无限注德州扑克牌打听：背后的数学逻辑
盈利扑克的核心在于做出正期望值的决策，即使在情况复杂的情况下也是如此。正期望值意味着你的平均收入大于平均支出。在某些情况下，评估决策是否具有正期望值相对简单。但在其他情况下，特别是在还有很多未知变量的情况下，如尚未发牌或尚未进行下注圈时，评估是否应该跟注变得更加复杂。
David Sklansky在《扑克理论》一书中的有效赔率章节探讨了这个问题，但在这里，我们将深入探讨这个问题，并提供一个公式来量化这一决策。随后，我将解释如何利用这个公式来分析和改进你的游戏，并提供一些实例。
让我们考虑一种情况：在翻牌后，我们手中是一个听牌。对手下注，他还有筹码，因此在转牌圈可能会再次下注。我们假设如果我们不中牌，就无法获胜，并且如果没有中牌，我们会在河牌圈选择弃牌。此外，我们还假设如果我们中牌，就有机会赢得底池。在这种情况下，我们只需考虑跟注是否具有利润，而不需要考虑其他复杂的情况，如半诈唬加注。
为了确定是否应该跟注追听牌，我们需要回答两个关键问题：一是追听牌的平均支出是多少？二是打这手听牌的平均收入是多少？只有在我们的平均收入大约等于平均支出时，我们的决策才会具有正期望值。因此，在考虑这种情况下是否应该跟注时，我们必须仔细思考并回答这两个问题。
让我们首先解答第一个问题：平均支出是多少？
在追听牌的情况下，我们需要考虑两个阶段的支出：翻牌圈和转牌圈。在翻牌圈，我们必须进行跟注才能看到转牌。这个跟注所需的金额由两部分组成：对手下注的比例与翻牌圈前底池的金额乘积（我们用A表示）以及翻牌圈前底池的金额（我们用M表示）：
A × M
然后，在转牌圈，我们仍需要进行跟注才能看到河牌。在做出翻牌圈跟注的决定时，我们无法确定这个金额，因此我们只能得到他在这种情况下的平均下注数。这个平均数包括三个因素：他在转牌圈下注的频率（F）、他第一个下注时下注的比例（B），以及底池的大小（这取决于翻牌圈前的下注金额，即M+2AM）。为了计算平均支出，我们必须将这个数目乘以我们在转牌圈有支出的概率。如果我们在转牌圈中没有牌，那么我们不会有追听牌的支出。我们将这种情况的概率称为P1，因此我们在转牌圈的平均支出为：
(1 - P1) × F × B × (M + 2AM)
因此，我们追听牌的总平均支出为：
A × M + (1 - P1) × F × B × (M + 2AM)
现在，我们需要解答第二个问题：平均收入是多少？
首先，如果我们在转牌圈中抓到牌，我们将赢得翻牌圈之前的底池金额（M）以及我们和对手在翻牌圈的下注金额（2AM）。要计算我们在转牌圈的平均收入，我们必须将这个金额乘以我们在转牌圈中抓到牌的概率（P1）：
P1 × (M + 2AM)
接下来，我们考虑在河牌圈的平均收入。这包括三个因素：在转牌圈不抓到牌的概率（1-P1）、在转牌圈没有抓到牌的情况下，在河牌圈抓到牌的概率（P2），以及底池的大小，这取决于之前的下注金额（M + 2AM）以及在转牌圈的下注金额（2FB × (M + 2AM)）。因此，我们在河牌圈的平均收入为：
P2 × (1 - P1) × (M + 2AM + 2FB × (M+2AM))
因此，我们打这手听牌的总平均收入为：
P1 × (M + 2AM) + P2 × (1 - P1) × (M + 2AM + 2FB × (M + 2AM))
更准确地说，这是在对手发现我们抓到牌后，并且停止投入底池资金时的总收入。如果他无法确定自己是否被击败（通常情况下他无法确定），那么我们抓到好牌还会有一些额外的潜在收入（IM）。
公式
将上述公式整合，我们可以得到一个能够显示我们平均收益或损失的公式。为了简化公式，我将两个公式都除以翻牌前的底池大小，这样得到的数字就是底池的比例。这个公式显示的是，当我们抓到牌时，对手总是会知道，并且会选择弃牌时我们的期望值：
\[EV = P1 \times (1 + 2A) + P2 \times (1 - P1) \times (1 + 2A + 2FB \times (1 + 2A)) - A - (1 - P1) \times FB \times (1 + 2A)\]
如果期望值大于0，即 \(EV > 0\)，那么追听牌本身就是有利可图的，即使我们抓到牌后没有潜在收入也是如此。如果 \(EV = X\)，那么每手平均能赢 \(XM+IM\)。
如果期望值小于0，即 \(EV < 0\)，我们就需要在抓到牌后有一些潜在收入才能使追听牌有利可图。
如果 \(EV = -X\)，底池大小为 \(M\)，那么当我们抓到牌时，需要每手的平均潜在收入至少达到 \(XM\)。由于不抓到牌时我们显然没有任何潜在纯收入，而是在河牌圈弃牌，我们必须将这个数字除以抓到牌的可能性，从而得到当我们抓到牌时需要多大的平均潜在收入。我们将期望值的公式稍加修改，用平均收入减去平均支出，然后将这个数字除以我们抓到牌的可能性。这样就得到了当我们抓到牌时，至少需要多少平均潜在纯收入才能使我们的追听牌有利可图。
\[I = \frac{[A + (1 - P1) \times FB \times (1 + 2A) - P1 \times (1 + 2A) - P2 \times (1 - P1) \times (1 + 2A + 2FB \times (1+2A))]}{[1 - (1 - P1) \times (1 - P2)]}\]
