Origen de la Geometría Esférica

El planeta en el que vivimos tiene la forma aproximada de una esfera.Todos los ángulos y distancias se miden sobre la superficie de una esfera por lo tanto se cumplen las propiedades de ésta.La trigonometría y geometría de una esfera, se han estudiado desde la antigüedad. La mayoría de las civilizaciones se plantearon determinar la posición de los cuerpos celestes y de predecir sus trayectorias. Poder medir el paso del tiempo durante la noche. Hallar métodos seguros de navegación. Dibujar mapas y realizar los cálculos necesarios para un calendario

Principales precursores

Se considera a Hiparco de Nicea (180-125 a.C.) como al padre de la Trigonometría, del que sólo se conserva su Comentario sobre los Phaenomeana de Eudoxo y Aratus, un tratado sobre las cuerdas en un círculo.
Claudio Ptolomeo (85-165 d.C.), que legó una monumental obra en 13 libros, el Almagesto, en la que se propuso fundamentar la astronomía sobre la aritmética y la geometría. Para la resolución de triángulos se apoya en el Teorema de Menelao y dió a la Trigonometría Esférica una sólida estructura que duró más de 1.000 años.
Claudio Ptolomeo (85-165 d.C.), que legó una monumental obra en 13 libros, el Almagesto, en la que se propuso fundamentar la astronomía sobre la aritmética y la geometría. Para la resolución de triángulos se apoya en el Teorema de Menelao y dió a la Trigonometría Esférica una sólida estructura que duró más de 1.000 años.

Definición de Geometría Esférica

La geometría esférica es una rama de la geometría que se centra en el estudio de las propiedades de las figuras y objetos en la superficie de una esfera. En lugar de trabajar en un plano como en la geometría euclidiana tradicional, la geometría esférica se enfoca en las relaciones y mediciones de ángulos, distancias y áreas en la superficie curva de una esfera. Este campo tiene aplicaciones en astronomía, geografía, cartografía y navegación, entre otros.

¿Qué es una esfera?

Es una superficie curva en la que todos los puntos están equidistantes de un punto central dado, llamado el centro de la esfera

Circunferencia Máxima

Se llama circunferencia máxima a la intersección de la esfera con un plano que contiene el centro de la esfera.

Circunferencia menor

Si el plano que intersecta la esfera no contiene al centro, entonces la intersección del plano con la esfera es una circunferencia menor.

Se llaman polos de una circunferencia menor a los extremos del diámetro perpendicular al plano que la contiene. El polo que está situado a la menor distancia esférica se denomina centro y a esta distancia radio esférico. Todos los puntos que disten del centro menos que el radio esférico se dicen interiores a la circunferencia menor, y exteriores todos aquellos que disten más que el radio esférico.

Es crucial ya que juega un papel fundamental en la determinación de las distancias más cortas entre puntos en la superficie de la esfera, así como en la definición de rutas de navegación y vuelo sobre la superficie de la Tierra o cualquier otro cuerpo esférico. En la Tierra, por ejemplo, el ecuador terrestre es un ejemplo de una circunferencia máxima

Distancia Esférica

Dados dos puntos A y B de la esfera, se denomina distancia esférica entre A y B al menor de los arcos de extremos A y B de la circunferencia máxima que contiene los puntos A y B.

Si A y B son diametralmente opuestos entonces existirán infinitas circunferencias máximas que pasan por ellos, tomándose, en este caso, la semicircunferencia como distancia esférica entre ambos puntos.Dos círculos máximos se cortan en los puntos extremos de un diámetro de la esfera debido a que los planos que los contienen pasan por el centro de la esfera.

Husos o Ángulos Esféricos:

Se denomina ángulo a cada una de las cuatro regiones en que queda dividida la esfera como consecuencia de la intersección de dos circunferencias máximas. También se pueden definir como la intersección de la esfera con un ángulo diedro cuya arista es uno de sus diámetros.

Ángulos de un triángulo

La suma de los tres ángulos de un triángulo esférico es mayor que 180 grados,esa suma varía dependiendo del área del triángulo.

La realidad es que conforme se hace más pequeño el área del triángulo, la suma de sus ángulos aunque mayor que 180 grados se acerca cada vez más a los 180 grados.Veamos un ejemplo gráfico de cómo sucede:

Por la construcción usted puede ver que los ángulos en y son rectos y, entonces, la suma de los tres ángulos es mayor que 180 grados.Dados y pueden pasar un círculo grande que los contuviera o, en el caso de ser y opuestos, muchos círculos grandes. La conclusión es que dados dos puntos y existe por lo menos una recta (esférica) que los contiene.

Triángulo esférico

Se denomina triángulo esférico a la intersección de la esfera y de un triedro cuyo vértice es el centro de dicha esfera.Los triángulos esféricos son figuras formadas por 3 segmentos de lineas esféricas de longitud menor que π (para que los lados de los triangulos sean los caminos mas cortos entre los vertices) No es difícil ver que cualesquiera 3 puntos no alineados en la esfera son los vértices de un único triángulo esférico

Polos de circunferencia máxima

Se llama polos de una circunferencia máxima a los puntos de la esfera que equidistan de todos los puntos de dicha circunferencia. También se pueden definir como los extremos del diámetro de la esfera, perpendicular a dicha circunferencia máxima.

Obviamente, todas las circunferencias máximas que son perpendiculares a una dada pasan por sus polos y la distancia esférica entre cada punto de una circunferencia máxima y sus polos es 90°.

Tipo de triángulo esférico según el ángulo:

Triángulo birrectangular esférico cuando tiene dos ángulos rectos

Triángulo esférico recto cuando tiene al menos un ángulo recto.

Triángulo trirrectangular esférico cuando tiene tres ángulos rectos.

