短牌德州的数学

       我最近频繁听到一种名为短牌德州（Short Deck）的新型扑克游戏。与标准德州扑克类似，短牌德州使用更少的牌组，即移除了所有2到5之间的牌。最低的顺子为A-6-7-8-9。有些短牌德州的变体修改了手牌的排名，最显著的变化是同花变得大于葫芦。

       第一次听说短牌德州时，它似乎会对许多牌手基于标准无限德州扑克构建的直觉形成新的扑克数学挑战。因此，我首先想探讨的是扑克数学在这种变体中发生了哪些变化。

       假设你手中有10♥ 9♥。让我们比较一下在标准德州扑克和短牌德州中，翻牌圈出现顺子和同花的概率分别是多少。

       在标准德州扑克中，听牌的计算方式如下：

       一旦你拿到自己的两张底牌，牌堆中剩余50张牌。三张公共牌将在翻牌圈发出，因此有50选3种可能的翻牌组合。根据计算，总共有19600种可能的翻牌组合。

       要在翻牌圈拿到同花听牌，你需要翻出其中两张是剩余11张红桃牌的，而第三张则是剩余39张非红桃牌中的一张。因此，这个结果是11选2乘以39。11选2等于55，所以总共的同花听牌组合数为2145。将这个数字除以总共的翻牌组合数，你将得到约为11%的概率，即翻牌圈拿到同花听牌的可能性。

       要在翻牌圈拿到两端顺子听牌，你需要翻出QJ、J8或87，并搭配一张无关的牌。QJ有16种可能的组合方式，加上J8和87各自的16种，总共有48种组合方式。

       如果我们假设无关的牌不包括那些能组成完整顺子的牌，那么每一种48种组合方式中，就有40种可能的无关牌。这样一来，总共就有1920种可能的顺子听牌翻牌组合。将这个数字除以总共的翻牌组合数，你将得到约为10%的概率，即翻牌圈拿到顺子听牌的可能性。

       在短牌德州中，听牌的计算如下：

       一旦你拿到自己的两张底牌，牌堆中剩余34张牌，因此有34选3 = 5984种可能的翻牌组合。

       牌堆中只剩下7张红桃牌，所以你有7选2乘以27 = 567种可能的翻牌组合可以组成一副同花听牌。将567除以5984，得到约为9.5%的概率，即在翻牌圈拿到同花听牌的可能性。相比之下，在标准德州扑克中翻牌圈拿到同花听牌的概率约为11%，因此在短牌德州中这一概率略低一些。

       至于翻牌圈的两端顺子听牌，你仍然有48种可能的组合方式可以翻出QJ、J8或87，但此时只有24张无关的第三张牌。这使得总共有1152种顺子听牌的翻牌组合，约占所有翻牌组合的19%。因此，在短牌德州中翻牌圈拿到顺子听牌的概率要比标准德州扑克高很多。

       在标准德州扑克中，完成听牌的概率可以用以下方式计算：

       对于同花听牌，有9张可以完成听牌的补牌。总共有47选2 = 1081种可能的转牌和河牌组合。因此，有38张牌不会帮助你完成听牌，你有38选2 = 703种方式错过听牌。这意味着，你有约65%的概率错过同花听牌，因此完成同花听牌的概率约为35%。

       对于顺子听牌，有8张可以完成听牌的补牌。总共有47选2 = 1081种可能的转牌和河牌组合。因此，有39张牌不会帮助你完成听牌，你有39选2 = 741种方式错过听牌。这意味着，你有约68.5%的概率错过顺子听牌，因此完成顺子听牌的概率约为31.5%。

       转牌和河牌总共有31选2 = 465种可能的组合。对于同花听牌来说，有5张可以完成听牌的补牌。因此，有26张牌不会帮助你完成听牌，你有26选2 = 325种方式错过听牌。这意味着，约70%的情况下你会错过同花听牌，因此你完成同花听牌的概率约为30%。

       对于顺子听牌来说，有8张可以完成听牌的补牌。因此，只有23张牌会阻止你完成听牌，你有23选2 = 253种方式错过听牌。这意味着，在约54.5%的情况下你会错过顺子听牌，因此你完成顺子听牌的概率约为45.5%。

       总结来说，在短牌德州中，同花听牌的完成概率较低，大约为30%，而顺子听牌的完成概率则相对较高，约为45.5%。这使得顺子听牌比同花听牌更容易完成。

       翻牌圈暗三条

       在短牌德州中，翻牌圈击中暗三条的概率也有所变化。我们可以用计算完成听牌概率的方法来推算这个概率。在标准德州扑克中，你有48选3 = 17296种方式不能组成暗三条。这意味着大约88%的翻牌组合(17296/19600)不会形成暗三条，因此翻牌圈拿到暗三条的概率约为12%。

       在短牌德州中，你有32选3 = 4960种方式不能组成暗三条。将这个数字除以5984种可能的短牌德州翻牌组合，你有83%的概率不能击中暗三条，因此翻牌圈拿到暗三条的概率约为17%。

       最终思考：

       我不知道有多少人会迅速转向短牌德州。这种游戏在少数地区流行，并且主要出现在超高注的现金桌上。我认为它之所以开始受欢迎的一个原因是，它挑战了你根深蒂固的扑克直觉。

       如果你长时间打德州扑克，你会对完成特定牌型的概率非常熟悉。通过无数次的游戏经验，你能够凭直觉在许多情况下做出正确的决策。

       短牌德州与许多这样的直觉截然相反。完成基本牌型的概率有显著差异，因此手牌的价值也不同。半诈唬和抓诈唬的情况也不同。阻挡牌在某些情况下变得更加重要。

       这种游戏的颠覆总是奖励最优秀的牌手。那些能够快速调整策略的人通常能够胜出，因为他们能够独立分析情况，而不仅仅依赖于直觉。进行本文中的数学计算正是这个过程的一部分。