Трапеції

Трапеція — це чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не паралельні.

Паралельні сторони називаються основами трапеції, а дві інші боковими сторонами

Також, трапецією називається чотирикутник, у якого одна пара протилежних сторін паралельна, але сторони не рівні між собою.

• Основи трапеції - паралельні сторони

• Бокові сторони - дві інші сторони

• Середня лінія - відрізок, що з'єднує середини бокових сторін.

• Рівнобедрена трапеція - трапеція, у якої бокові сторони рівні

• Прямокутна трапеція - трапеція, у якої одна із бокових сторін перпендикулярна основа

Основні властивості трапеції

1. В трапецію можна вписати коло, якщо сума довжин основи рівна сумі довжин бокових сторін:

AB + CD = BC + AD

2. Середня лінія трапеції розділяє навпіл будь-який відрізок, який з'єднує основи,а також ділить навпіл діагоналі:

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Середня лінія трапеції паралельна основам і рівна їх півсумі:

m =2

a + b

4. Точка перетину діагоналей трапеції і середини основ лежать на одній прямій.

5. В трапеції бокову сторону видно із центра вписаного кола під кутом 90°.

6. Кожна діагональ в точці перетину ділиться на дві частини з таким співвідношенням довжини, як співвідношення між основами:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

7. Діагоналі трапеції d₁ і d₂ пов'язані зі сторонами співвідношенням:

d₁² + d₂² = 2ab + c² + d²

Сторона трапеції

Формули визначення довжин сторін трапеції:

1. Формула довжини основ трапеції через середню лінію та іншу основу:

a = 2m - b

b = 2m - a

2. Формули довжин основ через висоту та кути при нижній основі:

a = b + h · (ctg α + ctg β)

b = a - h · (ctg α + ctg β)

3. Формули довжини основ через бокові сторони та кути при нижній основі:

a = b + c·cos α + d·cos β

b = a - c·cos α - d·cos β

4. Формули бокових сторін через висоту та кути при нижні

Середня лінія трапеції

Означення. Середня лінія - відрізок, що з'єднує середини бокових сторін трапеції.

Формули визначення довжини середньої лінії трапеції:

1. Формула визначення довжини середньої лінії через довжини основ:

m = 2

a + b

2. Формула визначення довжин середньої лінії через площу та висоту:

m = S

Висота трапеції

Формули визначення довжин висоти трапеції:

1. Формула висоти через сторону та прилеглий кут при основі:

h = c·sin α = d·sin β

2. Формула висоти через діагоналі та кути між ними:

h =sin γ ·

d₁ d₂

sin δ ·

d₁ d₂

a +b

3. Формула висоти через діагоналі, кути між ними та середню лінію:

h =sin γ ·

d₁ d₂

sin δ

2m

4. Формула висоти трапеції через площу та довжини основ:

h = 2S

a + b

5. Формула висоти трапеції через площу та довжину середньої лінії:

h = S

m

Діагоналі трапециї

Формули визначення довжин діагоналей трапеції:

1. Формули діагоналей за теоремою косинусів:

d₁ = √a² + d² - 2ad·cos β

d₂ = √a² + c² - 2ac·cos β

2. Формули діагоналей через чотири сторони:

d₁ = √

d ² + ab -

a(d ² - c²)

d₂ =

√

c² + ab -

a(c² - d ²)

√

d ² + ab -

a(d ² - c²)

d₂ =

√

c² + ab -

a(c² - d ²)

√

d ² + ab -

a(d ² - c²)

3. Формула довжини діагоналей через висоту:

d₁ = √h² + (a - h · ctg β)² = √h² + (b + h · ctg α)²

d₂ = √h² + (a - h · ctg α)² = √h² + (b + h · ctg β)²

4. Формула довжини діагоналей через суму квадратів діагоналей:

d₁ = √c² + d ² + 2ab - d₂²

d₂ = √c² + d ² + 2ab - d₁²

Площа трапеції

Формули визначення площі трапеції:

1. Формула площі через основи та висоту:

S =(a + b)2

2. Формула площі через середню лінію та висоту:

S = m · h

3. Формула площі через діагоналі та кут між ними:

S = sin γ

d₁d₂sin

4. Формула площі через чотири сторони:

S = a + b

5. Формула Герона для трапеції:

S =

a + b

√(p - a)(p - b)(p - a - c)(p - a - d)

|a - b|

де

p =

a + b + c + d

- півпериметр трапеції.

2

Периметр трапеції

Формула визначення периметра трапеції:

1. Формула периметра через основи:

P = a + b + c + d

Описане коло навколо трапеції

Коло можна описати лише навколо рівнобедреної трапеції!!!

Формула визначення радіуса описаної навколо трапеції кола:

1. Формула радіуса через сторони та діагональ:

R =

a·c·d₁

4√p(p - a)(p - c)(p - d₁)

де

p =

a + c + d₁

2

a - більша основа

Вписане коло в трапецію

В трапецію можна вписати коло, якщо сума довжин основ рівна сумі довжин бокових сторін:

a + b = c + d

Формула визначення радіуса вписаного в трапецію кола:

1. Формула радіуса вписаного кола через висоту:

r =

h

2

Інші відрізки різносторонньої трапеції

Формули визначення довжин відрізків, що проходять через трапецію:

1. Формула визначення довжин відрізків, що проходять через трапецію:

KM = NL =

b

KN = ML =

a

TO = OQ =

a · b

2

2

a + b