凯利公式与下注
1. 凯利公式
在去娱乐场时，一般胜算确实很低。但是当你置身于拉斯维加斯或澳门这样的娱乐场时，是否总是想尝试一把呢？在这里，有没有一种游戏可以让你颠覆庄家，为我们的客户赢得一场胜利呢？答案是肯定的。如果你玩得好，你有很大机会击败庄家，而且这种方法是完全合法的。这个游戏就是：“二十一点”。
有一本全球畅销书叫做《战胜庄家：二十一点取胜策略》，作者是爱德华·索普，他是一位受过良好训练的数学家。在这本书中，他详细描述了战胜庄家的方法。
索普的策略基于一个简单的概念：当桌上有很多高点数的牌（比如10、J、Q、K、A）时，相对于庄家，玩家（比如你）具有统计学上的优势。玩家可以通过心算来追踪牌的分布情况，每当看到一张高点数的牌就减一分，每当看到一张低点数的牌就加一分。通过记住这些计数，当计数达到正数时，你就知道更有利的牌更可能出现了。聪明的玩家会在最佳机会出现时，下注最多。
这本书中隐含的是凯利公式投注模型。
对于凯利公式的百科解释：在概率论中，凯利公式（也称为凯利方程式）是一种用于最大化长期增长率的公式，特定赌局中的正期望值重复行为。这个公式由约翰·拉里·凯利于1956年在《贝尔系统技术期刊》中发表，它可以计算出每次游戏中应该投注的资金比例。
其中：
\( f^* \) 代表着在下一次投注中应该用于投注的资金比例；
\( b \) 代表着投注可获得的赔率；
\( p \) 代表着获胜的概率；
\( q \) 代表着失败的概率，即 \( 1 - p \)；
【概率】：指某一事件发生的可能性。
【赔率】：指在事件发生后预期的盈利与可能的亏损之间的比值，即：期望的盈利 / 可能的亏损。
举例来说，如果一场游戏有 40% 的获胜概率（\( p = 0.4 \)，\( q = 0.6 \)），而赌客在赢得赌局时可以获得二比一的赔率（\( b = 2 \)），那么赌客应该在每一次机会中下注自己现有资金的 10%（\( f^* = 0.1 \)），以此来最大化长期资金的增长率。
事实上，这个公式的作者约翰·拉里·凯利并不是一位资深的赌徒，而是一位著名的物理学家。当时他在著名的AT&T贝尔实验室中担任研究科学家，研究的方向是当时尚属新兴的电视信号传输协议。最初，他发明这个公式是为了辅助规划电子比特流量的设计，但后来却被引用到了赌博二十一点中。
当然，上述公式稍显复杂，将其用于投资以期击败市场巨头似乎有些不切实际。因此，还有一个更简洁、更优化的公式，称为凯利优化公式，更具有投资指导的意义。
2. 凯利优化公式：\[ 2P - 1 = x \]
即，成功概率 \( P \) 的两倍减去 1 等于可以用于下注的仓位。
举例来说，如果打败娱乐场的概率是 55%，你应该下注 \( 2 \times 0.55 - 1 = 0.1 \)，即 10% 的仓位。如果赢率是 70%，那么就拿出 40% 的仓位去赌。如果赢率是 50%，公式告诉你不要押注（即不要玩扔硬币游戏）。
当然，如果你知道获胜的概率是 100%，这个公式告诉你应该押上全部资金。
凯利优化公式显示，投资的仓位取决于赔率和概率之间的关系。但事实并不像表面看起来那么简单，让我们看下面这个例子：
假设让一个 5 岁的小孩和一个 15 岁的少年比赛（两者都健康），看谁能先跑完 50 米，以 10 元作为赌注。选择 5 岁小孩的若胜利，可以获得 100 元奖励（选择 A），而选择 15 岁小孩胜利的只能得到 5 元奖励（选择 B），这里赔率是 20。
但考虑到除非发生少年不慎摔倒等小概率事件，否则 5 岁小孩毫无胜算。因此，可设定 15 岁少年获胜的概率高达 99%。在这种情况下，选择 B 可以投入几乎全仓，而选择 A 应该一分钱都不投入。
可见，赔率虽然重要，但获胜概率才是最关键的因素。当获胜概率相当时，具有更好回报弹性（即赔率）的投资更有吸引力，但若获胜概率过低，那么再高的赔率也毫无意义。
上面案例中，判断 15 岁孩子能否胜过 5 岁孩子是很简单的事，但是股票市场何其复杂，所谓的获胜概率和赔率都是非常主观的判断，如果没有深入的研究，那就是在瞎猜。
因此，凯利公式不是万能的，那些钟情于凯利公式的投资者其实更应该将精力放在对获胜概率的研究上。
更好的策略是，将凯利优化公式看成是一种思维和思考方式，一种能够让你理性控制仓位的参考工具。在你准备下注时，不妨先用笔写下获胜的概率是多少，从而指导你的仓位。避免头脑发热的盲目加仓是这个公式给我们的意义。
