Tema: Funciones

1. ¿Qué es una función?

• Definición: Una función es una relación entre dos conjuntos, donde a cada elemento del primer conjunto (llamado dominio) le corresponde un único elemento del segundo conjunto (llamado rango).

• Notación: Las funciones suelen representarse con letras comoFFF,gramogramogramooyoyoyo. SíFFFes una función yincógnitaincógnitaincógnitaes un valor del dominio, entoncesF(incógnita)f(x)f ( x )representa el valor de la función enincógnitaincógnitaincógnita.

• Ejemplo básico: Si tienes una funciónF(incógnita)=incógnita+3f(x) = x + 3f ( x )=incógnita+3, cuandoincógnita=2x = 2incógnita=2, entoncesF(2)=2+3=5f(2) = 2 + 3 = 5y ( 2 )=2+3=5.

2. Partes de una función

• Dominio: Conjunto de todos los posibles valores de entrada (valores deincógnitaincógnitaincógnita).

• Rango: Conjunto de todos los posibles valores de salida (valores deF(incógnita)f(x)f ( x )).

• Variable independiente: La variable de entrada (normalmenteincógnitaincógnitaincógnita).

• Variable dependiente: La variable de salida, que depende de la variable independiente (normalmenteF(incógnita)f(x)f ( x )).

3. Cómo representar una función

a) Notación algebraica

• La función puede ser una fórmula que indica la relación entre la variable independiente y dependiente.

• Ejemplo: F(incógnita)=2incógnita+1f(x) = 2x + 1f ( x )=2x​+1.

b) Representación en Tabla

• Puedes construir una tabla con valores deincógnitaincógnitaincógnitay sus correspondientes valores de F(incógnita)f(x).

• Ejemplo paraF(x)=2x+1

incognita: 0, 1, 2.

 F(x): 1, 3, 5.

c) Representación Gráfica

• En una gráfica de coordenadas,incógnitaincógnitaincógnitase representa en el eje horizontal yF(incógnita)f(x)f ( x )en el eje vertical. Se marcan puntos y se trazan líneas o curvas que conectan los puntos.

• Ejemplo: GraficarF(incógnita)=2incógnita+1f(x) = 2x + 1f ( x )=2x​+1.

4. Tipos de funciones comunes

a) Función Lineal

• Definición: Una función cuya gráfica es una línea recta.

• Forma general: F(incógnita)=metroincógnita+bf(x) = mx + bf ( x )=m x+b, dondemetrometrometroes la pendiente ybbb¿Es el intercepto con el eje?yyy.

• Ejemplo: F(incógnita)=3incógnita+2f(x) = 3x + 2f ( x )=3 veces+2es una función lineal con pendiente 3 e intercepto en 2.

b) Función Cuadrática

• Definición: Una función cuya gráfica es una parábola (curva en forma de U).

• Forma general: F(incógnita)=aincógnita2+bincógnita+dof(x) = ax^2 + bx + cf ( x )=una x2+bx​+do, dondeaaa,bbbydododoson constantes

• Ejemplo: F(incógnita)=incógnita2−4incógnita+3f(x) = x^2 - 4x + 3f ( x )=incógnita2−4x​+3.

c) Función Constante

• Definición: Una función que siempre devuelve el mismo valor sin importar el valor deincógnitaincógnitaincógnita.

• Forma general: F(incógnita)=dof(x) = cf ( x )=do, dondedododoes una constante

• Ejemplo: F(incógnita)=5f(x) = 5f ( x )=5es una función constante, ya queF(incógnita)f(x)f ( x )siempre será 5, sin importarincógnitaincógnitaincógnita.

d) Función de Valor Absoluto

• Definición: Una función que devuelve el valor absoluto deincógnitaincógnitaincógnita, es decir, siempre toma valores positivos o cero.

• Forma general: F(incógnita)=∣incógnita∣f(x) = |x|f ( x )=∣ x ∣.

• Ejemplo: F(incógnita)=∣incógnita−2∣f(x) = |x - 2|f ( x )=∣ x−2∣.

5. Evaluación de funciones

• Objetivo: Evaluar una función significa calcular el valor de la función para un valor específico de la variable independiente.

• Ejemplo: SíF(incógnita)=2incógnita+3f(x) = 2x + 3f ( x )=2x​+3, paraincógnita=4x = 4incógnita=4:

  • Sustituyéndolo,F(4)=2(4)+3=8+3=11f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11y ( 4 )=2 ( 4 )+3=8+3=11.

• Ejercicio: Dada la funcióngramo(incógnita)=incógnita2−3incógnita+2g(x) = x^2 - 3x + 2g ( x )=incógnita2−3 veces+2, evaluargramo(2)g(2)g ( 2 )ygramo(−1)g(-1)sol ( − 1 ).