如果 \(I = X\)，底池 \(M\)，当我们抓到牌时，需要超过 \(IM\) 的平均潜在纯收入。例如，如果 \(I = 0.72\)，底池 \(M\) 为 $100，那么当我们抓到牌后，对手每次平均需要再投注 $72 才能使我们有利可图。
让我们来探讨如何运用这个公式来分析并提升你的打牌技巧。
首先，重要的一点是你不会在实际游戏中进行这种复杂的计算。在实际游戏中，关键是理解这个公式，知道哪些因素会影响到你是否应该追听牌，以及它们如何影响：
1. **对手下注占底池比例的大小：** 如果对手在翻牌圈下注的比例很大，那么追听牌就不太划算。
2. **你在转牌圈中击中听牌的机会：** 如果你在转牌圈中击中听牌的机会很大，那么追听牌就更有利可图。
3. **对手在转牌圈下注的频率：** 如果对手在转牌圈下注的频率很高，那么追听牌就不划算。
4. **对手在转牌圈平均下注占底池比例的大小：** 如果对手在转牌圈平均下注的比例很大，那么追听牌就不划算。
5. **你在河牌圈中击中听牌的机会：** 如果你在河牌圈中击中听牌的机会很大，那么追听牌就更有利可图。
6. **你击中牌后的平均潜在收入：** 如果你击中牌后的平均潜在收入很多，那么追听牌就更有利可图。
在实际游戏中，你需要将桌上的观察与你在牌桌外的工作结合起来。在你不在桌上时，你应该利用这个公式来估算数字并分析你以前玩过的手牌。你还可以使用这个公式来计算典型情况下的数字。通过分析越多的情况，你就会越能够判断追听牌是否有利可图。
让我们用一个实例来说明如何应用这个公式进行分析。
假设你手中的牌是7h6h，在一手牌中，底池为$100，翻牌是Ah-Kh-10s。对手下注了$50，并且通常会在转牌圈持续下注半个底池。那么，为了让追听牌有利可图，你需要多少平均潜在纯收入呢？
通过公式计算得到：
\[ I = \frac{{A + (1 - P1) \times FB \times (1 + 2A) - P1 \times (1 + 2A) - P2 \times (1 - P1) \times (1 + 2A + 2FB \times (1+2A))}}{{1 - (1 - P1) \times (1 - P2)}} \]
\[ I = \frac{{0.5 + (1 - 0.191) \times 1 \times 0.5 \times (1 + 2 \times 0.5) - 0.191 \times (1 + 2 \times 0.5) - 0.196 \times (1 - 0.191) \times (1 + 2 \times 0.5 + 2 \times 1 \times 0.5 \times (1 + 2 \times 0.5))}}{{1 - (1 - 0.191) \times (1 - 0.196)}} \]
\[ I = 0.84 \]
\[ IM = 0.84 \times 100 = 84 \]
换句话说，平均来说，你需要超过$84的平均潜在收入才能让追听牌有利可图。如果你在转牌中牌，这相当于底池的42%（因为还有两个下注圈），如果你在河牌中牌，这相当于底池的21%。
如果对手在转牌时只有三次里面会下注一次，那么追听牌本身就是有利可图的。这种情况下，你不需要任何潜在收入：
\[ EV = 0.191 \times (1 + 2 \times 0.5) + 0.196 \times (1 - 0.191) \times (1 + 2 \times 0.5 + 2 \times (\frac{1}{3}) \times 0.5 \times (1 + 2 \times 0.5)) - 0.5 - (1 - 0.191) \times (\frac{1}{3}) \times 0.5 \times (1 + 2 \times 0.5) \]
\[ EV = 0.035 \]
\[ EV \times M = 0.035 \times \$100 = \$3.5 \]
值得注意的是，在你有4:1的机会下一张牌中牌时，你在翻牌圈时只得到了3:1的赔率。尽管在没有潜在收入时跟注仍然是有利可图的，但这是因为对手在下一条街的下注频率非常低。
不要用这个公式来为转牌圈错误的跟注辩护
在分析中，我们不应将这个公式用于为错误的转牌圈跟注辩护。
这个公式揭示了一个重要的事实：即使在翻牌圈的跟注本身并不划算时，通常你也应该跟注，因为转牌圈的跟注可能非常有利可图，从而使追听牌具有正期望值。
然而，这种逻辑并不适用于相反的情况。不能因为翻牌圈追听牌具有正期望值而做出无利可图的转牌跟注。即使两条街追听牌的期望值总和为正，但如果只有在翻牌圈追听牌的期望值更高，那么转牌圈的跟注仍然是不划算的。
需要明确的是，虽然在翻牌圈跟注是转牌圈跟注的先决条件，但转牌圈的跟注并不取决于是否在翻牌圈跟注。
总的来说，当你需要决定是否应该在还有多张牌没发、多个下注圈未到来时跟注时，你必须考虑到后续街道的行动。理解听牌背后的数学原理可以帮助你做出更明智的决策。