多項式数学セミナーは、多項式に関連した数学に関する研究成果を発表して頂くセミナーです。多項式という極めてシンプルな物を中心にしていますので、講演内容は代数・代数幾何・トポロジー・表現論・組合せ論など多岐にわたります。
Venue: Ito Campus, Kyushu University
Organisers：Takuro Abe, Junyan Chu, Shizuo Kaji, Koji Nuida, Hiroyuki Ochiai
第１６回
Speaker：Kaoru Yamamoto (Kyushu University)
Date. : 6 Feb. 2025（Thu）16:30 — 18:00
Venue : W1-C715, Ito campus
Title：Bounded disturbance amplification in mass chains
Abstract：
This talk addresses the problem of control in systems comprising a chain of N identical masses connected through intermass displacement controllers, with an additional connection to a movable point. Motivated by applications such as the seismic design of multi-storey buildings and the control of vehicle platoons, the study examines scalar transfer functions that relate external disturbances to specific inter-mass displacements. By representing these transfer functions using complex iterative maps, we develop a powerful framework for analysing system behaviour. This approach identifies conditions under which the H-infinity-norm of the transfer functions remains bounded as N increases, providing valuable insights for designing scalable and robust interconnected systems.
第１５回
Speaker：Sohei Tateno (Nagoya University)
Date. : 2 October, 2024（Wed.）16:00 — 17:30 (Japanese time, and end time can be flexible)
Venue : W1-C715, Ito campus
Title：Iwasawa theory for weighted graphs
Abstract：Iwasawa theory for graphs describes the asymptotic behavior of the numbers of the spanning trees in a compatible system of $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$-covers of graphs, where $p$ is a fixed prime number. In this talk, we will generalize Iwasawa theory for graphs to that for weighted graphs, and this allows us to estimate the behavior of the weighted complexities instead of the numbers of spanning trees. Depending on how we set the weights on graphs, the information we can extract from weighted complexities changes. Our generalization contains theories on compatible systems of $(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^d$-covers including Kida’s formula, which is the Iwasawa theoretical analogue of the Riemann—Hurwitz formula. We also provide several examples. We will start explaining historical backgrounds of Iwasawa theory and rudimentary theories of graphs without being overly pedantic. This is a joint work with Taiga Adachi and Kosuke Mizuno.
第十四回
Speaker. : Hisatoshi Kodani (Kyushu University)
Date. : 25 January, 2024（Thur.）16:00 — 17:00 (Japanese time, and end time can be flexible)
Venue : W1-C715, Ito campus
Title: Integral invariants for framed 3-manifolds associated to trivalent graphs possibly with self-loops
Abstract: Chern--Simons perturbation theory is one of the ways to extract topological invariants of 3-manifolds
from Chern--Simons gauge theory.
In the theory, topological invariants are given by integrations of differential forms associated with trivalent graphs.
After reviewing mainly Bott--Cattaneo and Cattaneo--Shimizu’s works which are variants of the theory,
I will explain our results which state that the latter invariants can be defined using only trivalent graphs without self-loops.
This talk is based on joint work with Bingxiao Liu.
第十三回
Speaker. : Eric Rubiel Dolores Cuenca (Pusan National University)
Date. : 21 December, 2023（Thur.）15:30 — 17:00 (Japanese time, and end time can be flexible)
Venue : W1-C715, Ito campus & Zoom
Zoom ID : 829 6779 5975
Passcode : 1729
Title: Riffle shuffles between a series-parallel poset and a linear order.
Abstract: Let <n> be the linear order 1<2<...<n. The riffle shuffle of cards
defines a binary operation (<n>,<m>) -><n+m>. In this talk we
describe three ways to extend the riffle shuffle of linear orders to a
shuffle on the pair (T,L) where T is a series parallel poset and L is
a linear order.
For a given series parallel poset, and any of these three shuffles,
there is a polynomial f_i, i=1,2,3, such that f_i(n) is the number of
shuffles between the poset and <n>. Using operad theory and sets with
negative number of elements we compute the generating functions of
f_1, f_2 and f_3, they are called shuffle series.
