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河牌圈玩法运用理论的最令人兴奋之处之一是，我们常常能够运用理论找到理论上的完美下注尺度。然而，在介绍和解释公式之前，最好先用一些容易理解的例子来探讨河牌圈下注尺度。即使无法得出精确的答案，预测正确的答案并检验我们的预测通常也是一个不错的主意。
举个例子，根据经验，当翻牌圈处于有利位置加注时，使用约2：1的诈唬牌与价值牌比率比较理想。但是，如果询问一个对理论了解不深的牌手，他对于加注范围中应该有多少诈唬牌，他几乎总是会认为应该减少诈唬的数量。这是因为他不理解：当还有很多下注圈可行动时，诈唬得更多是可行的。
这种信息是有用的，因为它让我们更了解特定水平的牌手的想法和打法。那些打低注额的网络牌手几乎肯定不会诈唬得足够多。这促使我们在面对加注时放弃抓诈的牌，即使在理论上我们应该更激进地进行防守。这也是理论扎实对牌手如何提高技能至关重要的原因之一。理论使得我们在面对强手时犯错更少，在面对弱手时更好地利用局势。
因此，在深入公式之前，我们先做几个预测。假设我们在河牌圈有无限的筹码深度，并且对手从不加注我们的下注。此外，假设对手会做足够的跟注，使我们的诈唬不亏不赚。由于这两个假设，位置并不是很重要，因此我们可以假设我们有时处于有利位置，有时处于不利位置。
那么，在这些假设下，一手对手击败你的牌的概率为15%时，你应该下注多少（相对于底池大小）？在你做出最佳猜测后，解出该下注尺度的期望值是一个不错的主意。你的对手会多频繁地跟注这个下注？当你被跟注后，你能多频繁地赢得底池？打好扑克需要付出努力，随着你的进步，你将更有能力回答这些问题。
在这个例子中，最优的下注尺度是0.83个底池大小，接下来我们将解释如何计算这个值。当我们下注0.83个底池大小时，我们的对手需要在54.7%的情况下跟注，才能让我们的诈唬不亏不赚。
1(1-X) – 0.83X = 0 ==> X = 0.547
这个信息对于评估我们下注后的期望值非常重要。我们的对手将在54.7%的情况下跟注，但他仅在15%的情况下能击败我们。这意味着在39.7%的情况下，他会跟注并亏损。因此，我们下注后的期望值为1.06。
1.06 = 0.453 x 1 + 0.397 x 1.83 – 0.15 x 0.83
这个期望值可以与不下注（check）的期望值进行比较。因为在85%的情况下我们会赢得底池，不下注的期望值为0.85个底池大小。
0.85 = 0.85 x 1 + 0.15 x 0
因此，通过选择完美的下注金额，相比于不下注，我们增加了0.21个底池大小的期望值。
0.21 = 1.06 – 0.85
理解下注过多或过少所犯的错误也是至关重要的。下注过多会导致我们向击败我们的牌输掉更多的钱，同时也会让对手放弃更多我们能击败的牌。尽管只要超过一半的时候能取胜就算是赢利的，但只有一半的时候取胜将导致我们的下注只比不下注稍好一点。理想的下注尺度应该使我们的下注被跟注后大多数情况下能够取胜。
而下注过少则导致我们从击败我们的牌中获得的价值太少。在这种情况下，当我们被跟注时，我们有72.6%的机会获胜，因此下注过少会导致我们失去太多从击败对手的牌中获取的价值，从而降低我们的期望值。
0.726 = 0.397 / 0.547
在这里，0.397代表着对手跟注我们并输钱的频率，而0.547则是对手跟注我们的频率。
这类练习对于发现常见漏洞非常有益。理解书面公式并不能像系统方法那样帮助我们找出当前正在犯的错误并加以纠正，因此这类练习十分重要。
接下来是一个计算河牌圈下注期望值的公式。需要注意的是，这是完全期望值，而不是相对于不下注的期望值。此外，不下注的期望值会随着我们是否处于有利位置而变化，因此以下公式无法告诉我们下注是否比不下注更好。
当面对一个希望我们的诈唬不亏不赚的理想化对手时，这个公式只需两个变量即可表示。
下注的EV = [1 – 1 /( 1+ X)] (1) + [1/(1+X) - Y] （1 + X) – (Y)(X)
在这里，X代表相对于底池的下注尺度，Y是我们失败的频率。
因为变量Y表示我们失败的频率，所以这个公式可以考虑到对手诈唬加注的能力。请记住，当对手使用平衡范围进行诈唬加注时，我们将输掉这手牌。因此，如果我们的对手在河牌圈从不加注，那么Y将是他真正击败我们的频率。但是，如果他偶尔使用平衡范围进行加注，Y也将包括诈唬加注的频率。
通过这个公式的衍生式，我们可以分析出产生最大期望值的河牌圈下注尺度（X）。实际上，Y会根据我们的下注尺度、筹码深度和底牌排除效应略有变化。也就是说，如果我们选择check或者小额下注，对手往往会更主动地下注或加注，并且更充分地利用筹码深度。然而，假设筹码深度足够深，Y值往往只受到我们下注尺度的轻微影响，因此可以将其视为一个常量。
