Tema: Trigonometria

1. ¿Qué es la Trigonometría?

• Definición: La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos, especialmente de los triángulos rectángulos.

• Aplicaciones: La trigonometría tiene múltiples aplicaciones en la vida cotidiana, como en la arquitectura, la ingeniería, la física, la navegación y muchas otras disciplinas.

2. Elementos Básicos de un Triángulo Rectángulo

• Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo de90∘90^\circ9 0∘.

• Hipotenusa: Es el lado más largo del triángulo rectángulo, opuesto al ángulo recto.

• Catetos: Son los dos lados que forman el ángulo recto.

  • Cateto opuesto: Es el cateto que está frente al ángulo que estamos estudiando.

  • Cateto adyacente: Es el cateto que está al lado del ángulo que estamos estudiando, distinto a la hipotenusa.

3. Razones Trigonométricas Básicas

Las razones trigonométricas se definen en función de los lados de un triángulo rectángulo para un ángulo agudoθ\thetaθ(menor de90∘90^\circ9 0∘).

a) Seno (sen)

• Definición: Es la razón entre el cateto opuesto al ánguloθ\thetaθy la hipotenusa.

• Fórmula: pecado⁡(θ)=Cateto opuestoHipotenusa\sin(\theta) = \frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}}pecado ( θ )=HipotenusaCateto opuesto​.

b) Coseno (cos)

• Definición: Es la razón entre el cateto adyacente al ánguloθ\thetaθy la hipotenusa.

• Fórmula: porque⁡(θ)=Cateto adyacenteHipotenusa\cos(\theta) = \frac{\text{Cateto adyacente}}{\text{Hipotenusa}}porque ( θ )=HipotenusaCateto adyacente​.

c) Tangente (tan)

• Definición: Es la razón entre el cateto opuesto al ánguloθ\thetaθy el cateto adyacente.

• Fórmula: broncearse⁡(θ)=Cateto opuestoCateto adyacente\tan(\theta) = \frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Cateto adyacente}}tan ( θ )=Cateto adyacenteCateto opuesto​.

4. Relaciones recíprocas

Además de seno, coseno y tangente, existen otras tres razones trigonométricas que son las funciones recíprocas:

a) Cosecante (csc)

• Definición: Es el recíproco del seno.

• Fórmula: csc⁡(θ)=1pecado⁡(θ)=HipotenusaCateto opuesto\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)} = \frac{\text{Hipotenusa}}{\text{Cateto opuesto}}csc ( θ )=sin ( θ )​​1​=Cateto opuestoHipotenusa​.

b) Secante (sec)

• Definición: Es el recíproco del coseno.

• Fórmula: segundo⁡(θ)=1porque⁡(θ)=HipotenusaCateto adyacente\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)} = \frac{\text{Hipotenusa}}{\text{Cateto adyacente}}segundo ( θ )=cos ( θ )​​1​=Cateto adyacenteHipotenusa​.

c) Cotangente (cot)

• Definición: Es el recíproco de la tangente.

• Fórmula: cuna⁡(θ)=1broncearse⁡(θ)=Cateto adyacenteCateto opuesto\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} = \frac{\text{Cateto adyacente}}{\text{Cateto opuesto}}cuna ( θ )=tan ( θ )​​1​=Cateto opuestoCateto adyacente​.

5. Teorema de Pitágoras

• Enunciado: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

• Fórmula: a2+b2=do2a^2 + b^2 = c^2a2+b2=do2, dondedododoes la hipotenusa, yaaaybbbSon los catetos.

• Ejemplo: Si en un triángulo rectánguloa=3a = 3a=3yb=4b = 4b=4, entoncesdo=32+42=9+16=25=5c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5do=32+42​=9+16​=25​=5.

6. Razones Trigonométricas Inversas

Las razones trigonométricas inversas se utilizan para hallar el ángulo cuando se conocen las longitudes de los lados del triángulo.

• Notación: pecado⁡−1(incógnita)\sin^{-1}(x)pecado− 1( x ),porque⁡−1(incógnita)\cos^{-1}(x)porque− 1( x ),broncearse⁡−1(incógnita)\tan^{-1}(x)broncearse− 1( x )representan los ángulos cuyo seno, coseno o tangente sonincógnitaincógnitaincógnita.

• Ejemplo: Sípecado⁡(θ)=0,5\sin(\theta) = 0,5pecado ( θ )=0,5, entoncesθ=pecado⁡−1(0,5)=30∘\theta = \sin^{-1}(0,5) = 30^\circθ=pecado− 1( 0,5 )=3 0∘.

7. Ejercicios prácticos

Ejercicio 1: Calcular Razones Trigonométricas

• Dado un triángulo rectángulo en el que el cateto opuesto aθ\thetaθmediopecado⁡(θ)\sin(\theta)pecado ( θ ),porque⁡(θ)\cos(\theta)porque ( θ )y ( \tan(\tbroncearse⁡(θ)\tan(\theta)tan ( θ ).

• Solución:

  • pecado⁡(θ)=Cateto opuestoHipotenusa=45\sin(\theta) = \frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{4}{5}pecado ( θ )=HipotenusaCateto opuesto​=54​.

  • porque⁡(θ)=Cateto adyacenteHipotenusa=35\cos(\theta) = \frac{\text{Cateto adyacente}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{3}{5}porque ( θ )=HipotenusaCateto adyacente​=53​.

  • broncearse⁡(θ)=Cateto opuestoCateto adyacente=43\tan(\theta) = \frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Cateto adyacente}} = \frac{4}{3}tan ( θ )=Cateto adyacenteCateto opuesto​=34​.

Ejercicio 2: Aplicación del Teorema de Pitágoras

• Un t

• Solución:

  • Usando el Teorema de Pitágoras:a2+b2=do2a^2 + b^2 = c^2a2+b2=do2.

  • Sustituyendo:82+b2=1028^2 + b^2 = 10^282+b2=1 02.

  • 64+b2=10064 + b^2 = 10064+b2=100.

  • b2=100−64=36b^2 = 100 - 64 = 36b2=100−64=36.

  • b=36=6b = raíz cuadrada de 36 = 6b=36​=6.

Ejercicio 3: Calcular un Ángulo usando Razones Trigonométricas Inversas

• En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto aθ\thetaθmedidaθ\thetaθ.

• Solución:

  • broncearse⁡(θ)=Cateto opuestoCateto adyacente=512\tan(\theta) = \frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Cateto adyacente}} = \frac{5}{12}tan ( θ )=Cateto adyacenteCateto opuesto​=125​.

  • Usando la tangente inversa:θ=broncearse⁡−1(512)\theta = \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)θ=broncearse− 1(125​).

  • Calcula el valor aproximado deθ\thetaθcon un

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