Our work introduces a new order series and our results are applied to
the study of the tensor product of operads of trees.
第十二回
** 今回は講演者２名です **
Date : 2023年11月28日（火）13:30 — 14:30, 15:00 — 16:00
Venue : 伊都キャンパス W1-C715 セミナー室
Speaker. : 前原 将太 氏 (九州大学大学院マス・フォア・イノベーション連係学府)
Title: B_2型の二次元多重配置の指数，及び対数的ベクトル場のなす加群の基底について
Abstract: ベクトル空間中の超平面の有限個からなる集合を超平面配置と呼ぶが，さらに超平面配置の拡張として，多重配置という概念がある．多重配置に対して，超平面配置のときと同様にして対数的ベクトル場のなす加群という代数的な対象(次数付き加群)が考えられている．この加群が自由加群か否かによって自由性という性質が定義されており，特に，自由なときは斉次な基底が取れ，その次数の組という形で指数という概念がwell-definedに定義される．
代数的に定義された超平面配置の自由性が組合せ論的に決まるか，というのは解決すべき大きな問題の一つであるが，超平面配置の自由性は多重配置の指数と関係していることが分かっており，この意味で多重配置の研究は重要な意味を持つと考えられる．しかし，多重配置の指数に関しては，二次元の場合に関してさえ解決していない事も多い．
本講演では，多重配置の定義と二次元多重配置に関するいくつかの定理を簡単に紹介した後に，現在分かっていないもののうち，ある意味で最も簡単な例であるB_2型の配置について，いくつかの場合に対数的ベクトル場の加群の基底を明示的に与え，それによっていくつかの指数が決定される事を簡単な証明を交えて示す．
本講演の主定理は，北海道大学の沼田泰英氏との共同研究である．
Speaker. : 石橋 裕也 氏 (九州大学大学院数理学府)
Title: 自由配置のorthogonal dual
Abstract: 超平面配置とはベクトル空間中の超平面の有限集合である。私は超平面配置の代数的側面、特に対数的ベクトル場について研究している。対数的ベクトル場が自由加群となる時、その配置は自由配置と呼ばれる。
Joseph P.S. Kung氏、Hal Schenck氏により定義されたorthogonal dualは、本質的な超平面配置から新たに得られる配置である。自由配置のorthogonal dualの対数的ベクトル場の射影次元は高くなる傾向にあることが、両氏の論文の中で触れられている。
本講演では、超平面の枚数がある程度多い自由配置のorthogonal dualの対数的ベクトル場に関する結果を共有する。
第十一回
Speaker. : So Yamagata (Fukuoka University)
Date. : 2 November, 2023（Thu.）16:00 — 17:00 (Japanese time, and end time can be flexible)
Venue : W1-C715, Ito campus & Zoom
Zoom ID : 853 8312 9993
Passcode: 1729
Title: A braid monodromy presentation for the pure braid group
Abstract: In 1891, Hurwitz introduced the (pure) braid group as the fundamental group of the configuration space of points in the complex plane.
Later, in 1925, Artin studied its algebraic and geometric perspectives. In particular, he gave a presentation of the braid groups, which is now recognized as a standard one.
He also studied the pure braid group and gave its presentation. However, it is much more complicated than the one of the braid group.
Thus, there is nothing better than to have a simple to look and intuitive presentation of the pure braid group.
In my talk, even though there's no new presentation, we connect two different approaches to the pure group: from group theory and from hyperplane arrangement.
Firstly, we introduce a "lexicographic section'' of the braid arrangement, and give a presentation of the fundamental group of its complement using the braid monodromy technique.
Then, show that the resulting presentation coincides with the modified Artin presentation given by Margalit--McCammond.
If I have time, I also generalize the construction to the Manin--Schechtman arrangement MS(n,k), a generalization of the braid arrangement.
In particular, we give a presentation of π_1(C^5 \ MS(5,2)), which is the simplest and nontrivial example of the Manin--Schechtman arrangements.
