Kekontinuan Fungsi Bilangan Real

Dalam matematika dan sains, kita menggunakan kata kontinu untuk menggambarkan suatu proses yang berlangsung tanpa perubahan mendadak. Faktanya, pengalaman kita mengarahkan kita untuk berasumsi bahwa ini adalah fitur penting dari banyak proses alami. Gagasan inilah yang berkaitan dengan fungsi-fungsi yang sekarang ingin kita tepatkan. Pada ketiga grafik yang ditunjukkan pada Gambar, hanya grafik ketiga yang menunjukkan kontinuitas di c. Pada dua grafik pertama, lim x menuju c f(x) tidak ada, atau ada tetapi tidak sama dengan f(c). Hanya pada grafik ketiga lim x menuju c f(x) = f(c). 

Konsep ini merupakan salah satu konsep mendasar dan penting dalam bidang Analisis. Secara intuitif, fungsi kontinu adalah fungsi yang grafiknya tidak terputus, terutama ketika kita berbicara pada fungsi yang domainnya berupa interal. Akan tetapi, intuisi tersebut kadang tidak berlaku ketika kita berbicara terkait dengan fungsi yang diefinisikan pada sebarang himpunan, contohnya adalah fungsi pada himpunan bilangan asli yang sebagaimana kita ketahui bahwa interpretasi himpunan bilangan bulat pada garis real, terdapat gap antar bilangan asli.

Kali ini, kita membahas definisi dari fungsi kontinu yang ditinjau dari definisi ε–δ, kriteria barisan dan juga topologi. Akan ditunjukkan pula bahwa ketiga definisi tersebut adalah ekuivalen satu sama lain.

Domain dari fungsi yang dibicarakan di sini adalah berupa bilangan real. Sedangkan kodomain dari fungsi tersebut adalah berupa bilangan real. Secara umum, fungsi yang dibicarakan adalah

f:A⊆R→R

KEKONTINUAN FUNGSI
Kontinu berarti terus menerus (berkelanjutan) tanpa perubahan mendadak (tidak terputus). Setiap umat manusia perlu ditanamkan sifat kontinu dalam beramal sholeh, sebagaimana disabdakan. Konsep kekontinuan fungsi sangat penting dalam kalkulus, baik kalkulus differensial maupun integral. Konsep ini didasarkan atas konsep limit. Jika konsep limit dipahami dengan baik, tidaklah sulit untuk memahami konsep kekontinuan. Konsep-konsep limit kiri, limit kanan, dan limit fungsi di suatu titik akan digunakan dalam pengertian kekontinuan fungsi di suatu titik. Konsep kekontinuan fungsi ini akan lebih mudah dipahami secara intuitif dulu, kemudian dilanjutkan secara formal.