Tema: Sumatorias

1. Introducción a las Sumatorias

• Objetivo: Comprender el concepto de sumatorias y su notación, así como su aplicación en matemáticas.

• Definición: Una sumatoria es la operación de sumar una serie de números. Se utiliza comúnmente para representar la suma de una secuencia de términos, que puede ser finita o infinita.

2. Notación de Sumatorias

• Notación: La sumatoria se denota utilizando el símbolo Σ\SigmaΣ.

• Forma general: ∑i=mnai=am+am+1+am+2+…+an\sum_{i=m}^{n} a_i = a_m + a_{m+1} + a_{m+2} + \ldots + a_ni=m∑n​ai​=am​+am+1​+am+2​+…+an​

  • Donde iii es el índice de la sumatoria, mmm es el límite inferior y nnn es el límite superior, y aia_iai​ son los términos a sumar.

3. Ejemplos de Sumatorias

• Ejemplo 1: Calcular la sumatoria de los primeros 5 números enteros: ∑i=15i=1+2+3+4+5=15\sum_{i=1}^{5} i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15i=1∑5​i=1+2+3+4+5=15

• Ejemplo 2: Calcular la sumatoria de los cuadrados de los primeros 4 números enteros: ∑i=14i2=12+22+32+42=1+4+9+16=30\sum_{i=1}^{4} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30i=1∑4​i2=12+22+32+42=1+4+9+16=30

4. Propiedades de las Sumatorias

• Propiedad de Linealidad: ∑i=mn(ai+bi)=∑i=mnai+∑i=mnbi\sum_{i=m}^{n} (a_i + b_i) = \sum_{i=m}^{n} a_i + \sum_{i=m}^{n} b_ii=m∑n​(ai​+bi​)=i=m∑n​ai​+i=m∑n​bi​

• Suma de Constantes: ∑i=mnc=c⋅(n−m+1)\sum_{i=m}^{n} c = c \cdot (n - m + 1)i=m∑n​c=c⋅(n−m+1) donde ccc es una constante.

• Cambio de Índice: Si j=i+kj = i + kj=i+k, entonces: ∑i=mnai=∑j=m+kn+kaj−k\sum_{i=m}^{n} a_i = \sum_{j=m+k}^{n+k} a_{j-k}i=m∑n​ai​=j=m+k∑n+k​aj−k​

5. Fórmulas Comunes de Sumatorias

• Suma de los primeros nnn números naturales: ∑i=1ni=n(n+1)2\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n + 1)}{2}i=1∑n​i=2n(n+1)​

• Suma de los cuadrados de los primeros nnn números naturales: ∑i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}i=1∑n​i2=6n(n+1)(2n+1)​

• Suma de los cubos de los primeros nnn números naturales: ∑i=1ni3=(n(n+1)2)2\sum_{i=1}^{n} i^3 = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2i=1∑n​i3=(2n(n+1)​)2

6. Ejercicios Prácticos

• Ejercicio 1: Calcular la sumatoria de los primeros 10 números naturales:
  ∑i=110i\sum_{i=1}^{10} ii=1∑10​i

  • Solución: 10(10+1)2=55\frac{10(10 + 1)}{2} = 55210(10+1)​=55.

• Ejercicio 2: Calcular la sumatoria de los cuadrados de los primeros 5 números:
  ∑i=15i2\sum_{i=1}^{5} i^2i=1∑5​i2

  • Solución: 5(5+1)(2⋅5+1)6=55\frac{5(5 + 1)(2 \cdot 5 + 1)}{6} = 5565(5+1)(2⋅5+1)​=55.

• Ejercicio 3: Calcular la sumatoria de los términos 3i3i3i desde i=1i = 1i=1 hasta i=4i = 4i=4:
  ∑i=143i\sum_{i=1}^{4} 3ii=1∑4​3i

  • Solución: 3⋅∑i=14i=3⋅10=303 \cdot \sum_{i=1}^{4} i = 3 \cdot 10 = 303⋅∑i=14​i=3⋅10=30.

7. Aplicaciones de las Sumatorias

• Análisis de Algoritmos: Las sumatorias se utilizan para analizar la complejidad temporal de algoritmos, especialmente en algoritmos recursivos.

• Física y Estadística: Se utilizan en fórmulas para calcular promedios, varianzas y otras medidas estadísticas.

8. Prueba de Concepto

• Cuestionario: Plantear preguntas sobre las propiedades de las sumatorias y la aplicación de fórmulas.

• Ejercicio de práctica: Proporcionar funciones diversas para que los estudiantes practiquen el cálculo de sumatorias y apliquen las propiedades y fórmulas discutidas.

Conclusión

• Las sumatorias son herramientas fundamentales en matemáticas, permitiendo simplificar la notación y calcular sumas de términos en diversas aplicaciones.

• La práctica constante con diferentes sumatorias y la comprensión de sus propiedades ayudarán a los estudiantes a dominar este concepto y aplicarlo efectivamente.

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