Par

Jean-Paul Mukangi Umba et Kumbana Malundu

Résumé

 Les cours de mathématique sont généralement considérés aussi bien par les élèves que dans l’opinion comme difficiles. Cette considération rend effectivement difficile ces cours parce que les apprenants ayant intériorisé cette considération ne font plus d’efforts pour comprendre ce qui est enseigné. Pourtant, la mathématique ne suit qu’une logique à partir des notions simples d’addition, de soustratction, de division et de multiplication vues à l’école primaire. Pour aider les élèves à ne pas considérer la mathématique comme une discipline difficile, les auteurs ont résolu de mettre à la disposition des enseignants de mathématique querlques exercices résolus avec des explications claires de la procédure à suivre. Une façon de les aider à aider les élèves à, non seulement résoudre les équations mathématiques mais également à aimer cette discipline pour qu’elle devienne facile. 

Introduction

A travers notre carrière enseignante nous avons fait un constat amer quant à ce qui concerne le cours de Mathématique au niveau du cycle terminal du secondaire général : 5ème et 6ème Pédagogique, littéraire et autres. Les élèves ont difficile à résoudre des exercices qui leur sont proposés pour dire tout simplement : « C’est très difficile ».

Retenons pourtant que la Mathématique est une discipline qui suit une ligne logique à partir des simples notions élémentaires d’addition, de soustraction, de multiplication et de division vues à l’école primaire jusqu’aux principes et définitions complexes au niveau supérieur (Secondaire et Universitaire). Le manque d’enchainement d’idées de toutes ces notions ne peut qu’engendrer des difficultés de compréhension et par conséquent, entraine d’échecs pour croire à tort que la mathématique est difficile.

Nous avons ainsi choisi le type d’exercices sur deux chapitres du programme de Mathématique en 6ème année des humanités pédagogiques et littéraires basés sur le domaine de définition basés sur le domaine de définition et équation   des asymptotes d’une fonction. Très souvent les apprenants éprouvent des difficultés énormes à trouver une réponse correcte lorsque la question posée fait appel à la combinaison des notions étudiées sur les deux chapitres cités ci-haut. Notre souci est de mettre un support à la disposition des élèves et leurs encadreurs pouvant les aider de modèle à suivre à la résolution des quelques exercices.

Il s’agit de quelques exercices résolus suivant un raisonnement logique conformément au programme du cours dispensé dans les classes d’options citées ci-haut.

1. Exercices modèles

A)     Soit la fonction f(x) définie par :   dans R pour toute valeur de x si et seulement si : (m étant un paramètre).

1)           2) – 2 < m < 2       3)     4)    5)   

Ci-après le raisonnement à suivre :

a)     Pour qu’une fonction rationnelle soit définie pour toute valeur de x dans  , il faut dans le cas d’un dénominateur du second degré que son discriminant appelé : delta (D) soit négatif c’est-à-dire n’admet pas de solutions ou racines.

b)      Comme ce dénominateur est mx2 + x – 2, en l’annulant, on obtient

mx2 + x – 2 = 0. Calculons delta (D).

D = b2 – 4ac. (a = m, b = 1 et c = - 2).

D’où D = 12 – 4.m. (-2) = 1 + 8 m.

Selon le point a), 1 + 8m doit être négatif c’est-à-dire 1 + 8m < 0. Cette inéquation a pour solution :

1 + 8 m < 0.

8m < - 1

Cette solution constitue la réponse à la question posée. Cette réponse est marquée au numéro 4.

Bref, on a fait appel aux notions suivantes :

-          Résolution d’une équation du second degré

-          Résolution d’une inéquation du 1er degré

-          Domaine de définition d’une fonction.

B)    La courbe représentative de la fonction  admet deux asymptotes verticales d’équations : x = -3 et x = 1 si le couple (m, n) est égal à :

1)       (3, - 1) ;   2) (3, 1);   3) (1, 3);  4) (- 3, 3);    5) (1, -3).

