan seperti aturan pangkat, aturan hasil kali, aturan hasil bagi, aturan rantai, dll sebelum mempelajari proses diferensiasi implisit. Berikut adalah diagram alur langkah-langkah melakukan diferensiasi implisit.   

Sekarang, langkah-langkah ini dijelaskan dengan contoh di mana kita akan mencari turunan implisit dy/dx jika fungsinya adalah y + sin y = sin x.

• Langkah - 1: Bedakan setiap suku di kedua ruas terhadap x.
  Kemudian kita mendapatkan d/dx(y) + d/dx(sin y) = d/dx(sin x).

• Langkah - 2: Terapkan rumus turunan untuk mencari turunannya dan terapkan juga aturan rantai.
  (Semua suku x harus dibedakan secara langsung menggunakan rumus turunan; namun saat mendiferensiasikan suku y, kalikan turunan sebenarnya dengan dy/dx)
  Dalam contoh ini, d/dx (sin x) = cos x sedangkan d/dx (sin y ) = cos y (dy/dx).
  Maka langkah diatas menjadi:
  (dy/dx) + (cos y) (dy/dx) = cos x

• Langkah - 3: Selesaikan untuk dy/dx.
  Mengambil dy/dx sebagai faktor persekutuan:
  (dy/dx) (1 + cos y) = cos x
  dy/dx = (cos x)/(1 + cos y)
  Ini adalah turunan implisit.

turunan tingkat tinggi

Diberikan sebuah fungsi f, kita turunkan f ’, yang juga merupakan fungsi. Dari f ’ dapat kita turunkan f ’’ = (f ’)’, yang disebut turunan kedua f , dan dari f ’’ kita dapat memperoleh turunan ketiga f , yakni f ’’’ = (f ’’)’, dst.

Turunan ke-n dari y = f(x) dilambangkan dengan f (n) atau dny/dxn.

Contoh  Jika y = sin 2x, maka dy/dx = 2 cos 2x,

d2y/dx2 = -4 sin 2x, d3y/dx3 = -8 cos 2x, dst.

Bila turunan pertama mempunyai interpretasi fisis kecepatan sesaat, maka turunan kedua secara fisis dapat diinterpretasikan sebagai percepatan (sesaat) yang mengukur laju perubahan kecepatan terhadap waktu.