Tema: Matrices

1. Introducción a las Matrices

• Objetivo: Comprender el concepto de matrices, su notación, operaciones y aplicaciones en matemáticas.

• Definición: Una matriz es una colección de números dispuestos en un formato rectangular, organizados en filas y columnas. Las matrices se utilizan en diversas áreas de matemáticas, física, ingeniería y ciencias de la computación.

2. Notación de Matrices

• Representación: Una matriz AAA de tamaño m×nm \times nm×n tiene mmm filas y nnn columnas. Se denota como: A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn)A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}A=​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮amn​​​

• Elementos: El elemento en la fila iii y columna jjj se denota como aija_{ij}aij​.

3. Tipos de Matrices

• Matriz Fila: Una matriz que tiene una sola fila (1×n1 \times n1×n).

• Matriz Columna: Una matriz que tiene una sola columna (m×1m \times 1m×1).

• Matriz Cuadrada: Una matriz que tiene el mismo número de filas y columnas (n×nn \times nn×n).

• Matriz Cero: Una matriz cuyos elementos son todos cero.

• Matriz Identidad: Una matriz cuadrada III donde todos los elementos de la diagonal principal son 1 y los demás son 0.

4. Operaciones con Matrices

• Suma de Matrices:

  • Dos matrices AAA y BBB de igual dimensión se suman elemento a elemento: C=A+B⇒cij=aij+bijC = A + B \quad \Rightarrow \quad c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}C=A+B⇒cij​=aij​+bij​

• Resta de Matrices:

  • Similar a la suma, pero restando elemento a elemento: C=A−B⇒cij=aij−bijC = A - B \quad \Rightarrow \quad c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}C=A−B⇒cij​=aij​−bij​

• Multiplicación de Matrices:

  • Para multiplicar una matriz AAA de tamaño m×nm \times nm×n por una matriz BBB de tamaño n×pn \times pn×p, el resultado CCC será una matriz de tamaño m×pm \times pm×p: C=A⋅B⇒cij=∑k=1naikbkjC = A \cdot B \quad \Rightarrow \quad c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}C=A⋅B⇒cij​=k=1∑n​aik​bkj​

• Transposición de una Matriz:

  • La matriz transpuesta ATA^TAT se obtiene al intercambiar filas y columnas: AT=(a11a21⋯am1a12a22⋯am2⋮⋮⋱⋮a1na2n⋯amn)A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}AT=​a11​a12​⋮a1n​​a21​a22​⋮a2n​​⋯⋯⋱⋯​am1​am2​⋮amn​​​

5. Determinante de una Matriz

• Definición: El determinante es un número asociado a una matriz cuadrada que se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales y en otras áreas de matemáticas.

• Cálculo del Determinante:

  • Para una matriz 2×22 \times 22×2: A=(abcd)⇒det(A)=ad−bcA = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \text{det}(A) = ad - bcA=(ac​bd​)⇒det(A)=ad−bc

  • Para una matriz 3×33 \times 33×3: A=(abcdefghi)⇒det(A)=a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \text{det}(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)A=​adg​beh​cfi​​⇒det(A)=a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg)

6. Inversa de una Matriz

• Definición: La matriz inversa A−1A^{-1}A−1 es tal que: A⋅A−1=IA \cdot A^{-1} = IA⋅A−1=I donde III es la matriz identidad.

• Cálculo de la Inversa:

  • Solo se puede calcular la inversa de matrices cuadradas que son no singulares (determinante distinto de cero).

  • Para una matriz 2×22 \times 22×2: A−1=1det(A)(d−b−ca)A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}A−1=det(A)1​(d−c​−ba​)

7. Ejercicios Prácticos

• Ejercicio 1: Sumar las siguientes matrices:
  A=(1234),B=(5678)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}A=(13​24​),B=(57​68​)

  • Solución: C=A+B=(1+52+63+74+8)=(681012)C = A + B = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}C=A+B=(1+53+7​2+64+8​)=(610​812​)

• Ejercicio 2: Multiplicar las siguientes matrices:
  A=(1234),B=(5678)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}A=(13​24​),B=(57​68​)

  • Solución: C=A⋅B=(1⋅5+2⋅71⋅6+2⋅83⋅5+4⋅73⋅6+4⋅8)=(19224350)C = A \cdot B = \begin{pmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}C=A⋅B=(1⋅5+2⋅73⋅5+4⋅7​1⋅6+2⋅83⋅6+4⋅8​)=(1943​2250​)

• Ejercicio 3: Calcular el determinante de la matriz:
  A=(123014560)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}A=​105​216​340​​

  • Solución: det(A)=1(1⋅0−4⋅6)−2(0⋅0−4⋅5)+3(0⋅6−1⋅5)=−24+40−15=1\text{det}(A) = 1(1\cdot0 - 4\cdot6) - 2(0\cdot0 - 4\cdot5) + 3(0\cdot6 - 1\cdot5) = -24 + 40 - 15 = 1det(A)=1(1⋅0−4⋅6)−2(0⋅0−4⋅5)+3(0⋅6−1⋅5)=−24+40−15=1

8. Aplicaciones de las Matrices

• Sistemas de Ecuaciones Lineales: Se utilizan para representar y resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante métodos como la eliminación de Gauss.

• Transformaciones Geométricas: Las matrices se utilizan para realizar transformaciones en el plano y en el espacio tridimensional.

• Teoría de Grafos: Las matrices de adyacencia y matrices de incidencia son útiles en el análisis de grafos.

9. Prueba de Concepto

• Cuestionario: Plantear preguntas sobre las operaciones básicas de matrices, propiedades de determinantes e inversas.

• Ejercicio de práctica: Proporcionar matrices diversas para que los estudiantes practiquen las operaciones y teoremas discutidos.

Conclusión

• Las matrices son herramientas fundamentales en matemáticas y en diversas disciplinas, permitiendo organizar y manipular datos de forma estructurada.

• La práctica constante con diferentes tipos de matrices y la comprensión de sus operaciones ayudarán a los estudiantes a dominar este concepto y aplicarlo efectivamente en diversas áreas.

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