6. Dominio y Rango de una Función

a) Determinar el Dominio

• El dominio es el conjunto de todos los valores posibles deincógnitaincógnitaincógnitapara los cuales la función está definida.

• Ejemplo: ParaF(incógnita)=1incógnitaf(x) = \frac{1}{x}f ( x )=incógnita1​, el dominio son todos los números reales exceptoincógnita=0x = 0incógnita=0, ya que no podemos dividir entre cero.

b) Determinar el rango

• El rango es el conjunto de todos los valores posibles deF(incógnita)f(x)f ( x )que la función puede tomar.

• Ejemplo: SíF(incógnita)=incógnita2f(x) = x^2f ( x )=incógnita2, el rango son todos los números reales mayores o iguales a cero (ya queincógnita2x^2incógnita2nunca será negativo).

7. Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas

a) Función Inyectiva

• Cada valor de salida corresponde a un único valor de entrada.

• Ejemplo: F(incógnita)=incógnita+1f(x) = x + 1f ( x )=incógnita+1.

b) Función sobreyectiva

• Cada valor posible del rango tiene al menos un valor correspondiente en el dominio.

• Ejemplo: F(incógnita)=incógnita2f(x) = x^2f ( x )=incógnita2no es sobreyectiva en el conjunto de los números reales, ya que los valores negativos no están en su rango.

c) Función Biyectiva

• Es inyectable y sobreyectiva al mismo tiempo, lo que significa que cada valor de salida corresponde a un único valor de entrada y viceversa.

• Ejemplo: F(incógnita)=incógnita+2f(x) = x + 2f ( x )=incógnita+2en el conjunto de todos los números reales es una función biyectiva.

8. Composición de funciones

• Definición: La composición de funciones consiste en aplicar una función a los resultados de otra función.

• Notación: SiFFFygramogramogramoson dos funciones, la composición deFFFygramogramogramose denota como(F∘gramo)(incógnita)=F(gramo(incógnita))(f \circ g)(x) = f(g(x))( f∘g ) ( x )=f ( g ( x )).

• Ejemplo: SíF(incógnita)=2incógnitaf(x) = 2xf ( x )=2x​ygramo(incógnita)=incógnita+3g(x) = x + 3g ( x )=incógnita+3, entonces(F∘gramo)(incógnita)=F(gramo(incógnita))=F(incógnita+3)=2(incógnita+3)=2incógnita+6(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 3) = 2(x + 3) = 2x + 6( f∘g ) ( x )=f ( g ( x ))=f ( x)+3 )=2 ( x+3 )=2x​+6.

• Ejercicio: Dadas las funcionesF(incógnita)=incógnita2f(x) = x^2f ( x )=incógnita2ygramo(incógnita)=incógnita−1g(x) = x - 1g ( x )=incógnita−1, calcular(F∘gramo)(incógnita)(f\circ g)(x)( f∘g ) ( x )y(gramo∘F)(incógnita)(g\circ f)(x)( g∘f ) ( x ).

9. Ejercicios prácticos

Evaluación de funciones

• Dada la funciónF(incógnita)=3incógnita−4f(x) = 3x - 4f ( x )=3 veces−4:

  • EncuentraF(2)f(2)y ( 2 ).

  • EncuentraF(−1)f(-1)f ( −1 )​.

Determinar el Dominio y el Rango

• Determina el dominio y el rango de la funcióngramo(incógnita)=incógnita+5g(x) = raíz cuadrada de x + 5g ( x )=incógnita+5​.

• Determina el dominio y el rango de la funciónyo(incógnita)=2incógnita−1h(x) = \frac{2}{x - 1}h ( x )=x - 12​.

Composición de funciones

• Dadas las funcionesF(incógnita)=incógnita+1f(x) = x + 1f ( x )=incógnita+1ygramo(incógnita)=2incógnitag(x) = 2xg ( x )=2x​, calcula:

  • (F∘gramo)(incógnita)(f\circ g)(x)( f∘g ) ( x )

  • (gramo∘F)(incógnita)(g\circ f)(x)( g∘f ) ( x )

Problemas Aplicados

• "Una empresa cobra una tarifa fija de $50 más $3 por cada kilómetro recorrido. Escribe la función que representa el costo totaldo(a)C(k)C ( k )en función de los kilómetros recorridosaaay calculado(10)C(10)C ( 10 )."

• "La distanciadddrecorrida por un objeto en caída libre después de (aaasegundos viene dada por la funciónd(a)=5a2d(t) = 5t^2d ( t )=5 toneladas2. Encuentra la distancia recorrida después de 3 segundos."

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