Ci-après le raisonnement modèle à suivre :

Les asymptotes verticales sont obtenues à partir du dénominateur de la fonction donnée c’est-à-dire de mx2 + 2x + m = 0.

Donc les asymptotes x = - 3 et x = 1 sont les solutions de cette équation.  Alors mx2 + 2x + m =  (x +3) (x – 1). On a alors mx2 + 2x + m =x2 + 2x - 3.

Cette réponse est située au numéro 5. C’est-à-dire (m, n) = (1, -3).

Bref, on a fait appel :

-          à la définition d’une asymptote verticale.

-          à la résolution d’une équation du second degré

-          à la définition domaine de définition.

C)        Soit la fonction  (k = paramètre). Cette fonction est définie  dans l’intervalle : ] -¥, 4 [u] 4, + -¥ [. La valeur du paramètre k est :

Ci-après le raisonnement simple et logique à suivre :

mx2 + x – 2 = 0.

·         Dans le domaine de définition donnée ci-haut, le chiffre 4 est exclu du domaine. Cela veut dire que x = 4 constitue une équation asymptote verticale c’est-à-dire x = 4 équation d’asymptote verticale.

·         Dans ce dénominateur 6 + 2kx = 0, si x = 4 on obtient :

6 + 2k.4 = 6 + 8k=0. D’où : 8k = - 6. Cette solution  constitue la réponse à la question posée.

Bref, les notions de référence sont  :

-           la définition d’une asymptote verticale.

-           la résolution d’une équation du 1er  degré à une inconnue.

D)       Soit la fonction  quelles sont les valeurs que peuvent prendre a et b de cette fonction pour qu’elle admette deux asymptotes verticales et une asymptote horizontale y = 1. (a et b : paramètres).

1)       a = 2 et b = 2     2) a < 1 et b = 1   3) a = 0 et b = 1

4) a <   et b = 0      5) a = 1 et b =    

Raisonnement logique et simple à suivre :

1° Parce que l’Asymptote horizontale y = 1. Cela signifie que les coefficients de x2 du numérateur et du dénominateur sont égaux. Autrement dit b = 1. Par définition de l’Asymptote horizontale.

2° Comme la fonction admet 2 Asymptotes verticale. Cela signifie que le dénominateur s’annuel pour 2 valeurs de x. Cela revient à dire que le discriminant D du dénominateur est positif par définition. Donc :

x2 + 2x + a = 0.

D = 4 - 4a doit être positif.

4 - 4a > 0

- 4a > - 4

4a > 4 Þ  c’est-à-dire a < 1

Au point (1°) b = 1 et au point (2°) a < 1.

N.B. :

1) La réponse 2 répond à la question posée.

2) On a fait appel : la définition d’une asymptote horizontale et l’asymptote verticale et à la résolution d’une équation du second degré.

E)        Soit  et D son domaine de définition. Déterminer les réels a, b et c tel que f (x) = ax + b +  pour tout x du domaine de définition

Raisonnement à suivre :

(1)     Mettre tous les termes de la fonction ax + b +  au même dénominateur commun.

(2)   Egaler les résultats à la fonction de départ  .

(3)     Comparer et égaler ainsi les coefficients de x2, de x et termes indépendants membre à membre.

D’où :

(1)                 

Réponse : a = 1 ; b = - 1 et c = - 3

F)         Soit la fonction    (a et b = paramètres) définie dans l’intervalle] -¥, -3 [u] -3, 2 [u] 2, +¥ [. La valeur de l’expression a2 + 2ab + b2 égale :

1)       4           2) 49           3) 57               4) 25              5) 94

Raisonnement à suivre :

-          Parce que les valeurs de x = -3 et x = 2 sont exclues du domaine de définition, alors dont des asymptotes verticales : AV x = -3 et AV x = 2.

-          Cela signifie que pour x = -3 et x = 2 le dominateur est nul (zéro).

o    D’où : (1) pour x = -3, le dénominateur devient :

 ou 9 – 3a + b = 0.

