pmc3

studio di funzione

geometria analitica dello spazio

punto nello spazio

retta nello spazio

piano nello spazio

posizione reciproca di due rette nello spazio

retta per due punti nello spazio

piano per tre punti nello spazio

posizione reciproca di una retta e di un piano

figure nello spazio

perpendicolarità nello spazio

retta perpendicolare ad un piano

piano assiale

perpendicolarità tra due rette nello spazio

punti medi nello spazio

angolo diedro

piano perpendicolari

parallelismo nello spazio

parallelismo tra piani

distanza di un punto da un piano

parallela ad una retta passante per un punto nello spazio

proiezione di una retta su un piano

angolo tra una retta e un piano

angolo tra due rette sghembe

prisma indefinito

prisma definito

parallelepipedo

parallelepipedo rettangolo

angoloide

piramide nello spazio

piramide e retta

piramide regolare

tronco di piramide

apotema di una piramide retta

solidi di rotazione

cilindro proprietà del

cono e tronco di cono proprietà del

sfera proprietà della

segmento sferico

zona sferica

spicchio sferico

settore sferico

solidi inscritti

poliedri

poliedri convessi

poliedri regolari proprietà dei

tetraedro

cubo

ottaedro, icosaedro, dodecaedro

Definizione di massimo, minimo, estremo inferiore, estremo superiore, minorante, maggiorante di un insieme. Rappresentazioni degli intervalli (con le parentesi, in notazione algebrica, mediante rappresentazione grafica). I simboli di più infinito e meno infinito (insieme R ampliato).

Intorni: intorno completo, sinistro, destro, intorno di meno e più infinito.

Punti di accumulazione. Teorema dell’esistenza dell’estremo inferiore o superiore (senza dim.) e di Bolzano-Weirestrass (senza dim.)

Funzioni principali: lineare, quadratica, potenza, irrazionali, esponenziale, logaritmica, goniometrica, goniometrica inversa,

Classificazione di funzioni (algebriche, trascendenti, intere, frazionarie, razionali, irrazionali).

Dominio e immagine di funzioni lineari, quadratiche, potenza, radicali, esponenziali, fratte, radicali, logaritmi, esponenziali, goniometriche dirette e inverse.

Studio del segno di funzione, in particolare di funzioni lineari, quadratiche, fratte o fattorizzate, goniometriche dirette e inverse, logaritmiche ed esponenziali. Rappresentazione nel piano cartesiano del segno di una funzione.

Punti di intersezione con gli assi.

Immagine, massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore di una funzione.

Funzioni (superiormente|inferiormente) o del tutto limitate.

Andamento di una funzione (crescenza/decrescenza) strette o in senso lato.

Analisi dal grafico e rappresentazione degli intervalli di monotonia di una funzione.

Funzioni pari, dispari e periodiche (definizione ed individuazione di tali proprietà)

Condizione di invertibilità e funzioni inverse. Relazione tra il grafico di una funzione e la sua inversa. Determinazione di una funzione inversa; invertibilità delle restrizioni di funzioni globalmente non invertibili.

Funzioni composte: date f(x) e g(x) saper ricavare l’espressione delle funzioni composte f(g(x)) e g(f(x)).

Limiti di funzioni

Nozione intuitiva di limite: lettura di grafici e rappresentazione corretta dei limiti individuati: limite finito quando x tende a un valore finito, limite finito quando x tende a un valore infinito, limite infinito quando x tende a un valore finito, limite infinito quando x tende a un valore infinito. Limite sinistro e limite destro.

Definizione rigorosa di limite (analitica e grafica):

- limite finito quando x tende a un valore finito,

- limite finito quando x tende a un valore infinito,

- limite infinito quando x tende a un valore finito,

- limite infinito quando x tende a un valore infinito.

Asintoti verticali ed orizzontali per una funzione.

Definizione di continuità in un punto e globale.

Continuità delle funzioni elementari.

Grafici e limiti delle funzioni elementari (potenza, radice, esponenziali, logaritmiche, goniometriche)

Algebra dei limiti:

caso dei limiti finiti: limite di somma o differenza di funzioni, limite del prodotto di funzioni, limite del rapporto tra funzioni (senza dimostrazioni).

caso di operazioni tra limiti nei quali uno o due di loro siano infinito: somma o differenza, prodotto, quoziente; forme indeterminate: più infinito meno infinito, zero per infinito, infinito su infinito, zero su zero

Risoluzione di limiti attraverso il teorema di De L’Hopital

Risoluzione numerica di limiti a mente o con la calcolatrice.

Limiti di funzioni razionali fratte (risoluzione di forme di indecisione del tipo infinito su infinito, sia a livello intuitivo che mediante raccoglimento del termine di grado massimo).

Limiti notevoli:

per x tendente a zero di sin(x)/x (no dim.)

per x tendente a più o meno infinito di (1+1/x)^x (no dim.)

per x tendente a più o meno infinito di (1+k/x)^x (no dim.)

Funzione infinita o infinitesima, confronto tra infiniti o infinitesimi e ordine di infinito o infinitesimo.

Successioni e serie

Definizione di successione e suo grafico. Successioni definite ricorsivamente.

Definizione rigorosa di successione limitata (inferiormente | superiormente | del tutto ).

Definizione rigorosa di successione monotona (inferiormente | superiormente | del tutto ).

Progressioni aritmetiche e geometriche, loro ragioni,termini generali e somme.

Definizione rigorosa di successione convergente o divergente.

Teorema di permanenza del segno per le successioni.

Teorema del confronto per le successioni.

Esistenza del limite per successioni monotone.

Serie numerica: definizione mediante il termine generale.

