メモ集

メモ集です。

距離空間の幾何

• 長さ構造 

• ヴィタリの被覆補題 

• 三角不等式の一種 :0<p<1, d(x, z)≦d(z, y) ⇒ d^p(x, y) ≦ pd^p(x, z) + d^p(z, y)

• 有限個の点と開いたヒンジの存在 

• 測度が定める距離 

• 一様非凸性とメンガー凸性 :車輪の再発明

• 間の点に関する基本補題 

• 開球の中心になるかどうかについて :車輪の再発明

• 同じ位相を定める距離 

• プロパー距離空間は完備 

距離空間上の解析

• 距離空間の集合の容量 

• 実数値関数のメジアン 

Gromov-Hausdorff distance

• 距離空間の間の距離

• 二つの距離空間の貼り合わせ

• 対応集合とグロモフハウスドルフ距離と近似写像

測度集中

• 球面における測度集中 

• プロホロフ距離 

• カイファン距離の定義 

• カイファン距離とプロホロフ距離の関係 

概ユークリッド切断

• 楕円体の球面切断 

距離空間の埋め込み

• 距離空間のヒルベルト空間への等長埋め込み :d^2が条件付き負ならばヒルベルト空間に等長に埋め込める. Assaf Naor, Metric Embeddings and Lipschitz Extensions, 2015. 

• 距離空間のsupノルムを備えた数列空間への等長埋め込み:フレシェ埋め込み. Assaf Naor, Metric Embeddings and Lipschitz Extensions, 2015. 

• 4点閉路グラフはユークリッド空間に等長埋め込み不可能 

• コンパクト距離空間のバナッハ埋め込み定理 

• D-埋め込みの定義 :適当にスケールすると双リプシッツに埋め込めるとき.

アレクサンドロフ空間(≧κ)(非負曲率空間)

• LSS不等式 

A. Petrunin, 5-point Toponogov theorem, 2022.

CAT(κ)(非正曲率空間)

• CAT(0)の2四角不等式による特徴づけ 

Lipschitz拡張

• 非線型ハーンバナッハ拡張定理 : Assaf Naor, Metric Embeddings and Lipschitz Extensions, 2015. 

Snowflake

• 1未満のsnowflake

• snowflake条件 

• どこまでsnowflakingできるか 

• かんたん2snowflake条件 

• 一様非凸性とsnowflake

• 一様線型非凸性とsnowflake 

超距離空間

• 超距離空間は距離空間 :maxを絶対値で表さなくても明らかに従う. 

• 完全グラフは超距離空間 

• 超距離空間の球の任意の点は中心 :逆も成り立つことが, "超距離空間の開球の中心による特徴づけ" にかいてる. 

• 非有界な超距離空間 

• 超距離空間の3点は長い方の二等辺三角形である 

• 超距離空間の開球の中心による特徴づけ 

ℓ1ユークリッド空間

凸解析

• Johnの楕円体定理(中心対称な場合) 

• メンガー凸性と測地性 : 固有距離空間においては, メンガー凸⇔測地的. A. Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, 2014.

• 凸性とl1測地的凸性と直交凸性 

マグニチュード

• 対称連続関数の正と負のタイプについて 

• 2点距離空間のpマグニチュード 

• 1-良い射影 

• 区間のマグニチュード 

• ボックスのマグニチュードとl1内在的体積 :l1ユークリッド空間のボックス

• 区間と区間の和のマグニチュード 

• 単調増加関数のグラフのマグニチュード(解決済)

• マグニチュードが有限でないコンパクト正定値距離空間 :(要修正)

• ウェイトを超関数とみなせるか

• 弱ウェイトという言葉を使いたい:弱ウェイトより広義ウェイトの方がよいかも.

• ウェイトはなんならソボレフ空間に属する

• というかウェイトはソボレフ空間と一致する:ヒルベルト空間の稠密性の直行性による特徴づけから

• 結局Zをどう定義すればよいか

• Zはあるソボレフ空間への全射

• 弱ウェイトとの内積が変わらないとき

• 標準ウェイトと0ウェイトとの内積

• 類似度写像とエネルギー

• マグニチュードのsupによる特徴づけ

• マグニチュードのinf による特徴づけ:弱ウェイトで計算した量の下限になる

• ウェイトが満たす微分方程式:★

付値(valuation)

• 束の生成 

• 直交凸体上の単調かつ平行移動不変な付値は連続 

熱

• 熱核が熱方程式の解であることの証明(ユークリッド空間) 

• コンパクト多様体上の熱方程式

ラプラス作用素

• ニュートンポテンシャルとポアソン方程式 

• ラプラス作用素と平均値の性質 

• 柱状領域の最大値原理 :熱方程式の劣解は放物型境界上に最大値をとる. 

• 反応拡散方程式の比較原理 

フーリエ解析・超関数・関数空間

• 微分のフーリエ変換: F(Tf)を考えるときは, fをF^{-1}F(f)に書き直すとよかったりする. 

• デルタ関数のフーリエ変換 

• 急減少関数 

• フーリエの反転公式 

• 可積分関数のフーリエ変換は有界かつ連続 :反転公式から, フーリエ変換がL1ならもとの関数が有界連続になる. 

• フーリエ変換の可積分性とソボレフ空間 :コーシーシュワルツで無理やりソボレフノルムの項を作る.

• 滑らかでない関数への微分のおしつけはできるか 

• 超関数の同値な定義に関する命題

• 超関数の空間の位相

• 超関数はいつ測度であるか

• 超関数としての収束と測度としての弱収束および漠収束

• 領域上の分数階ソボレフ空間 :命題1.8修正が必要.

