无限注德州扑克中打听牌的数学原理
在无限注德州扑克中，打听牌（也称为“呼叫”或“跟注”）是一项重要的策略，它涉及到数学原理的运用。本文将详细解读无限注德州扑克中打听牌的数学原理，提供实用的技巧和例子
1. 打听牌的数学基础
在德州扑克中，打听牌的数学基础涉及到计算期望值（Expected Value，EV）。期望值是根据可能性和收益来确定的一个值，用来衡量每一次决策的平均预期收益。
2. 计算打听牌的期望值
计算投入的筹码：首先，计算你需要投入的筹码数量来打听牌。这通常是根据当前的底池大小和对手的下注金额来确定的。
计算预期收益：然后，计算你可能获得的收益。这包括在后续的发牌中可能形成的牌型，以及如果你形成了该牌型，可能从对手那里赢得的筹码数量。
计算期望值：最后，计算打听牌的期望值，即投入的筹码与可能获得的收益之间的比率。如果期望值为正数，说明打听牌是一个有利可图的决策。
我们来看这种情况：我们在看到翻牌后拿到听牌。对手下注，他还有筹码，所以有可能在转牌再次下注。我们假设如果我们不中牌，就没机会获胜。如果不中牌，就会在河牌弃牌。我们还假设如果我们中牌就能拿下底池。我们只要审查跟注是否有利可图，半诈唬加注不在考虑之列。
如果从做出决策起，我们的平均收入大约平均支出，那决策就有正期望值。所以要判断我是否应该用听牌跟注下注，而且还有很多牌没发，有下注圈没到来，我们必须问两个问题：“追听牌的平均支出是多少？”以及“打这手听牌的平均收入是多少？”
平均支出是多少？
我们先回答第一个问题。首先，我们要在翻牌跟注才能看转牌。这个跟注的数目包含两个部分：对手下注占底池的比例（我们在公式中称为A）乘以翻牌下注圈之前底池已经有的钱数（M）：
A x M
然后，我们要在转牌跟注才能看河牌。当我们判断是否在翻牌跟注时，我们并不知道这个数目，所以这时我们能得到的最好的就是他在这种情况下会下注的平均数。这个平均数包含三个因素：在我们所处的这个情况下，他在转牌的下注频率(F)，当他第一个下注时，他下注占底池的比例（B）以及底池的大小（这同样取决于翻牌的下注量（M+2AM）。为了得到平均支出，我们必须把这个数目乘以我们会在转牌有任何支出的可能性。如果我们在转牌中牌，我们就不会有在转牌追听牌的支出了。我们把在转牌中牌的可能性称为P1,所以我们在转牌有追牌支出的可能性为1-P1。所以我们在转牌的平均支出为：
(1 - P1) x FB x (M + 2AM)
我们追听牌总的平均支出为：
A x M + (1 - P1) x FB x (M + 2AM)
平均收入是多少？
现在我们需要回答第二个问题。如果我们在转牌中牌，我们能赢到翻牌下注圈以前的底池（M）,以及我们和对手在翻牌的下注（2AM）。要计算我们在转牌的平均收入，我们 必须把这个数目乘以我们在转牌中牌的可能性（P1）:
P1 x (M + 2AM)
我们在河牌的平均收入包含三个因素：在转牌不中牌的可能性（1-P1），转牌没中牌后在河牌中牌的可能性（P2），以及底池,这取决于之前的下注圈(M + 2AM + 2FB x (M + 2AM)。所以我们在河牌的平均收入为：
P2 x (1 - P1) x (M + 2AM + 2FB x (M+2AM)
我们打这手听牌总的平均收入为：
P1 x (M + 2AM) + P2 x (1 - P1) x (M + 2AM + 2FB x (M + 2AM))
更准确的说，这是对手发现我们中牌后，然后停止往底池投钱时的总收入。如果他不会总是知道自己已经被击败了（他通常不会知道），那我们击中手牌还有一些潜在收入（IM）。
公式
如果把上面的公式整合到一起，我们就能造一个公式来显示我们平均能赢或输多少。为了简化公式，我已经把两个公式都除以翻牌下注圈之前的底池大小，因此我们得到的数字就是原始底池的比例。这个公式显示的是，当我们中牌时，对手总会知道，然后会弃牌时我们的期望值：
EV = P1 x (1 + 2A) + P2 x (1 - P1) x (1 + 2A + 2FB x (1 + 2A)) - A - (1 - P1) x FB x (1 + 2A)
如果期望值大于0，也就是EV > 0,追听牌本身就是有利可图的。即使我们击中牌后没有潜在收入也有利可图。如果EV=X，那我们每手牌平均能赢XM+IM。
如果期望值小于0，也就是EV < 0，我们就需要在击中牌后有一些潜在收入才能令追听牌有利可图。
