ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

HMEΡΟΛΟΓΙΟ

1ο μάθημα: Συναρτησοειδή

2ο μάθημα: Γραμμικοί χώροι με νόρμα, παράγωγοι συναρτησοειδών

3ο μάθημα: Εξίσωση Euler-Lagrange

4ο  μάθημα: Αρχή Ηamilton

5ο  μάθημα: Ισοπεριμετρικά προβλήματα

6ο & 7o  μάθημα: Μετασχηματισμός Laplace

8ο  μάθημα: Ασκήσεις κεφ.3

9ο & 10o  μάθημα: Μετασχηματισμός Fourier

11o  μάθημα: Νόμοι διατήρησης. Εξίσωση θερμότητας. Μικτό πρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών.  Μοναδικότητα.

12o  μάθημα: Σειρές Fourier. Προβλήματα Sturm-Liouville. Λύση της εξίσωσης θερμότητας σε φραγμένο διάστημα.

13o  μάθημα: Προβλήματα Sturm-Liouville. Λύση αντίστοιχων ΜΔΕ β' τάξης σε φραγμένο διάστημα.

14ο  μάθημα:  Εξίσωση Laplace

15ο  μάθημα: Ασκήσεις κεφ.3

16ο & 17o  μάθημα: Ολοκληρωτικές εξισώσεις.

18ο  μάθημα: Ασκήσεις κεφ.4

19ο  μάθημα:  Συναρτήσεις Green

20o μάθημα (3ωρο): Κατανομές

21ο  μάθημα (3ωρο): Ασκήσεις κεφ.4 & Κατανομές

22o μάθημα (3ωρο): Κατανομές σε πολλές διαστάσεις  και ΜΔΕ

23ο & 24o μάθημα: Ασκήσεις κεφ.5

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Logan κεφ.3

1.1, 1.2, 2.2, 2.5, 2.6, 2.10, 2.14, 3.1, 3.3, 3.4

5.1, 5.3, 5.4, 5.8, 5.10, 5.13, 6.1, 6.2, 6.3, 6.5

Logan κεφ.4

5.1, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 2.1, 2.2, 2.3, 2.5, 4.1 (α,β)

3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 4.1(ε), 4.3, 4.6, 4.8

Logan κεφ.5

1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.6, 1.8, 1.14, 2.1, 2.2, 2.4

2.7, 3.3, 3.4, 3.8, 3.9, 3.11, 4.1, 4.2, 4.3, 4.6

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΕΙΣ

24/1 

11.30 Δρετάκη

1 Τριανταφύλλου

5 Aχλαδιανάκης

25/1

11.30 Κοκοτσάκης

1 Xhixho

2.30 Tσεκμεζόγλου - Χαραλάμπους

ΥΛΗ

• Μοντέλα Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων: Εισαγωγικές έννοιες. Εξισώσεις διάχυσης (νόμοι διατήρησης, καταστατικές εξισώσεις, η εξίσωση θερμότητας). 

• Εξισώσεις ισορροπίας (η εξίσωση του Laplace, ολοκληρωτικές ταυτότητες). 

• Αναπτύγματα σε ιδιοσυναρτήσεις (το πρόβλημα των ιδιοτιμών για διαφορικούς τελεστές, η μέθοδος του Fourier). 

• Ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί (Laplace, Fourier).

 • Λογισμός Μεταβολών 

• Μεταβολικά Προβλήματα. Συναρτησοειδή. Παραδείγματα. Υπενθυμίσεις των συνθηκών μεγίστου-ελαχίστου πραγματικών συναρτήσεων μίας και περισσοτέρων πραγματικών μεταβλητών. 

• Γραμμικοί χώροι με νόρμα. Παράγωγοι συναρτησοειδών. Πρώτη Μεταβολή. Αναγκαίες συνθήκες για ακρότατα. 

• Το απλούστατο πρόβλημα. Εξίσωση Euler. Γενικεύσεις σε συναρτησοειδή με παραγώγους υψηλότερης τάξης, σε συναρτησοειδή με πολλές συναρτήσεις και με συναρτήσεις περισσοτέρων μεταβλητών.

 • Προβλήματα πολλαπλών ολοκληρωμάτων. Φυσικές συνοριακές συνθήκες. 

• Χαμιλτονιανή θεωρία. Το αντίστροφο πρόβλημα. 

• Ισοπεριμετρικά προβλήματα. 

• Η δεύτερη μεταβολή. Μία ικανή συνθήκη για ακρότατο. 

• Το πρόβλημα Sturm-Liouville. 

• Oλοκληρωτικές εξισώσεις

• Συναρτήσεις Green

• Κατανομές και αντίστοιχες λύσεις ΜΔΕ

Βιβλιογραφία:

J. D. Logan, Εφαρμοσμένα Μαθηματικά, Πανεπιστημιακές Eκδόσεις Κρήτης, 2002.

L. C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd edition, AMS, 2010.

I. Stakgold, Boundary Value Problems of Mathematical Physics, SIAM 2000.