(1)  Pour x = 2, le dénominateur devient :

(2)2 + a(2) + b ou 4 + 2a + b = 0

2a + b = - 4            (2)

On obtient un système d’équation à 2 inconnues a et b.

Exemple : Méthode de Cramer

·

Ainsi a = 1 et b = - 6

D’où a2 + 2ab + b2 = (1)2 + 2 (1)(-6) + (-6)2

= 1 – 12 + 36 = 37 – 12 = 25

N.B. (1) La réponse 4 est la solution au problème posé.

(2) On a fait appel à :

- la définition du l’asymptote verticale

- la résolution du système d’équations à 2 inconnues.

G)        On donne la fonction    (a et b = paramètres). Si f(x) n’est pas définie au point x = 1 et que f(2) = 3 alors le couple (a, b) égale à :

1)

Raisonnement à suivre :

·         Si pour x = 1, f(x) n’est pas définie alors x = 1 est une asymptote verticale par définition. Autrement dit, en x = 1.  2x2 + bx + a = 0 ou

2(1)2 + b + a = 0.

b + a = - 2 (1)

·      f(2) = 3 c’est-à-dire :

Þ 2a – 6b – 3a = 24

-         a – 5b = 20 (2)

Méthode d’Addition

Le couple est donc

N.B. : (1) La réponse est donc au n°3.

(2) On a fait appel à :

-          la définition d’une asymptote verticale

-          la résolution d’un système d’équations du 1er degré à 2 inconnues.

On donne la fonction    sachant que f(x) peut se mettre sous la forme   (a, b, c, Î R) alors a2 + b2 + c égale à :

1)       51    2) 198     3) 38     4) 218      5) 78.

Raisonnement à suivre :

-          Mettre la fonction   au même dénominateur.

-          Egaler la fonction (résultat) obtenue à la fonction de départ.

-          Comparer et égaler les coefficients de x2, x et termes indépendants de 2 membres et trouver ainsi la valeur de a, b et c et enfin remplacer a, b et c par leurs valeurs respectives trouvées ci-haut, puis calculer a2 + b2 + c2.

D’où,

(1)    

(2)    

Þ  

3) a2 + b2 + c2 = (-2)2 + (5)2 + (13)2 = 4 + 25 + 169 = 198.

N.B. :

(1) Le n°2 est la bonne réponse.

(2) On a fait appel à :

- la transformation d’une fonction.

- aux simples calculs d’addition, soustraction, multiplication, division, factorisation …

H)            Soit la fonction , la fonction inverse

 (a, b, c, d  R) alors  égale à 1) 7   2) - 6   3) - 4      

Raisonnement à suivre :

(1) déterminer la fonction inverse

(2) égaler la fonction obtenue à la fonction

(3) comparer et égaler les coefficients de x et les termes indépendants identiques et enfin remplacer a, b, c, d par leurs valeurs respectives puis calculer .

D’où :

(1) 

yx + 2y = x – 3

yx – x = - 2y – 3

(y - 1) = - 2y – 3

    Þ

2)

3) a = -2     b = - 3      c = 1   d = - 1

     D’où

N.B. :

(1) La réponse est au n°2.

(2) On a fait appel à toutes les notions élémentaires de calcul vues précédemment dans toutes les années précédentes.

Conclusion

Pour résoudre n’importe quel exercice de ce genre, il faut en tout premier lieu :

-        faire appel aux notions relatives à la question étudiées précédemment.

-        faire appel aux principes et définitions antérieures pouvant permettre la résolution de l’exercice de manière logique et exacte.

-        La réponse finale est une conséquence logique obtenue grâce à une succession des matières relatives au chapitre contenant la question posée.

Bibliographie

Badetty L. et al (2001). Maitriser les mathématiques 5. Kinshasa : Editions Loyola.

EPSP (2003). Cahiers d’items, Examens d’Etat, Inédit.

Kayembe et al (1996). Maitriser les mathématiques 3. Kinshasa : Editions Loyola.

Laurent, R. (1963). Algèbre, 3ème édition. Bruxelles : A De Boeck.