Actividad 1:

Realiza un cuadro comparativo entre Geometría Esférica y Geometría del Plano

Resolución:

Área de un triángulo esférico

Longitud de un arco.

Riemann en lugar de asumir que existe un número infinito de rectas paralelas que pasan por un punto exterior a una recta dada, asumió que no pasaba ninguna. Es decir, si se extendieran las rectas tarde o temprano se cortarían,pensó que lo que realmente podemos garantizar no es una recta infinita, sino más bien que el proceso de extender un segmento no posee fin. Hizo una distinción muy sutil entre entre longitud infinita y longitud ilimitado.

Por ejemplo: uno puede recorrer un círculo ilimitadamente pero el círculo posee una longitud finita. De esta manera,enfatizó una dimensión especial del concepto de recta; éstas aquí no son longitudes infinitas sino ilimitadas.

Teorema:

Dos triángulos esféricos son congruentes si cumplen alguna de estas condiciones:

1. (LLL) Tienen 3 lados iguales.

2. (LAL) Tienen 2 lados y el ángulo entre ellos iguales.

3. (ALA) Tienen 2 ángulos y el lado entre ellos iguales.

Actividad 2:

¿Cómo se determinó en la Antigüedad el radio de la tierra?

Resolución:

Coordenadas Esféricas

Las coordenadas esféricas son un sistema de coordenadas tridimensional utilizado para determinar la posición de un punto en la superficie de una esfera. Este sistema es especialmente útil en aplicaciones geográficas y astronómicas, donde es necesario localizar puntos en una superficie curva como la de la Tierra o el cielo.

Latitud: es el ángulo entre el plano del ecuador y la línea que pasa por el punto y el centro de la Tierra.

Rango: Varía de -90° (Polo Sur) a +90° (Polo Norte).

Usos: Determina la ubicación norte-sur de un punto en la Tierra.

Longitud: es el ángulo entre el Meridiano de Greenwich y el meridiano que pasa por el punto.

Rango: Varía de -180° a +180°.

Usos: Determina la ubicación este-oeste de un punto en la Tierra.

Calculo de la distancia entre dos puntos que poseen la misma longitud

En este caso la distancia estará dada por:

Calculo de la distancia entre dos puntos que poseen la misma latitud

Actividad 3:

Calcula la distancia entre Bogotá y Toronto, conociendo las siguientes coordenadas geográficas:

Bogotá, Colombia(-4.7°,74°)

Toronto, Canadá(43°,74°).

Resolución:

Actividad 4.

Calcular la distancia desde Madrid a Nueva York, sabiendo que Madrid se ubica en (40°,-4.7°) y Nueva York(40°,-74°)

Resolución:

Actividad Final

Parte 1: Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica.

1) En la geometría esférica, la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre es mayor a 180 grados. V

2-En la geometría esférica, las líneas rectas se pueden definir como la distancia más corta entre dos puntos. F

No existen líneas rectas en la geometría esférica, la menor distancia entre dos puntos es la medida de un arco de circunferencia máxima y se mide en grados.

3-En la geometría esférica, no existen líneas paralelas. V

4-En la geometría esférica, los ángulos de un triángulo pueden ser todos ángulos rectos. V

5–En la geometría esférica, las coordenadas esféricas se utilizan para definir la posición de un punto. V

6-El teorema de las dos geodésicas en la geometría esférica establece que dos geodésicas cualesquiera en una esfera se intersectan en exactamente dos puntos antipodales. V

7-La fórmula de la ley de los cosenos para triángulos esféricos es la misma que para triángulos euclidianos. F

La ley de los cosenos para triángulos esféricos es cos a= cos b.cos c+sen b.sen c.cos y la ley de los cosenos para triángulos euclidianos es c2=a2+b2-a.b.cos

En la geometría euclidiana los lados de un triángulo se miden en metros, centímetros, etc, mientras que en la geometría esférica en grados. Aquí es donde radica principalmente la diferencia entre los teoremas.

8-En la geometría esférica, los triángulos pueden tener lados de longitud mayor que la circunferencia máxima de la esfera. F

No puede un lado del triángulo ser mayor que una circunferencia máxima porque los lados pertenecen a circunferencias máximas.

Ejemplo de un triángulo ABC en la geometría esférica:

Si uno de los lados es una circunferencia máxima, por ejemplo la circunferencia de centro O y radio AO, no se formarían los otros dos lados del triángulo.

Si un lado es mayor a una circunferencia máxima, no pertenecería a la esfera. Por ende no se considera en la geometría esférica.

9-En la geometría esférica, la suma de los ángulos internos de un polígono es igual a 360 grados. F

La suma de los ángulos internos de un triángulo es mayor a 180° y menor a 540°. El resto de los polígonos se pueden descomponer en triángulos, por ende no en todos los casos la suma será de 360°.

10-Para calcular la distancia entre dos ciudades usando la geometría esférica, es suficiente con conocer sus latitudes. F

Solo es necesario conocer sus latitudes si sabemos que ambas ciudades tienen la misma longitud. En este caso la distancia entre las ciudades está determinada de la siguiente forma:

(ángulos en radianes)

Por el contrario, si sabemos que ambas ciudades tienen la misma latitud solo necesitamos saber sus longitudes y la distancia está determinada por:

Si queremos hallar la distancia entre ciudades que tienen distintas latitudes y longitudes, no es necesario aplicar una nueva formula si conocemos los razonamientos anteriores y el teorema del coseno.

Esto se puede evidenciar en la siguiente actividad.

Parte 2: Conociendo los siguientes datos de latitud y longitud entre los aeropuertos en Beijing, China(39°,116°) y Montevideo, Uruguay (-53°,-58°).

Calcule la distancia entre aeropuertos en (° y km)