凯利公式模型对于集中投资者是个具有吸引力的工具，不过它只能使认真运用它的人受益。但是，运用该模型要认清其三个局限：
1. 无论是否使用模型，投资者都应该做好一个长期的打算。比如选中好标的，但市场却不能及时做出反应。
2. 谨慎使用杠杆（赔率）。格雷厄姆和巴菲特都极力反对借钱投资股票（包括使用融资账户）。往往在你最需要钱的时候，反而接到意想不到的电话要求追加资金。如果你在融资融券账户中使用凯利模型，一旦遇到股市大跌，你可能被迫要卖出所有的股票，从而出局，即使你本来具有很高的成功概率 \( P \)。
3. 在玩大概率游戏时，最大的风险就是过度押注。可以使用半凯利模型。例如凯利模型告诉你使用 10% 的资金，你只用 5%。半数或部分凯利模型提供了安全边际。然而，由于凯利模型的抛物线关系，少量押注的破坏性风险总是好于过度押注。减少 50% 投资数量的半数凯利模式，仅仅减少 25% 的潜在收益。
关于概率的思考：对于数学家而言，概率降低了吗？
有一个关于数学家的故事，这位数学家经常乘坐飞机旅行，但他对于飞机上可能出现恐怖分子携带炸弹的情况感到非常担忧。因此，他做出了一个决定：每次乘坐飞机时都会自备一个炸弹。他的想法是，如果每个人都像他一样自带炸弹，那么在同一架飞机上同时出现两个携带炸弹的人的概率就会大大降低。类似的情况在第二次世界大战期间也曾发生过，士兵们在战场上选择躲入弹坑，因为根据概率来看，同一弹坑再次被炸弹命中的可能性要低得多。
3. 投资大师关于下注的言录
巴菲特说：“在你做出投资时，你应该具有这样的勇气和信念，至少将你10%的身家放在那只股票上。”
这句话清晰地表明了巴菲特对于集中投资的态度。根据他的建议，理想的投资组合不应该持有超过10只股票，因为每一只股票的仓位都应该占到总投资的10%。然而，这并不意味着简单地找到10只好公司，然后将资金均匀分配给它们。即使所有持有的股票都是好公司，一些可能具有更高的回报，因此它们应该分配更大的资金份额。
巴菲特还说：“我们所要做的全部就是，将盈利概率乘上可能盈利的数量，减去亏损概率乘上可能亏损的数量。如果我遇到一个机会，有90%的可能赚3美元，同时有10%的可能亏9美元，那么2.70美元减去0.90美元，从数学上看，我还有1.80美元的赚头。”
这段话强调了巴菲特在投资决策中所重视的概率和收益的计算。他不仅考虑到盈利的概率，还评估了盈利和亏损的潜在数量。通过对这些因素的综合考量，他能够做出更为明智的投资选择。
接下来，巴菲特指出，投资者需要考虑投资项目的时间跨度，并将其回报与其他投资项目进行比较。他以购买雅培公司股票为例，解释了如何计算潜在的回报率，并将其转化为年化回报率，以便更好地评估投资的效果。
巴菲特还承认，集中投资可能会带来一定的风险，并且愿意承担这种风险。他指出：“对于一些特定的事件，例如对冲的机会，我们绝对愿意冒一些损失金钱的风险。对于我们实在算不清楚的机会，我们就不参与了。我只参加那些我们能算清账的投资。”
1994年，芒格为南加州大学商学院的师生们做了一次演讲，演讲中，他谈到了概率和优化的思考：“模型简化了股市中所发生的事情，它就像赛马场上的赌注计算系统。如果你停下来想一想，赛马场就是股市，每个人去到那里，然后下注，赔率随着下注的变化而变化，这同样也发生在股市上。”
他继续说：“连傻子都看得出来，一匹具有良好比赛记录、负重轻、占据好位置的赛马，比那些比赛记录平平、负重沉重的赛马更具胜出优势。但是当你看到赔率时，发现好马的赔率是100:1，而一般的马赔率是3:2，那么从统计学上说，很难说押哪一匹马更有把握。价格、赔率在不断调整，所以战胜系统很难。”
当然，芒格也告诉了我们一个投资的诀窍：“对我们来说，投资等于出去赌马，我们要寻找一匹获胜几率是两分之一、赔率是一赔三的马。你要寻找的是标错赔率的赌局。这就是投资的本质。你必须拥有足够多的知识，才能知道赌局的赔率是不是标错了。这就是价值投资。”
小结
凯利公式帮助投资者用概率方法反思股票投资，运用它你将优化自己的投资方法并从中受益。想想巴菲特1988年购买可口可乐，他投入了1/3资金在其中，这样的机会难得一见；而在投资美国运通时他投入了合伙企业净值的四成。
芒格说：“当世界给予你机会的时候，聪明的投资者会出重手。当他们具有极大赢面时，他们会下大注。其余的时间里，他们做的仅仅是等待。就是这么简单。”
巴菲特也说：“当天上掉金子的时候，记得要用桶去接，而不要用顶针。”