Tema: Derivadas

1. Introducción a las Derivadas

• Objetivo: Comprender el concepto de derivadas y su aplicación en el cálculo.

• Definición: La derivada de una función mide la tasa de cambio de la función respecto a su variable independiente. Es el límite del cociente de las diferencias a medida que el incremento de la variable tiende a cero.

• Notación: Se denota como f′(x)f'(x)f′(x) o dfdx\frac{df}{dx}dxdf​, donde fff es la función y xxx es la variable independiente.

2. Interpretación Geométrica de la Derivada

• Pendiente de la Tangente: La derivada en un punto específico de una función representa la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

• Ejemplo visual: Graficar una función, como f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2, y dibujar la tangente en el punto x=1x = 1x=1. La pendiente de la tangente es igual a la derivada en ese punto.

3. Definición Formal de la Derivada

• Límite del Cociente de las Diferencias: f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}f′(x)=h→0lim​hf(x+h)−f(x)​

• Interpretación: Este límite calcula la tasa de cambio instantánea de la función en xxx.

4. Reglas de Derivación

• Regla de Potencia: Si f(x)=xnf(x) = x^nf(x)=xn, entonces f′(x)=nxn−1f'(x) = nx^{n-1}f′(x)=nxn−1.

  • Ejemplo: f(x)=x3  ⟹  f′(x)=3x2f(x) = x^3 \implies f'(x) = 3x^2f(x)=x3⟹f′(x)=3x2.

• Regla de la Suma: Si f(x)=g(x)+h(x)f(x) = g(x) + h(x)f(x)=g(x)+h(x), entonces f′(x)=g′(x)+h′(x)f'(x) = g'(x) + h'(x)f′(x)=g′(x)+h′(x).

  • Ejemplo: f(x)=x2+3x  ⟹  f′(x)=2x+3f(x) = x^2 + 3x \implies f'(x) = 2x + 3f(x)=x2+3x⟹f′(x)=2x+3.

• Regla del Producto: Si f(x)=g(x)⋅h(x)f(x) = g(x) \cdot h(x)f(x)=g(x)⋅h(x), entonces f′(x)=g′(x)h(x)+g(x)h′(x)f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)f′(x)=g′(x)h(x)+g(x)h′(x).

  • Ejemplo: f(x)=x2⋅sin⁡x  ⟹  f′(x)=2x⋅sin⁡x+x2⋅cos⁡xf(x) = x^2 \cdot \sin x \implies f'(x) = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos xf(x)=x2⋅sinx⟹f′(x)=2x⋅sinx+x2⋅cosx.

• Regla del Cociente: Si f(x)=g(x)h(x)f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}f(x)=h(x)g(x)​, entonces
  f′(x)=g′(x)h(x)−g(x)h′(x)(h(x))2f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}f′(x)=(h(x))2g′(x)h(x)−g(x)h′(x)​

  • Ejemplo: f(x)=x2sin⁡x  ⟹  f′(x)=2x⋅sin⁡x−x2⋅cos⁡x(sin⁡x)2f(x) = \frac{x^2}{\sin x} \implies f'(x) = \frac{2x \cdot \sin x - x^2 \cdot \cos x}{(\sin x)^2}f(x)=sinxx2​⟹f′(x)=(sinx)22x⋅sinx−x2⋅cosx​.

• Regla de la Cadena: Si f(x)=g(h(x))f(x) = g(h(x))f(x)=g(h(x)), entonces f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x).

  • Ejemplo: f(x)=sin⁡(x2)  ⟹  f′(x)=cos⁡(x2)⋅2xf(x) = \sin(x^2) \implies f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2xf(x)=sin(x2)⟹f′(x)=cos(x2)⋅2x.

5. Ejemplos de Derivadas

• Ejemplo 1: Derivar f(x)=3x4−5x2+2f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2f(x)=3x4−5x2+2.

  • Solución: f′(x)=12x3−10xf'(x) = 12x^3 - 10xf′(x)=12x3−10x

• Ejemplo 2: Derivar f(x)=e2xf(x) = e^{2x}f(x)=e2x.

  • Solución: Aplicar la regla de la cadena. f′(x)=2e2xf'(x) = 2e^{2x}f′(x)=2e2x

• Ejemplo 3: Derivar f(x)=ln⁡(x3+1)f(x) = \ln(x^3 + 1)f(x)=ln(x3+1).

  • Solución: Aplicar la regla de la cadena. f′(x)=3x2x3+1f'(x) = \frac{3x^2}{x^3 + 1}f′(x)=x3+13x2​

6. Aplicaciones de la Derivada

• Optimización: Determinar máximos y mínimos de funciones. Se utiliza el criterio de la primera derivada.

  • Ejemplo: Encontrar los puntos críticos de f(x)=−x2+4xf(x) = -x^2 + 4xf(x)=−x2+4x y determinar si son máximos o mínimos.

    • f′(x)=−2x+4=0  ⟹  x=2f'(x) = -2x + 4 = 0 \implies x = 2f′(x)=−2x+4=0⟹x=2.

    • Evaluar f′′(x)f''(x)f′′(x) para determinar la concavidad.

• Tasa de Cambio: Calcular cómo cambian las cantidades en problemas de física y economía.

  • Ejemplo: Si s(t)=t3−3t2+2ts(t) = t^3 - 3t^2 + 2ts(t)=t3−3t2+2t es la posición de un objeto, entonces la velocidad v(t)=s′(t)v(t) = s'(t)v(t)=s′(t) representa la tasa de cambio de la posición respecto al tiempo.

7. Ejercicios Prácticos

• Ejercicio 1: Derivar f(x)=2x5−4x3+7f(x) = 2x^5 - 4x^3 + 7f(x)=2x5−4x3+7.

  • Solución: f′(x)=10x4−12x2f'(x) = 10x^4 - 12x^2f′(x)=10x4−12x2.

• Ejercicio 2: Derivar f(x)=1x2+1f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}f(x)=x2+11​.

  • Solución: f′(x)=−2x(x2+1)2f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}f′(x)=−(x2+1)22x​

• Ejercicio 3: Derivar f(x)=x3+3f(x) = \sqrt{x^3 + 3}f(x)=x3+3​.

  • Solución: Aplicar la regla de la cadena. f′(x)=3x22x3+3f'(x) = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 3}}f′(x)=2x3+3​3x2​

8. Prueba de Concepto

• Cuestionario: Plantear preguntas sobre las reglas de derivación, interpretación de derivadas, y aplicaciones en problemas prácticos.

• Ejercicio de práctica: Proporcionar funciones diversas para que los estudiantes practiquen la derivación y resuelvan problemas de optimización.

Conclusión

• Las derivadas son fundamentales en cálculo, permitiendo estudiar el comportamiento de funciones y resolver problemas de optimización.

• La práctica constante con diferentes funciones y la comprensión de las aplicaciones de las derivadas ayudarán a los estudiantes a dominar este concepto.

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