德州扑克条件概率及贝叶斯定理

       条件概率（conditional probability）是指在另一事件已经发生的条件下，某一事件发生的概率。假设有A和B两个事件，“在B条件下发生A的概率”P(A｜B)表示事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。公式表示为：P(A|B) = P(AB)/P(B)。

       例如：一名非常紧的牌手翻前在前面位置加注。他拿到AA的概率有多大？

       解答：发到AA的概率是1/221，但这个常识并未利用我们获得的所有信息，即这名紧手玩家选择用加注在前面位置入局，而不是跟注或弃牌。

       简单地说，假设你认为这名紧手玩家的范围只有强牌JJ+和AK，即1326种底牌组合中的40种组合，而且这名牌手总是用其中一手牌加注。现在我们可以使用条件概率公式来计算——已知他在前面位置加注后，他拿到AA的概率。

       P（发到AA | 前面位置加注）

       = P(发到AA及前面位置加注) / P(前面位置加注)

       = P(发到AA) / P(前面位置加注)

       = (6/1326) / (40/1326)

       = 6/40

       = 15%

       同理，我们可以计算出：已知那名紧手玩家在前面位置加注且我们拿着A♠ T♠时，他拿到AA的概率是9.1%。除了条件概率公式外，还有一种叫做贝叶斯定理的公式。

       贝叶斯定理的用途是：如果我们能够相对简单地估算出右边的所有概率项，我们就可以用这个公式估算出我们希望确定的左边的条件概率。贝叶斯定理的公式表示为：P(A|B) = P(B|A) x P(A)/P(B)。

       例2：你在劫位（hijack）用KK加注，而小盲玩家则守盲。你更可能在A-A-T翻牌面还是A-T-3翻牌面遇到对手拿着A的情况？如果你被check-raise，你应该如何估算你的底牌的牌力变化？

       解答：相比A-A-T翻牌面，A-T-3翻牌面存在更多Ax组合。为了简化问题，我们将对手的翻后范围限定于三种有代表性的底牌：AQ、QJ和JT。

       在A-A-T翻牌面，存在8种AQ、12种JT和16种QJ组合，因此你将在8/36=22%的时候会遇到对手拿着A的情况。而在A-T-3翻牌面，存在12种AQ和JT组合以及16种QJ组合，因此你将在12/40=30%的时候遇到对手拿着A的情况。尽管你不希望在翻牌中看到一张A，但如果翻牌中存在两张A，那么你的对手拿到一张A的可能性将减少。

       如果你在A-T-3翻牌面被check-raise，贝叶斯定理告诉你，你应该考虑对手用每一种类型的牌对你check-raise的可能性。

       P（对手拿着AQ | 对手check-raise）

       = P(对手check-raise | 对手拿着AQ) x P(对手拿着AQ)/P(对手check-raise)

       我们假设你认为某人拿着AQ将在2/3的时候check-raise，而拿着JT将在1/3的时候check-raise，拿着QJ将在1/3的时候check-raise。这意味着你被将8种AQ组合，4种JT组合，4种QJ组合，即总共40种组合中的16种组合check-raise。将这些数据代入贝叶斯定理进行计算：

       P(对手AQ|对手check-raise) = (8/12) x (12/40) / (16/40) = 1/2

       我们可以看出，对手16手check-raise牌中的8手是AQ，因此，当我们被check-raise时，一半的时候我们将遇到AQ。即使所有这些组合都有可能性，但AQ的条件概率很高是因为你的对手更可能用AQ而不是QJ或JT去游戏。因此，当你想根据给定的扑克行动知道对手拿到某一手牌的频率时，贝叶斯定理根据你的对手将用那手牌如何行动的频率，为你提供这个信息。