Convergenza o divergenza di una serie numerica.

Serie telescopiche e loro limite.

Serie geometriche e loro limite.

Continuità

Definizione di continuità in un punto.

Definizione di funzione continua.

Punti singolari e loro classificazione: singolarità eliminabili, salti o singolarità di prima specie, singolarità di seconda specie.

Teorema di esistenza degli zeri e loro ricerca col metodo di bisezione.

Teorema di Weierstrass (senza dimostrazione)

Asintoti obliqui: esistenza e calcolo dell’asintoto obliquo.

Grafico probabile di una funzione

Derivate

Costruzione grafica di retta secante e di retta tangente ad una funzione e definizione di derivata come coeff. angolare della retta tangente nel limite di delta x tendente a zero.

Definizione di derivata in un punto come limite del rapporto incrementale.

Calcolo della derivata di una funzione in un punto in base alla definizione (casi semplici: retta, parabola).

Derivata sinistra e destra di una funzione: condizione di continuità in un punto senza derivabilità.

Relazione tra derivabilità e continuità di una funzione in un punto.

Derivata n-ma di una funzione.

Derivata delle funzioni elementari: costante, retta, potenza (anche a esponente reale), di funzione esponenziale e logaritmica, seno e coseno.

Linearità della derivata.

Derivata di combinazioni lineari di funzioni.

Derivata del prodotto di due funzioni.

Derivata del quoziente di due funzioni. Derivata delle funzioni tangente e cotangente.

Derivata della funzione composta.

Derivata della funzione inversa.

Derivata delle inverse delle funzioni goniometriche: D arcsin x ; D arccos x ; D arctan x ; D arccot x .

Formule generalizzate ottenute in base al teorema di derivazione delle funzioni composte.

Classificazione e studio dei punti di non derivabilità:

punto angoloso

cuspide

flesso a tangente verticale

Applicazioni geometriche del concetto di derivata:

equazione della retta tangente ad una curva in un punto.

le derivate nel tempo e lo studio del moto

Teoremi sulle funzioni derivabili

Punti di massimo e di minimo relativi ed assoluti.

Teorema di Fermat (senza dim.)

Definizione di punto stazionario.

Teorema di Rolle (senza dim.)

Teorema di Lagrange (senza dim.)

Funzioni crescenti e decrescenti e criteri per l’analisi dei punti stazionari.

Ricerca dei punti di estremo relativo mediante lo studio del segno della derivata prima: punti di minimo, di massimo, di flesso orizzontale ascendente e di flesso orizzontale discendente.

Ricerca di massimi e minimi di funzioni derivabili.

Ricerca di massimi e minimi di funzioni non derivabili.

Analisi dei punti stazionari in base alla derivata seconda.

Funzioni concave e convesse (definizione in base alla retta tangente).

Criterio di concavità e convessità per le funzioni derivabili.

Definizione di punto di flesso in relazione alla concavità.

Flesso obliquo, flesso orizzontale e flesso verticale.

Punti a derivata seconda nulla ma non di flesso.

Teorema di Cauchy (senza dim.)

Teorema di de l’Hopital (senza dim.).

Integrali indefiniti

Definizione di primitiva.

Primitiva passante per un punto.

Definizione di integrale indefinito.

Integrali immediati: costante, potenza diversa da -1, reciproco di x, sin x, cos x, 1/[cos(x)]^2 ,

1/[sin(x)]^2, e^x, a^x, 1/(1+x^2), 1/√(1-x^2)

Linearità dell’integrale indefinito.

Integrazione per scomposizione

Integrazione di funzioni composte.

Integrazione per sostituzione.

Integrazione per parti.

Integrazione di funzioni razionali frazionarie:

abbassamento di grado mediante divisione con resto

denominatore di primo grado

denominatore di secondo grado con discriminante positivo

denominatore di secondo grado con discriminante nullo

denominatore di secondo grado con discriminante negativo (e il numeratore è un numero)

denominatore di secondo grado con discriminante negativo (e il numeratore è di primo grado)

denominatore di grado superiore al secondo

Integrali definiti

Integrale come somma di Riemann. Interpretazione geometrica dell’integrale definito come area algebrica.

Linearità dell’integrale definito.

Primo teorema fondamentale del calcolo integrale.

Calcolo delle aree comprese tra una funzione e l’asse delle ascisse.

Calcolo dell’area della regione limitata dal grafico di due funzioni.

Calcolo di volumi.

Calcolo del volume di un solido di rotazione.

Integrali impropri.

La funzione integrale.

Teorema del confronto

Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale.

Le equazioni differenziali

Equazioni differenziali del primo ordine.

Equazioni differenziali a variabili separabili.

Problemi di Cauchy.

Equazioni differenziali del secondo ordine.

Equazioni differenziali del secondo ordine non omogenee; integrali particolari di funzioni polinomiali, esponenziali del tipo he^(kx),goniometriche del tipo h sin(kx) o h cos(kx).

Distribuzioni di probabilità

Variabile aleatoria discreta, distribuzione di probabilità di variabile discreta,media, varianza e deviazione standard.

Giochi equi, favorevoli o sfavorevoli.

Processo di Bernoulli, distribuzione Binomiale,

La distribuzione geometrica.

Distribuzione di Poisson, sua media, varianza e deviazione standard.

Variabile aleatoria continua, distribuzione di probabilità di variabile continua, media, varianza e deviazione standard.

Distribuzione uniforme: media, varianza e deviazione standard.

Distribuzione esponenziale: media, varianza e deviazione standard.

Distribuzione normale: media, varianza e deviazione standard.

Funzione di ripartizione.