第十回
Speaker. : Benoît Guerville-Ballé
Date. : 10 Octorber, 2023（Tue.）16:00 — 17:00 (Japanese time, and end time can be flexible)
Venue : W1-C715, Ito campus & Zoom
Zoom ID : 853 8312 9993
Passcode: 1729
Title: Connectivity and combinatorial interplay in the moduli space of line arrangements
Abstract:
The purpose of the talk is to explore the topology of the moduli space of line arrangement via a combinatorial approach. In the first part, we investigate combinatorial classes of arrangements whose moduli space is connected. We introduce the notion of arrangements with a rigid pencil form. It ensures the connectivity of the moduli space and is less restrictive that the class of C3 arrangements of simple type. In the last part, we obtain a combinatorial upper bound on the number of connected components of the moduli space.
第九回
Speaker:Junyan CHU (Kyushu University)
Date : 7 September, 2023（Thu）15:00～
Venue : W1-C715, Ito campus & Zoom (ID: 853 8312 9993, Pass: the "taxi number")
Title : Degrees of the logarithmic vector fields for close-to-free hyperplane arrangements (slides&codes)
Abstract: A hyperplane arrangement A is a finite set of linear hyperplanes in a vector space K^l, where K is a field. The graded module D(A) of the logarithmic vector fields consists of polynomial vector fields over K^l tangent to A. An arrangement A is said to be free if D(A) is a free module. The degrees of a homogeneous basis of the free module D(A) are called the exponents of A. The famous factorization theorem asserts that the characteristic polynomial of the intersection lattice of a free arrangement A completely factors into linear polynomials over the integers, and the roots of the polynomial are the exponents of A. This motivates us to study the degrees of minimal homogeneous generators of the module D(A) and their connections with combinatorics.
In the first part of the talk, we will discuss a complete classification of the free arrangements in the three-dimensional real vector space with exponents of the form (1,3,d) for some d≥3.
To analyze the relationship between algebraic and combinatorial structures, we often consider the interplay between adding and deleting hyperplanes in an arrangement. The arrangement in which one hyperplane is deleted from a free arrangement has been extensively studied by Takuro Abe. In the second part of the talk, we will turn our attention to the algebraic structure of a new class of hyperplane arrangements obtained by deleting two hyperplanes from a free arrangement. We compute the degrees of minimal homogeneous generators of D(A). In particular, the degrees are determined solely combinatorially for three-dimensional arrangements.