这是唯一需要使用微积分的公式，但如果你不了解微积分也没关系。你仍然可以通过代入自己的数值来验证这个公式是否正确。如果你熟悉微积分，那么你应该能够自己推导这个公式，在Bill Chen和Jerrod Ankenman合著的《扑克的数学》一书中提供了更多数学方面的解释。
0 = 1/(1 + X)2 – 2Y 或 Y = 1/2 (1 + X)2
这里：X是相对底池大小的下注尺度，Y是我们失败的频率。
这个公式初始看起来可能有些复杂。但是幸运的是，通过一些调整，它可以简化为以下形式，并且可以用一个二次方程来解出接近完美的下注尺度。
0=1−2𝑌(1+2𝑋+𝑋2)
这是一个非常重要的公式，值得进行一些测试，以确保我们可以轻松地使用它。首先，假设我们在22%的情况下会被对手击败。我们将0.22代入Y，然后解出X值。
0 = 1 -2Y(1 + 2X + X2) ==>
0 = 1 -2* 0.22 (1 + 2X + X2) ==>
0 = 1 – 0.44(1 + 2X + X2) ==>
0 = 1 – 0.44 – 0.88X – 0.44X2 ==>
0 = 0.56 – 0.88X – 0.44X2
我们就快解出X值了。现在我们需要做的是用google在线搜索“一次二次方程计算器”，然后点击其中的一个链接。代入数值后，应该会出现下面的答案。
X = -2.51 或 0.51
因为我们使用了二次方程，通常会得到两个答案。通常来说，一个答案（负值）在扑克语境中毫无意义，剩下的那个将是正确答案。在这个例子中，由于不可能下注-2.51个底池大小，所以下注0.51个底池大小显然是正确的答案。这个下注尺度最大化了我们的期望值，使得我们在被跟注后仍然能大多数时候取胜并赢得可观的下注。
我们再试一个例子。只是这次我们假设我们在河牌圈40%的时候被打败。在解出答案前猜测一个数值是一个不错的主意，这样你就能够判断出是否你通常下注太大还是太小了。
0 = 1 -2Y(1 + 2X + X2) ==>
0 = 1 -2* 0.4 (1 + 2X + X2) ==>
0 = 1 – 0.8(1 + 2X + X2) ==>
0 = 1 – 0.8 – 1.6X – 0.8X2 ==>
0 = 0.2 – 1.6X – 0.8X2
将这些值代入二次方程式计算器，得出X的两个可能的值：-2.11或0.12。很显然，最理想的下注尺度应该是0.12个底池大小。
尽管乍看起来，当对手有40%的机会击败我们时，我们似乎应该总是下注0.12个底池大小，但这并不完全正确。如果对手只是使用跟注来防守，那么这是正确的做法。然而，当对手有可能采取check-raise的时候，我们必须更加小心。这是因为，正如之前所讨论的，这个公式无法确定在有利位置下注还是check更为合适，因为下注重新激活了行动，使得对手有机会加注。
如果对手能够激进地采取check-raise策略，那么下注0.12个底池大小可能不如选择check。这是因为，当我们本可以通过check赢得底池的时候，对手只要使用平衡的check-raise范围，我们就会输掉底池（加上我们的下注）。因此，被check-raise所诈唬将导致我们损失1.12个底池大小的资金。但是，当对手跟注我们时，我们仅能赢得0.12个底池大小的资金（有时在被跟注后我们仍然会输钱），而且这个下注通常太小，难以证明它会重新激活战斗。
这引出了一个关于下注尺度的有趣而重要的观点。通常情况下，在不利位置时，下注一个非常小的金额通常在理论上是有意义的，因为对手不能重新激活下注。但是，当对手有一个平衡的check-raise范围时，在有利位置采取相同的小额下注很少是最佳策略。这是因为对手用较差的牌跟注所赢得的微薄收益无法证明值得冒被check-raise的风险。换句话说，对手采取的check-raise策略越激进，我们就越应该随后选择check。因为下注会导致我们频繁地输掉底池。
在这里需要提及的另一个重要观点是，当筹码量相对较浅且全压是一种选择时，这个公式并不能很好地判断在不利位置是否应该下注。这是因为，在我们选择全压后，对手没有机会再加注，通过使用少量的资金全压，我们迫使对手用更广泛的范围跟注。实际上，有时即使在我们的牌面可能被对手范围中超过一半的牌（在他跟注之前）击败的情况下，在不利位置选择全压也是正确的。因此，当筹码量相对较浅时，使用这个公式来确定下注尺度是不准确的。但在打牌过程中理解在第十一节“对比在有利位置和不利位置的河牌圈全压”中已经讨论过的概念是非常重要的。
我们的底牌排除了一些可能影响对手跟注、加注和弃牌频率的牌。换句话说，不论我们手中的牌是什么，对手不可能总是以相同的频率根据我们的下注尺度来跟注。这种效应会根据我们的底牌和公共牌结构的不同而以不同的方式影响到对手的牌组范围。
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