Tema: Integrales

1. Introducción a las Integrales

• Objetivo: Comprender el concepto de integrales, su notación y su aplicación en el cálculo.

• Definición: La integral es una operación matemática que asigna a cada función una medida de su área bajo la curva, permitiendo calcular el total acumulado de cantidades. Se usa para calcular áreas, volúmenes, desplazamientos y en muchos otros contextos.

2. Tipos de Integrales

• Integral Indefinida: Representa una familia de funciones y se denota como: ∫f(x) dx\int f(x) \, dx∫f(x)dx

  • La integral indefinida de f(x)f(x)f(x) es una función F(x)F(x)F(x) tal que F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)F′(x)=f(x), y se añade una constante CCC (constante de integración).

• Integral Definida: Representa el área bajo la curva de f(x)f(x)f(x) desde aaa hasta bbb y se denota como: ∫abf(x) dx\int_{a}^{b} f(x) \, dx∫ab​f(x)dx

  • Se calcula como la diferencia entre las funciones primitivas evaluadas en bbb y aaa:

• ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a) donde FFF es una función primitiva de fff.

3. Teorema Fundamental del Cálculo

• Este teorema conecta la derivación y la integración, y se divide en dos partes:

  • Parte 1: Si fff es continua en [a,b][a, b][a,b] y FFF es una función tal que F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)F′(x)=f(x) en (a,b)(a, b)(a,b), entonces: ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)

  • Parte 2: Si fff es continua en [a,b][a, b][a,b], entonces la función F(x)=∫axf(t) dtF(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dtF(x)=∫ax​f(t)dt es continua en [a,b][a, b][a,b], diferenciable en (a,b)(a, b)(a,b), y F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)F′(x)=f(x).

4. Reglas de Integración

• Regla de la Suma: ∫(f(x)+g(x)) dx=∫f(x) dx+∫g(x) dx\int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx

• Regla de la Constante: ∫c⋅f(x) dx=c∫f(x) dx\int c \cdot f(x) \, dx = c \int f(x) \, dx∫c⋅f(x)dx=c∫f(x)dx

• Cambio de Variable (Sustitución): Si u=g(x)u = g(x)u=g(x), entonces: ∫f(g(x))g′(x) dx=∫f(u) du\int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u) \, du∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(u)du

5. Ejemplos de Integrales Indefinidas

• Ejemplo 1: Calcular ∫xn dx\int x^n \, dx∫xndx (donde n≠−1n \neq -1n=−1):
  ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C∫xndx=n+1xn+1​+C

  • Para n=2n = 2n=2: ∫x2 dx=x33+C\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C∫x2dx=3x3​+C.

• Ejemplo 2: Calcular ∫ex dx\int e^x \, dx∫exdx:
  ∫ex dx=ex+C\int e^x \, dx = e^x + C∫exdx=ex+C

• Ejemplo 3: Calcular ∫sin⁡(x) dx\int \sin(x) \, dx∫sin(x)dx:
  ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)+C\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C∫sin(x)dx=−cos(x)+C

6. Ejemplos de Integrales Definidas

• Ejemplo 1: Calcular ∫01x2 dx\int_{0}^{1} x^2 \, dx∫01​x2dx:

  • Encontrar la función primitiva: F(x)=x33F(x) = \frac{x^3}{3}F(x)=3x3​

  • Evaluar: ∫01x2 dx=F(1)−F(0)=133−033=13\int_{0}^{1} x^2 \, dx = F(1) - F(0) = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}∫01​x2dx=F(1)−F(0)=313​−303​=31​

• Ejemplo 2: Calcular ∫12(3x2−2) dx\int_{1}^{2} (3x^2 - 2) \, dx∫12​(3x2−2)dx:

  • Encontrar la función primitiva: F(x)=x3−2xF(x) = x^3 - 2xF(x)=x3−2x

  • Evaluar: ∫12(3x2−2) dx=F(2)−F(1)=(8−4)−(1−2)=4+1=5\int_{1}^{2} (3x^2 - 2) \, dx = F(2) - F(1) = (8 - 4) - (1 - 2) = 4 + 1 = 5∫12​(3x2−2)dx=F(2)−F(1)=(8−4)−(1−2)=4+1=5

7. Ejercicios Prácticos

• Ejercicio 1: Calcular ∫(4x3−3x2+2) dx\int (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx∫(4x3−3x2+2)dx.

  • Solución: ∫(4x3−3x2+2) dx=x4−x3+2x+C\int (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx = x^4 - x^3 + 2x + C∫(4x3−3x2+2)dx=x4−x3+2x+C

• Ejercicio 2: Calcular ∫0πsin⁡(x) dx\int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx∫0π​sin(x)dx.

  • Solución: ∫0πsin⁡(x) dx=[−cos⁡(x)]0π=(−(−1))−(−1)=2\int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx = [-\cos(x)]_{0}^{\pi} = (-(-1)) - (-1) = 2∫0π​sin(x)dx=[−cos(x)]0π​=(−(−1))−(−1)=2

• Ejercicio 3: Calcular ∫131x dx\int_{1}^{3} \frac{1}{x} \, dx∫13​x1​dx.

  • Solución: ∫131x dx=[ln⁡∣x∣]13=ln⁡(3)−ln⁡(1)=ln⁡(3)\int_{1}^{3} \frac{1}{x} \, dx = [\ln|x|]_{1}^{3} = \ln(3) - \ln(1) = \ln(3)∫13​x1​dx=[ln∣x∣]13​=ln(3)−ln(1)=ln(3)

8. Aplicaciones de las Integrales

• Cálculo de Áreas: Las integrales se utilizan para calcular el área bajo curvas en gráficos de funciones.

• Cálculo de Volúmenes: Se aplican en la obtención de volúmenes de sólidos de revolución.

• Física y Economía: Se utilizan para modelar situaciones de acumulación, como trabajo, energía y costos.

9. Prueba de Concepto

• Cuestionario: Plantear preguntas sobre las propiedades de las integrales, la aplicación de reglas de integración y la interpretación geométrica.

• Ejercicio de práctica: Proporcionar funciones diversas para que los estudiantes practiquen el cálculo de integrales y apliquen los teoremas discutidos.

Conclusión

• Las integrales son conceptos fundamentales en cálculo, permitiendo la acumulación de cantidades y el cálculo de áreas y volúmenes.

• La práctica constante con diferentes tipos de integrales y la comprensión de sus aplicaciones ayudarán a los estudiantes a dominar este concepto y aplicarlo efectivamente en diversas áreas de las matemáticas.

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