• 緩増加超関数のフーリエ変換 

• 超関数の微分のフーリエ変換

• 多項式増大と緩増加超関数 

• 開集合上のコンパクト台をもつ滑らかな関数

• 斉次超関数とf.p. 

• 超関数における境界値

• 超関数の台

• 超関数の軟化子

• 帯域制限超関数

• 局所テストと同値な条件 

• ソボレフ空間のノルムの同値性 

• R^n上のソボレフ空間と近似ソボレフ空間は一致する 

• カットオフもソボレフ空間に属するか 

• 非負整数階ソボレフ空間と微分によるノルムの同値性

• ソボレフ空間の双対性

• 多項式増大度について 

• 超関数の特異台 

• 変形ソボレフ空間

• ベゾフノルム

• B(0,p,q)とLpは近い

• コンパクト台をもつ関数の原点における積分表示 

• ユークリッド空間の地面のトレース作用素

• ソボレフ空間における関数の拡張の定義 

• 非負整数微分ソボレフ空間の拡張作用素 

擬微分作用素

• 擬微分作用素まわりの記号

• 多重指数と微分

• シンボル

• シンボル漸近展開

• 擬微分作用素の積のシンボル公式

関数解析

• 有界線型拡張定理 

• Gelfand-Mazurの定理(体である単位的可換バナッハ環は複素数体と同型) 

• 再生核ヒルベルト空間のデルタ関数による特徴づけ 

• ガウスRKHSのフーリエ変換による表示 

• ヒルベルト空間の部分空間の稠密性

• 強圧性とヒルベルト空間における稠密性

測度論

• コルモゴロフ拡張定理 

• 確率測度の正則性 :正則, 内部正則, 外部正則, 緊密など. 

• 回転群と運動群のハール測度 :回転群のハール測度の具体的構成.

• 測度の弱収束と漠収束の定義 

• 密度関数が各点収束するならば弱収束する 

• 測度に付随するハーン分解と測度の変動 

解析に関わる不等式

• 正則性に関連する不等式1 

変数変換

• 積分の変数変換 -First Aid Kit-: Area formula, Co-area formula. 

線形代数

• 双線形写像(付け焼き刃コース) :鬼滅の付け焼き刃.

• 次元の異なるベクトル空間のあいだの線型写像のヤコビアン 

数理経済学

• 経済学のための最適輸送入門

• 複数財オークション超入門 

確率論

• コルモゴロフの連続修正定理

• ブラウン運動の1次変分と2次変分 

• 確率変数列の収束 

• 法則収束  :法則収束(分布収束)の定義のメモ.

• 確率論における独立性の定義 : 定義のメモ

位相

• 収束部分列をもつコーシー列は収束列 

• セミノルム位相 :内容に(即座に訂正できる程度の)明らかな誤りありなので注意.

• 有限補集合位相 :第一可算公理を満たさない空間の例.

• 第一可算公理と点列連続と連続 

• ネットによる連続写像の特徴づけ :第一可算公理を満たさない一般の空間に使う.

• セミノルムは劣線型 

• ユークリッド空間と固有距離空間 

• 実数直線に無限遠点を二つ足す 

• TVSにおけるコーシー列

連結性

• 和と共通部分が連結性ならばそれぞれ連結

集合

• 有理数と順序 

• 同値関係かつ順序関係 

• 順序集合において上界の下限は上限 

• 集合の近傍の補集合の近傍 

• リプシッツ領域

微分積分

• 縮小写像の原理 

• 単調な加法的関数は線型である 

• 単調な関数の不連続点の個数 

• ヒルベルト空間上の写像のgradの定義 

• 球対称な関数と可積分性

複素解析

• コーシー=リーマン関係式

• 複素微分はxかyの微分だけでよい

• 複素積分の定義

• 正則関数の積分表示(コーシーの積分公式)

• 
  

モース理論

• 曲面におけるモースの補題 

• モース関数の存在 

• 臨界値を含まない水位上昇は微分同相 

微分幾何

• 二次接束 プチメモ

• ヤコビ場メモ1:未完成. 

• 局所等長写像と被覆 

• 接ベクトルの局所表示 

• ユークリッド空間の向きを保つ微分同相は恒等写像とイソトピック 

• 部分多様体の曲率 

接続

• 接続の局所表示と構造方程式 

• 誘導接続 

• 局所等長写像が測地線を保存することの証明 

• 等長写像が接続を保存することの証明 

基本群

• 基本群と基点の取り替え 

• 円周の基本群 

• 次元の異なるユークリッド空間の基本群による識別 

多様体論

• 可測集合の座標ありdisjoint分割 

• 3次元球面から2次元球面へのホップ写像の定義 

CW複体

• CW複体の定義 

• 実射影空間の胞体分割 

代数トポロジー

• 分裂する短完全系列の双対 :も分裂する短完全系列.

• 射影加群は自由加群の直和因子 :pdfには一方向しか書いていないが, 実際には必要十分である.

常微分方程式

• ODE初期値問題の局所的な解の存在と一意性 

古典力学

• 文系のための数学のための古典力学のための数学 

ただの計算

• 1-tの平方根 

代数学

• グロタンディーク群の定義 

グラフ理論

工事中

その他リンク

• 連続関数のグラフはルベーグ測度0

• コーシーの主値積分とアダマール正則化 

• 弱微分と超関数微分の強弱関係 :弱微分は$v ¥in L_loc^1$ の元で部分積分を満たすもの. 

便宜上の造語

• 非負実部複素数:Re z ≧ 0 である複素数. 

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