Oscilações - Introdução

1. Objetivo:

• Conhecer os fundamentos de oscilações.

• Entender a Lei de Hooke.

• Estudar o oscilador massa-mola

• Determinar o período e frequência do oscilador massa-mola.

2. Parte teórica:

• Conteúdo

2.1 Movimento de uma partícula ligada a uma mola.

2.2. Equações do movimento do oscilador massa-mola.

2.3. Período e frequência do movimento.

2.4. Lista de exercícios

2.1 Movimento de uma partícula ligada a uma mola 

Imagine um bloco, de massa m, preso a uma mola, de constante elástica k, que está esticada, como ilustrado na figura 1. A mola exerce uma força Fe sobre o bloco que é proporcional ao deslocamento Δx da mola a partir de sua posição de equilíbrio xo e tem sentido oposto ao deslocamento.  

Pela Lei de Hooke, a força elástica restauradora é dada por: Fe =-kΔx

Tomando Δx = x - xo  e fazendo xo=0 temos:

Fe =-kx

Importante observar que a força elástica tende a restaurar a posição de equilíbrio do bloco.

Desprezando o atrito entre o bloco e a superfície, a força resultante FR no eixo x é Fe. Então, pela 2ª Lei de Newton, fica:

Desta forma, quando a posição x é positiva a aceleração é negativa e vice-versa. 

Imagine agora que movemos o bloco m de sua posição de equilíbrio até uma nova posição e liberamos do repouso. O bloco começa a oscilar em torno da posição de equilíbrio realizando um movimento periódico. O tempo de cada oscilação é definido como o período do movimento (T ). A frequência é o inverso do período (f ), e representa a quantidade de oscilações por unidade de tempo.

No SI (Sistema Internacional de Unidades) o período é dado em segundos (s) e a frequência em Hertz (Hz = 1/s).

O sistema massa-mola é um dos tipos mais simples de osciladores harmônicos. Quando a mola tem o seu comprimento original alterado, uma força restauradora de origem elástica atua sobre ela, de modo que ela volte à sua posição de equilíbrio.

No site do projeto PhET Simulações Interativas da Universidade do Colorado em Boulder é possível fazer vários tipos de simulações de com diversos fenômenos físicos. Aproveite para fazer testar cenários e ampliar seu entendimento do assunto. (link)

2.2. Equações do movimento do oscilador massa-mola 

A dedução matemática das equações do oscilador massa-mola pode ser encontrada nos livros da referência (Halliday). As equações horárias são obtidas da aplicação das Leis de Newton e da solução das equações diferenciais do modelo. Vale à pena conferir. 

2.2.1. Equação horária da posição

Esta equação, permite encontrar a posição x do bloco em qualquer instante de tempo t.

xm é a amplitude do movimento e representa o máximo deslocamento em relação à posição de equilíbrio (x0).

ω é chamada de frequência angular, dada por: 

A unidade de ω é rad/s (radianos por segundo). 𝜙 é uma constante de fase que expressa as condições iniciais do movimento e pode ser calculada de acordo com a equação:

onde x0 e v0 são a posição inicial e a velocidade inicial, respectivamente. Sendo um ângulo, sua unidade é rad (radianos, no SI) ou grau.

2.2.2. Equação horária da velocidade

A velocidade instantânea do bloco, v(t), é dada pela equação 5:

onde vm representa a velocidade máxima do bloco, e pode ser calculada por meio da equação 6

2.2.3. Equação horária da aceleração

A aceleração instantânea do bloco, a(t), é dada pela equação 7:

onde am representa a aceleração máxima do bloco, e pode ser calculada por meio da equação 8:

[Opcional] Demonstrações rigorosas da equação 2 podem ser vistas nos vídeos dos Professores Dr. Walter Lewin (MIT) e Dr. Peter Schulz (UNICAMP), abaixo:

2.3. Período e frequência do movimento

O período do movimento oscilatório é o tempo que o bloco leva para concluir uma única oscilação ou ciclo, e é expresso em s (segundos). No oscilador massa-mola, pode-se mostrar que o período é dado por:

Sustituindo o valor de ω da equação 3 na equação 10, obtêm-se:

Ao observar a equação 10, vê-se que o período depende apenas da massa bloco e da constante elástica da mola, ou seja, depende apenas das características construtivas do sistema massa-mola. Não importa a amplitude do movimento. Por isso, a frequência angular ω é conhecida como frequência natural de oscilações.

