numeros complejos

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Tema: Números Complejos

Definición: Un número complejo es una extensión de los números reales y se expresa en la forma z=a+biz = a + biz=a+bi, donde:
- aaa es la parte real.
- bbb es la parte imaginaria.
- iii es la unidad imaginaria, definida como i=−1i = \sqrt{-1}i=−1.

Parte Real: En el número complejo z=a+biz = a + biz=a+bi, aaa es la parte real.
Parte Imaginaria: bbb es la parte imaginaria. Si b>0b > 0b>0, se dice que el número complejo es positivo; si b<0b < 0b<0, es negativo.
Ejemplo: Para el número complejo 3+4i3 + 4i3+4i:
- Parte real: 3
- Parte imaginaria: 4

Los números complejos se pueden representar en un plano llamado plano complejo o plano de Argand.
- El eje horizontal representa la parte real.
- El eje vertical representa la parte imaginaria.
Ejemplo: El número 3+4i3 + 4i3+4i se representaría como un punto en el plano en la coordenada (3,4)(3, 4)(3,4).

Para sumar dos números complejos z1=a+biz_1 = a + biz1=a+bi y z2=c+diz_2 = c + diz2=c+di, se suman las partes reales y las partes imaginarias: z1+z2=(a+c)+(b+d)iz_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)iz1+z2=(a+c)+(b+d)i
Ejemplo: (3+4i)+(1+2i)=(3+1)+(4+2)i=4+6i(3 + 4i) + (1 + 2i) = (3 + 1) + (4 + 2)i = 4 + 6i(3+4i)+(1+2i)=(3+1)+(4+2)i=4+6i.

Para restar dos números complejos: z1−z2=(a−c)+(b−d)iz_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)iz1−z2=(a−c)+(b−d)i
Ejemplo: (5+3i)−(2+4i)=(5−2)+(3−4)i=3−i(5 + 3i) - (2 + 4i) = (5 - 2) + (3 - 4)i = 3 - i(5+3i)−(2+4i)=(5−2)+(3−4)i=3−i.

Para multiplicar dos números complejos: z1⋅z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac−bd)+(ad+bc)iz_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)iz1⋅z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac−bd)+(ad+bc)i
Ejemplo: (1+2i)(3+4i)=3+4i+6i+8i2=3+10i−8=−5+10i(1 + 2i)(3 + 4i) = 3 + 4i + 6i + 8i^2 = 3 + 10i - 8 = -5 + 10i(1+2i)(3+4i)=3+4i+6i+8i2=3+10i−8=−5+10i.

Para dividir dos números complejos: z1z2=(a+bi)(c−di)c2+d2=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}z2z1=c2+d2(a+bi)(c−di)=c2+d2(ac+bd)+(bc−ad)i
Ejemplo: 2+3i1+2i=(2+3i)(1−2i)12+22=(2−4i+3i+6)5=8−i5=85−15i\frac{2 + 3i}{1 + 2i} = \frac{(2 + 3i)(1 - 2i)}{1^2 + 2^2} = \frac{(2 - 4i + 3i + 6)}{5} = \frac{8 - i}{5} = \frac{8}{5} - \frac{1}{5}i1+2i2+3i=12+22(2+3i)(1−2i)=5(2−4i+3i+6)=58−i=58−51i

Definición: El módulo de un número complejo z=a+biz = a + biz=a+bi se define como: ∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2}∣z∣=a2+b2
Ejemplo: Para z=3+4iz = 3 + 4iz=3+4i: ∣z∣=32+42=9+16=25=5|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5∣z∣=32+42=9+16=25=5

Definición: El conjugado de un número complejo z=a+biz = a + biz=a+bi se denota como z‾=a−bi\overline{z} = a - biz=a−bi.
Propiedades:
- z+z‾=2az + \overline{z} = 2az+z=2a (parte real multiplicada por 2).
- z−z‾=2biz - \overline{z} = 2biz−z=2bi (parte imaginaria multiplicada por 2).
- z⋅z‾=a2+b2=∣z∣2z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2 = |z|^2z⋅z=a2+b2=∣z∣2.
Ejemplo: El conjugado de 3+4i3 + 4i3+4i es 3−4i3 - 4i3−4i.

Calcula (2+3i)+(4−5i)(2 + 3i) + (4 - 5i)(2+3i)+(4−5i).
Solución: (2+3i)+(4−5i)=(2+4)+(3−5)i=6−2i(2 + 3i) + (4 - 5i) = (2 + 4) + (3 - 5)i = 6 - 2i(2+3i)+(4−5i)=(2+4)+(3−5)i=6−2i

Calcula (6+2i)−(3+5i)(6 + 2i) - (3 + 5i)(6+2i)−(3+5i).
Solución: (6+2i)−(3+5i)=(6−3)+(2−5)i=3−3i(6 + 2i) - (3 + 5i) = (6 - 3) + (2 - 5)i = 3 - 3i(6+2i)−(3+5i)=(6−3)+(2−5)i=3−3i

Calcula (1+i)(2+3i)(1 + i)(2 + 3i)(1+i)(2+3i).
Solución: (1+i)(2+3i)=2+3i+2i+3i2=2+5i−3=−1+5i(1 + i)(2 + 3i) = 2 + 3i + 2i + 3i^2 = 2 + 5i - 3 = -1 + 5i(1+i)(2+3i)=2+3i+2i+3i2=2+5i−3=−1+5i

Calcula 4+3i1−2i\frac{4 + 3i}{1 - 2i}1−2i4+3i.
Solución: 4+3i1−2i=(4+3i)(1+2i)12+(22)=4+8i+3i+6i25=(4−6)+(8+3)i5=−2+11i5=−25+115i\frac{4 + 3i}{1 - 2i} = \frac{(4 + 3i)(1 + 2i)}{1^2 + (2^2)} = \frac{4 + 8i + 3i + 6i^2}{5} = \frac{(4 - 6) + (8 + 3)i}{5} = \frac{-2 + 11i}{5} = -\frac{2}{5} + \frac{11}{5}i1−2i4+3i=12+(22)(4+3i)(1+2i)=54+8i+3i+6i2=5(4−6)+(8+3)i=5−2+11i=−52+511i

Encuentra el módulo de z=5−12iz = 5 - 12iz=5−12i.
Solución: ∣z∣=52+(−12)2=25+144=169=13|z| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13∣z∣=52+(−12)2=25+144=169=13

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