什么情况下应该咋唬

       预期回报和纯策略

       首先，让我们深入探讨扑克游戏的根本目标。我们打牌的目的是什么？当然是赢钱。准确地说，我们追求的是最大限度地赢取利润。在做决策时，我们应该询问自己，哪种行动能够带来最大的预期回报？

       在我们的案例中，如果你手中有一手可能获胜的牌，你会选择下注。在你下注之后，你的对手可能会选择跟注（y），也可能会选择弃牌（1 – y）。当对手跟注时，你将赢得当前的底池，并得到对手的跟注金额，总计为 P + B。而当对手弃牌时，你只能赢得当前的底池金额 P。（这里的“当前底池”通常指在你下注之前的底池规模。）因此，如果你手中有一手可能获胜的牌，你的预期回报 Ew （w 代表“获胜 winning”）将是：

       \[Ew = y(P + B) + (1 – y)P.\]

       然而，如果你手中的牌不利（你的听牌没有成功），情况就会更为复杂。你可能会选择继续加注（x），也可能会选择放弃这手牌（1 – x）。

       如果你选择加注，你的对手仍有可能跟注（y），或者选择弃牌（1 – y）。当对手跟注时，你将损失这次加注的金额，因此你的净回报是负数，即 –B。当对手弃牌时，你将赢得当前底池的金额 P。因此，当你选择加注时，你的预期回报由以下两部分组成：

       \[El = x[(1 – y)P – yB].\]

       如果你选择放弃（弃牌），你将不会赢得任何筹码，因此你的预期回报为零。因此，在面对一手不利的牌时，你的预期回报 El （l 代表“失败 losing”）将是：

       \[El = (1 – x)0 + x[(1 – y)P – yB].\]

       第一部分为 0，因此我们可以直接忽略，公式简化为：

       \[El = x[(1 – y)P – yB].\]

       如果你知道你的对手永远不会跟注（y = 0），你的预期回报公式将简化为：

       \[El, y=0 = xP.\]

       为了最大化你的预期回报，你必须令 x = 1，这意味着你应该始终继续加注。

       而如果你的对手总是跟注（y = 1），你的预期回报公式将变为：

       \[El, y=1 = – xB.\]

       在这种情况下，为了最大化你的预期回报，你必须令 x = 0，这意味着你永远不应该继续加注。（记住这条法则：“永远不要继续加注一个跟注站”）

       通过博弈论的方法，我们只考虑了你的最佳情况，以及知道你的对手在两种特殊情况下的策略。但是，这些情况都是极端的，因此被称为纯策略。在实际的扑克游戏中，对手的行为通常更加难以预测。他们可能会有一定的概率跟注你的下注（y 介于 0 和 1 之间）。这就是混合策略。

       最佳策略

       你的对手可以选择一个跟注频率y，这个y可以让你无论采取何种策略（也就是无论x取何值），你的预期回报都不会改变。我们用y_opt来表示这个跟注频率，在某种意义上，y_opt是y的最佳值。

       y_opt很容易计算。你可以在后面的附录中找到它的计算公式：

       \[y_opt = \frac{P}{P + B}.\]

       在我们的例子中，P = B = $100，所以y_opt = 1/2。如果你的对手有一半的时候会跟注，你就无法通过调整策略来战胜他了。如果你的对手根据y = y_opt的策略打牌，你的预期回报将会是：

       \[E_{l,y=y_{opt}} = x\left[\frac{PB}{P + B} - \frac{PB}{P + B}\right] = 0.\]

       （即将y_opt代入一般预期回报公式中）。如果x没有出现在公式中，结果也不会发生变化，仍然是0。因此，无论你选择何种策略（无论x取何值），你都无法提高或降低你的预期回报。

       有趣的是，y_opt只取决于底池大小和下注大小，而不受q的影响。这表明y_opt并不总是y的最佳值。例如，当q=1时，也就是你的对手确定你有一手获胜牌，他就不会有一半的次数跟注，实际上他根本不会跟注。他会选择使用y=0的策略。我们会在后续的内容中看到，y_opt在什么情况下才是最佳值。

       同样地，你也可以选择一个x，而无论对手选择何种策略（无论y取何值），他的预期回报都将保持不变。我们用x_opt表示这个x的特殊值。但是，求x_opt的  值会更加复杂一些，它的公式是：

       \[x_opt = \frac{qB}{(1 – q)(P + B)}.\]

       （如果你对细节感兴趣，请参考后面附录的内容）如果你经常使用会失败的牌来进行加注，对手的预期回报将是：

       \[E_{op} = (1 – q)P – \frac{qPB}{P + B}.\]

       在这个公式中没有y的存在，因此你的对手无法通过调整他的策略来改变他的预期回报。

       在我们的例子中，假设底池和下注都是$100，且q = 0.2，因此x_opt = 1/8。如果你选择的加注概率是1/8，那么即使对手再观察得再仔细，了解你的策略（知道x = x_opt），也无法在策略上战胜你。然而，如果你的加注频率高于或低于1/8，那些善于观察的对手就会发现你策略上的弱点。所以当你面对一个非常出色的对手时，x_opt 可以确保你的策略是最佳的。

       一个优秀的对手会多频繁地跟注你的下注？y_opt已经给出了答案。如果你根据x = x_opt的策略打牌，对手可以选择任何策略，但都不能提高或降低他们的预期回报。如果对手不使用y = y_opt的策略打牌，作为一个善于观察的玩家，你就可以利用他们的错误，选择最佳的回应方式。唯一不能利用对手策略上的错误的情况是对手使用的是y = y_opt，此时无论你使用何种策略，你的预期回报都不会改变。需要记住的是，如果你不使用x_opt的策略，对手也会调整策略来利用你的缺陷。

       现在我们知道了x_opt和y_opt在什么情况下才是最佳的：在它们能够提供不被对手利用的策略时。在博弈论中，这两个策略（x_opt，y_opt）被称为纳什均衡点。这在博弈论和经济学中都是非常重要的概念。（没错，就是电影《美丽心灵》中的纳什，1994年诺贝尔经济学奖的获得者）。现在我们知道它在扑克中也扮演着重要的角色。