A frequência (f ) do oscilador é dada pelo número de oscilações por unidade tempo, e se expressa como o inverso do período:

Exemplo 1: Um bloco com uma massa de 200g é conectado a uma mola horizontal leve cuja constante de força é 5,00 N/m e está livre para oscilar sobre uma superfície horizontal, sem atrito.

    (a)  Encontre o período do movimento.

    (b)  Se o bloco for deslocado 5,00 cm de sua posição de equilíbrio e liberado do repouso, determine a velocidade máxima e a aceleração máxima do corpo. 

    (c) Expresse a posição, a velocidade e a aceleração deste corpo em função do tempo, supondo  𝜙 = 0.  

Exemplo 2: Uma partícula oscila em movimento harmônico simples no eixo x . Sua posição varia com o tempo de acordo com a equação: x(t) = (4,00m) cos(πt), onde t está em segundos.

    (a) Determine a amplitude, a frequência e o período do movimento.

    (b) Determine a velocidade máxima e aceleração máxima da partícula.

    (c) Calcule a velocidade e aceleração em qualquer tempo t.

    (d) Qual a posição, a velocidade e a aceleração da partícula para o tempo t=0?

    (e) Determine a posição, a velocidade e a aceleração para t = 1s.

2.4. Lista de exercícios

1) Discuta com seus colegas os sobre os seguintes conceitos:

• o que é MHS;

• Sistema massa-mola;

• Período, frequência angular (𝜔), frequência (f);

• O que é amplitude do movimento;

• Explique os termos das equações horárias da posição, velocidade e aceleração;

• Do que depende o período do movimento?

• O que é frequência  natural de oscilação? 

• Você conseguiria citar dois outros exemplos de MHS?

2) Uma espécie de alto-falante usado para diagnóstico médico, oscila com uma frequência de 6,7MHz. Quanto dura uma oscilação e qual é a frequência angular? (4,20.107 rad/s)

3) Em um sistema acoplado verificamos que ao puxarmos a mola por um dinamômetro da esquerda para direita com uma força de 6,0 N, este produz um deslocamento de 0,030 m. A seguir removemos o dinamômetro e colocamos uma massa de 0,50 kg em seu lugar. Puxamos a massa a uma distância de 0,020 m e observamos o MHS resultante. Calcule a constante da mola. Calcule a frequência, frequência angular e o período da oscilação. (k=200 N/m; ω=20 rad/s;  f=3,2 Hz; T=0,31 s).

4) Os amortecedores de um carro velho de 1000 kg estão completamente gastos. Quando uma pessoa de 980 N sobe lentamente no centro de gravidade do carro, ele baixa 2,8 cm. Quando essa pessoa está dentro do carro durante uma colisão com um buraco, o carro oscila verticalmente com MHS. Modelando o carro e a pessoa como uma única massa apoiada sobre uma única mola, calcule o período e a frequência da oscilação. (f=0,90 Hz)

5) Uma massa de 400 kg está se movendo ao longo do eixo x sob a influência da força de uma mola com k = 3,5x104 N/m. Não existem outras forças agindo na massa. O ponto de equilíbrio é em x = 0. Suponha que em t = 0 a massa está em x = 0 e tem velocidade de 2,4 m/s na direção positiva. Qual a frequência de oscilação, qual a amplitude  do movimento? (1,5 Hz; 0,26 m)

6) Um oscilador é formado por um bloco de massa 500 g acoplado a uma mola. O bloco é puxado e solto realizando MHS com amplitude 35,0 cm, e realizando um ciclo completo a cada 0,500 s. Determine (a) o período, (b) a frequência, (c) a frequência angular, (d) a constante elástica da mola, (e) a velocidade máxima que o bloco atinge, (f) o módulo da força máxima que a mola exerce sobre o bloco.

7) um corpo de 7,00 kg é pendurado na extremidade inferior de uma mola vertical presa a um suporte acima dela. O corpo é posto em oscilações verticais que têm um período de 2,60s. Encontre a constante de força da mola. Resp. 40,9 N/m

8) Um bloco de massa 4,00kg está suspenso por uma certa mola estendendo-se a 16 cm além da sua posição de repouso.  (a) Qual a constante elástica da mola? (b) O bloco é removido e um corpo de 0,500 Kg é suspenso pela mesma mola. Se esta for então puxada e solta, qual o período de oscilação. ((a) 250 N/m   (b) 0,28 s)

9) Determine o período, a amplitude e a frequência do movimento mostrado no gráfico abaixo:

A figura abaixo mostra a energia cinética EC  um oscilador harmônico simples em função de sua posição x. A escala vertical é definida por ES = 4, 0 J .Qual é a constante elástica? (37 mJ)