We present illustrative examples that show our result’s strength and provide insights into the relation between algebraic and combinatorial properties for close-to-free arrangements.
第八回
講演者：山口 徹 氏（九州大学）
日時 ：2022年12月2日（金曜日）14時半～15時半
場所 ：D725セミナー室（対面）
タイトル：超平面配置のfree pathについて
アブストラクト：
超平面配置とはベクトル空間中の超平面の有限集合であり、その対数的ベクトル場のなす加群が自由加群となるような超平面配置を特に自由配置と呼ぶ。
自由配置において、ある自由配置から超平面を一枚除去した配置については研究が進んでおり、その構造についても多くのことが明らかとなっている。その一方で、複数枚の超平面を除去した配置についてはあまり研究が進んでいないのが現状である。
そこで本講演では、そうした研究の足がかりとなる、自由性を保つように複数枚の超平面を除去する道（free path）に関するLukas Kühne氏による予想を紹介し、それに証明を与えることとする。
第七回
講演者：橋本 晟弘 氏（九州大学）
日時 ：2022年12月2日（金曜日）13時～14時
場所 ：D725セミナー室（対面）
タイトル：グラフ配置の射影次元について
アブストラクト：
超平面配置とはベクトル空間中の超平面の有限集合である。その研究には、代数・代数幾何・組合せ論など様々な手法が用いられてきた。私が研究しているのは超平面配置の代数的側面、特に対数的ベクトル場のなす加群周辺に限るが、それだけでも非常に興味深い問題が数多く存在する。
本講演では有限単純無向グラフ(以下グラフと呼ぶ)に対応する超平面配置(グラフ配置と呼ぶ)の対数的ベクトル場のなす加群の射影次元に関する研究を紹介する。射影次元0の配置に関しては寺尾の加除定理を中心として現在まで非常に多くの研究がなされてきたが、射影次元1以上、特に2以上の配置に関してはあまり進展がないのが現状である。その数少ない結果をいくつか共有するのが本講演の目的の1つである。
講演内容としては、第一章で少しグラフと超平面配置に関する導入をした後、第二章で射影次元1のグラフに関する研究を、第三章で射影次元2以上のグラフに関する研究を紹介する。
第六回
講演者：森山 哲裕 氏（九州大学）
日時 ：2020年9月11日（金曜日）10時半～12時
場所 ：オンライン開催（zoom利用）
タイトル：空間データおよび行列の特徴抽出と強調について
アブストラクト：
画像データなどの空間データの特徴量の抽出手法や特徴の強調に関する研究は従来からある。たとえば、画像の画素値を実数値関数とみなし、その2回微分を使ったラプラシアンを用いる手法がよく知られている。2回微分を使う他の方法として、ヘシアンの負（または正）の固有値の数（Hessian index）の分布を用いる方法も知られており、これはたとえば医用画像解析における動脈瘤の検出に有効である。しかしHessian indexからは、荒い数値（データ空間の次元以下の非負整数値）の分布しか得られないため、データの種類や解析の目的によっては十分な特性が得られない場合がある。ここでは、Hessian indexを連続化し精緻化するひとつの手法を提案する。
この手法は、有限距離空間のmagnitude（点の個数の連続化）のアイデアをヒントにして導入した。また別の背景として、行列や線形写像について、その次元やランク以外に、その（たとえば力学的な）機能を象徴するような別の「大きさ」「個数」の概念ははないだろうか、という疑問があった。今回の提案では、行列を対称行列と歪対称行列に分解し、それらの固有値に着目する。さらに2回微分以外の値をパラメータとして用いて連続化（magnitude化）することによって、有意な精緻化を試みる。今後は、提案手法の評価・改善などを通じて、たとえば力学的な観点やグラフトポロジー的な観点の特徴を抽出・強調等できる新しい手法の提供につながることを期待している。
第五回
講演者：阿部 拓郎 氏（九州大学）
日時 ：2020年2月10日（月曜日）10時～12時
場所 ：九州大学伊都キャンパスウェスト一号館C716
タイトル：超平面配置の対数的ベクトル場入門I（全三回から四回の予定）
アブストラクト：
超平面配置とはベクトル空間中の超平面の有限集合である。その起源はワイル群、特に対称群の鏡映の鏡映面の集合の研究であり、そこに限っても群論・（不変式）環論・特異点論・トポロジー・ルート系・表現論・組合せ論など様々な研究分野・手法とつながりを持つ。超平面配置はこのワイル群の群をなくして超平面の有限集合として一般化したものと考えられ、起源に沿って代数・代数幾何・トポロジー・組合せ論・特異点論・表現論など様々な手法を用いた研究がなされている。超平面配置の研究は手法ではなく目的であるため、手法に拘る必要はなく、むしろこれらの手法の交差・交流が興味深い研究対象である。