如果EV=-X，翻牌下注圈之前的底池大小为M，我们就需要每手牌的平均潜在收入至少达到XM。由于不中牌时我们显然没有任何潜在纯收入，会在河牌弃牌，我们必须把这个数字除以击中手牌的可能性，从而得到当我们击中牌时需要多大的潜在收入。我们把期望值的公式稍微改一下，用平均收入减去平均支出，然后用这个数字除以我们击中牌的可能性。这样就得到了当我们击中牌时，至少需要多少平均潜在纯收入才能让我们追听牌有利可图。
I = [A + (1 - P1) x FB x (1 + 2A) - P1 x (1 + 2A) - P2 x (1 - P1) x (1 + 2A + 2FB x (1+2A))] / [1 - (1 - P1) x (1 - P2)]
如果I=X，翻牌下注圈之前的底池是M，当我们击中牌时，需要超过IM的平均潜在纯收入。例如，如果I=0.72,底池M为$100，我们击中牌后，至少需要对手再往平均投$72。
如何利用这个公式来分析和提高你的打法
重要的问题来了：任何利用这个公式的只是来提高你的打法呢？
你当然没法在桌上做这个计算。在桌上时，重点是理解这个公式，知道哪些因素会影响追牌是否有利可图，以及如何影响：
1、对手在翻牌圈的下注占底池的比例越大，追听牌越无利可图
2、你在转牌击中听牌的机会越大，追听牌越有利可图
3、对手在转牌的下注频率越高，追听牌越无利可图
4、对手在转牌平均下注占底池的比例越大，追听牌越无利可图
5、你在河牌击中听牌的机会越大，追听牌越有利可图
6、你击中牌后的平均潜在收入越多，追听牌越有利可图
在桌上时，你还需要利用在牌桌外工作的成果。不在桌上时，你应该使用这个公式来估算数字和分析你打过的手牌。你还应该使用这个公式来计算典型情况的数字。你分析的情况越多，对追听牌是否有利可图的感觉就越好。
举例：
我们使用这个公式来分析一手牌：
你的牌是7h6h,底池为$100，翻牌为Ah-Kh-10s。对手下注$50,他经常在转牌持续下注半个底池。你需要多少平均潜在纯收入才能让追听牌有利可图呢？
I = [A + (1 - P1) x FB x (1 + 2A) - P1 x (1 + 2A) - P2 x (1 - P1) x (1 + 2A + 2FB x (1+2A))] / [1 - (1 - P1) x (1 - P2)]
I = [0.5 + (1 - 0.191) x 1 x 0.5 x (1 + 2 x 0.5) - 0.191 x (1 + 2 x 0.5) - 0.196 x (1 - 0.191) x (1 + 2 x 0.5 + 2 x 1 x 0.5 x (1 + 2 x 0.5)] / [1 - (1 - 0.191) x (1 - 0.196)]
I = 0.84
IM = 0.84 x 100 = 84
平均来说，当你击中牌时，需要超过$84的平均潜在收入(IM > $84)才能让追听牌有利可图。如果你在转牌中牌的话，这就是42%的底池（还剩两个下注圈），如果你在河牌中牌的话，这就是21%的底池。
如果对手在转牌时三次里面只会下注一次，追听牌本身就是有利可图的。你不需要任何潜在收入：
EV = 0.191 x (1 + 2x0.5) + 0.196 x (1 - 0.191) x (1 + 2x0.5 + 2x (⅓) x0.5 x (1 + 2x0.5)) - 0.5 - (1 - 0.191) x (⅓) x0.5 x (1 + 2x0.5)
EV = 0.035
EVxM = 0.035 x $100 = $3.5
请注意，在你有4:1的机会下一张牌中牌时，你在翻牌圈时只得到了3:1的赔率。跟注之所以在没潜在收入时仍然有利可图，是因为对手在下一条街的下注频率非常低。
不要用这个公式来为转牌圈错误的跟注辩护
这个公式显示出，在翻牌圈的跟注本身无利可图时，你通常也应该跟注，因为转牌的跟注十分有利可图，让追听牌有正期望值。
如果把情况反过来说就不是这样了。你没办法因为翻牌圈追听牌有正期望值，十分有利可图而做出无利可图的转牌跟注。如果追两条街的期望值加起来+$5，但只在翻牌圈追听牌的期望值就是+$20，那么转牌圈的跟注仍不是有利可图的。
虽然在翻牌圈跟注是在转牌圈跟注的先决条件，但在转牌圈跟注并不是在翻牌圈跟注的先决条件。
结语
当你在还有多张牌没发，多个下注圈没到来时判断是否应该用听牌跟注时，你必须估计后面街的行动。在无限注德州扑克中，打听牌涉及到数学原理的运用，主要是通过计算期望值来确定是否应该打听牌。懂得听牌背后的数学理解打听牌的数学原理可以帮助你做出更明智的决策，并在游戏中取得更大的优势。