本講演では講演者が専門としている超平面配置の代数的側面、特に対数的ベクトル場について導入的な講演を行う。対数的ベクトル場は端的に言えば与えられた超平面に接するような多項式ベクトル場全体のなす次数付き加群であり、射影空間上の層と捉えることも可能である。この加群が自由である場合、対応する配置を自由配置と呼ぶが、このとき自由基底の次数を指数とよび、上記ワイル群から定まるワイル配置の場合を考えると、これも自由でワイル群の指数と一致することがわかる。よって自由配置は指数が定義できるという意味でワイル配置の正当な一般化であり、寺尾の分解定理を通してワイル群とその指数が持っていたいくつかの組合せ論あるいはトポロジーの性質が自由配置にも反映されている事がわかる。このような事情、及び講演者らによる対数的ベクトル場と正則冪零Hessenberg多様体のコホモロジー環の記述理論の進展などもあって、超平面配置の対数的ベクトル場は本分野の中心的な研究対象である。
第一回講演では、基本事項と定義の確認、自由性の判定法である斎藤の判定法などを導入したあと、シンプルながらまだまだ問題が多く残っている三次元配置と二次元多重配置に興味を絞って解説する。いくつかの未解決問題も提示しつつ、具体例及びMacaulay2などを用いた計算例も紹介することで、本分野研究に向けた入門的な講演としたい。
第四回
講演者：縫田 光司 氏（東京大学）
日時 ：2020年1月22日（水曜日）10時～11時半
場所 ：九州大学伊都キャンパスウェスト一号館C716
タイトル：多項式と秘密計算
アブストラクト：
秘密計算とは暗号技術の一種であり、複数の主体がそれぞれ入力を持ち寄って何らかの計算（平均値の計算、値の大小比較、等々）を行いたいときに、入力そのものは互いに隠したまま必要な計算結果のみを得られる技術である。その代表的な構成手法の一つにおいては、まず加減算と乗算を（すなわち、整数係数の多項式の値を）計算できるようにして、それを部品としてより広いクラスの関数の計算を実現することが多い。そのため、目的の関数の計算をいかに効率的に多項式計算に帰着させるかが重要となり、その際に整数論、群論、組合せ論といった数学諸分野の知見が活用されることも少なくない。本発表では、こうした秘密計算と多項式に関する（話者らの研究も含めた）既存研究および今後の研究課題について概説する。
第三回
講演者：巴山 竜来 氏（専修大学）
日時 ：2020年1月8日（水曜日）10時～11時半
場所 ：九州大学伊都キャンパスウェスト一号館C716
タイトル：擬凹旗領域のサイクル連結性
アブストラクト：
半単純複素リー群が作用する旗多様体を考えるとき，その実形による軌道で開部分集合となるようなものは旗領域と呼ばれる．旗領域は擬凸か擬凹の2種類に分類できることが最近のHuckleberry氏，Latif氏との共同研究で分かった．擬凸旗領域はおおよそHermite対称領域のようなもので，古典的によく知られているが，擬凹旗領域については分かっていないことが多い．松木対応により旗領域は極大コンパクト群の軌道となるコンパクト複素多様体(サイクル)を含むが，擬凹旗領域はこのサイクルに関する性質が関連している．本講演ではサイクル連結性と呼ばれる性質に注目し，ワイル群の組み合わせ論との関連性について考える．
第二回
講演者：村井 聡 氏（早稲田大学）
日時 ：2019年5月29日（水曜日）15時～16時半
場所 ：九州大学伊都キャンパスウェスト一号館D725
タイトル：対称群の作用で固定される単項式イデアルのシチジーの振る舞いについて
アブストラクト：
ここ10年程の間に無限変数多項式環のイデアルで無限次元対称群の作用で固定されるイデアルの研究に興味が持たれており、代数統計、可換環論、表現論などの立場から色々な研究が行われている。そのようなイデアルから有限変数多項式環のイデアルで対称群の作用で固定されるものの鎖が自然に作られるが、可換環論の分野で興味が持たれている問題の一つは、そのような鎖を考えた時にイデアルの代数的不変量の漸近的な振る舞いを知ることである。この講演ではイデアルが単項式で生成される場合に、高次のシチジーの生成元の次数の漸近的な振る舞いについて考える。
第一回
講演者：長岡 高広氏（京都大学）
日時 ：2019年5月14日（火曜日）13時半～16時
場所 ：九州大学伊都キャンパスウェスト一号館D725
タイトル：強レフシェッツ性と概均質ベクトル空間の関係
アブストラクト：強レフシェッツ性とはコンパクトKahler多様体のコホモロジー環が持つ代数的な性質を一般のArtin Gorenstein環に対して考えたものである. 近年, 組合せ論や可換環論の文脈で強レフシェッツ性の研究が盛んになっているが, その中で講演者は矢澤明喜子氏(信州大)との共同研究で有限グラフに付随する環を考え, それが次数1のところで強レフシェッツ性(より強くHodge--Riemann関係式)を持つことを示した．その証明の際に鍵となったのはその環が概均質ベクトル空間の相対不変式と関係するという観察に基づいていた. 本講演ではこの観察に基づき, 一般の概均質ベクトル空間の相対不変式について同様の議論, さらに次数1以上のところでの強レフシェッツ性との関係性について考えたい.